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【人教A版(2019)】高中数学选修一 第3章 圆锥曲线的方程 单元检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A． B．4 C．6 D．9
4．抛物线y＝x2的焦点坐标是（ ）
A．（，0） B．（﹣，0） C．（0，） D．（0，﹣）
5．点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
6．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ）
A． B．2 C． D．4
8．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，线段的中点为，过作线段的中垂线交轴于点，过两点分别作的准线的垂线，垂足分别为．线段的中点为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线 焦点与双曲线点 的一个焦点重合，点 在抛物线上，则（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为
C． D．点 到抛物线焦点的距离为6
10． 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，又，，且直线，的斜率之积为，则（ ）
A．
B．
C．的离心率为
D．若上的点满足，则
11． 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线的斜率为
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则 .
13．已知是抛物线上不同的点，且.若，则 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任一点，为的内心，为坐标原点，则直线与的斜率之比 ．（用表示）
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知分别是椭圆的左顶点 上顶点，且.
（1）求点的坐标；
（2）若直线与平行，且与相切，求的一般式方程.
16．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程．
17．已知双曲线的离心率为2，且过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段的中点为，当时，求的值．
18．已知抛物线：经过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补.
（i）求的值；
（ii）若，求面积的最大值.
19．已知椭圆的离心率为，左、右两个顶点分别为，，直线与直线的交点为，且的面积为．
（1）求的方程；
（2）设过的右焦点的直线，的斜率分别为，，且，直线交于，两点，交于，两点，线段，的中点分别为，，直线与交于，两点，记与的面积分别为，，证明：为定值．
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【人教A版(2019)】高中数学选修一 第3章 圆锥曲线的方程 单元检测卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线，令，解得，
即双曲线的渐近线方程为 .
故答案为：C．
2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，
解得，则实数的取值范围为.
故答案为：A.
3．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A． B．4 C．6 D．9
【答案】D
【解析】易知双曲线方程的焦点坐标为，
因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以.
故答案为：D．
4．抛物线y＝x2的焦点坐标是（ ）
A．（，0） B．（﹣，0） C．（0，） D．（0，﹣）
【答案】C
【解析】因为，根据抛物线的标准方程可得，，所以，
又因为焦点坐标为，所以所求焦点坐标为，
故答案为：C.
5．点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【解析】因为C为等轴双曲线，所以设双曲线的方程为：，
又因为，所以，即双曲线为：，
则双曲线的渐近线为：，
联立，解得，不妨设，，则为等腰直角三角形，
故的面积为.
故答案为：B.
6．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以为的中点，过点作垂直于轴于点，如图所示：
则为的中位线，，故点，，
则直线的斜率为.
故答案为：C．
7．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】因为的面积为4，所以的面积为8，又，所以，所以为直角三角形，且 ，
设，所以，所以，
所以，，所以.
故答案为：C.
8．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，线段的中点为，过作线段的中垂线交轴于点，过两点分别作的准线的垂线，垂足分别为．线段的中点为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
设直线，联立，
所以则，
得线段的中点为，即，
线段的中垂线方程为，
令，得．所以，所以，
又，
所以．又，所以四边形为平行四边形，因此，所以．
故答案为：A．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线 焦点与双曲线点 的一个焦点重合，点 在抛物线上，则（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为
C． D．点 到抛物线焦点的距离为6
【答案】A,C
【解析】由双曲线 ，可得 ，则 ，
所以双曲线的离心率为 ，所以A符合题意；
由双曲线的渐近线为 ，所以B不符合题意；
由抛物线 焦点与双曲线点 的一个焦点重合，
可得 ，解得 ，所以C符合题意；
由抛物线 的准线方程为 ，则点 到其准线的距离为 ，
到焦点的距离也为4，所以D不符合题意.
故答案为：AC.
10． 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，又，，且直线，的斜率之积为，则（ ）
A．
B．
C．的离心率为
D．若上的点满足，则
【答案】B,C,D
【解析】已知如图所示：
A、由得，，为等比数列，若A成立，则为等差数列，即，，为常数列，显然不成立，故A错误；
C选项：因为，，所以.
方程两边同除以得，，解得，负值舍去，
故离心率为，故C正确；
D选项：由椭圆定义得，，两边平方得，
因为，由余弦定理可得，
两式相减得，
所以，，
又，且，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11． 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线的斜率为
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A,C
【解析】，不妨设在第二象限，
A.当时，则，则，故，
，，故，，
由于是的角平分线，所以，进而可得，故斜率为，A正确，
B.由于，所以，B错误，
C和D.延长，交于点，连接，
由于是的角平分线，，所以，
故是的中点，，
由双曲线定义可得，
又是的中点，，故C正确，D错误，
故选：AC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则 .
【答案】
【解析】由圆锥曲线的离心率为，可知圆锥曲线是双曲线，
则圆锥曲线的标准方程为：，
因为离心率，所以，解得．
故答案为：.
13．已知是抛物线上不同的点，且.若，则 .
【答案】16
【解析】设，
因为 … 是抛物线上不同的点，且点，
所以，
所以
所以，即
所以.
故答案为：16
14．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任一点，为的内心，为坐标原点，则直线与的斜率之比 ．（用表示）
【答案】
【解析】设内切圆与分别相切于点，椭圆半焦距为c，
有，，则，即，
则，又
（e为椭圆的离心率），而，则，
即，因此，
，所以.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知分别是椭圆的左顶点 上顶点，且.
（1）求点的坐标；
（2）若直线与平行，且与相切，求的一般式方程.
【答案】（1）解：由题意得，
得，又，所以，
所以.
（2）解：由题意得.因为与平行，所以的斜率为2.
设，联立得.
因为与相切，所以，
得，
故的一般式方程为或.
16．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程．
【答案】（1）由题意得，
当轴时，，两点的横坐标为，
当时，，解得，
，解得，
故抛物线的方程为；
（2）由（1）得，且直线的斜率存在，
设，，且，
则，，
，即，
线段的中点的纵坐标为，
，即，
，即直线的斜率，
直线的方程为，即．
17．已知双曲线的离心率为2，且过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段的中点为，当时，求的值．
【答案】（1）解：由已知，，所以，
且过点，所以，解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）解：设，
由得，
所以，，
即，，所以.
18．已知抛物线：经过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补.
（i）求的值；
（ii）若，求面积的最大值.
【答案】（1）解：由题意可知，，所以，
所以 抛物线的方程为.
（2）解：（i）如图：
设，将直线的方程代入得：
，所以，
因为直线与倾斜角互补，
所以，
即，
所以，
即，所以.
（ii）由（i）可知，所以，
则，
因为，所以，即，
又点到直线的距离为，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以面积最大值为.
19．已知椭圆的离心率为，左、右两个顶点分别为，，直线与直线的交点为，且的面积为．
（1）求的方程；
（2）设过的右焦点的直线，的斜率分别为，，且，直线交于，两点，交于，两点，线段，的中点分别为，，直线与交于，两点，记与的面积分别为，，证明：为定值．
【答案】（1）由题意离心率为，所以
由，知
由的面积为，得，得
由解得所以的标准方程为．
（2）由题意知，，，
联立方程消去得，
设，，则，所以，
代入直线的方程，所以，
同理得
当直线的斜率存在时，设直线，
将点，的坐标代入，得
易知，为方程的两个根，
则，得，
所以直线，所以直线过定点．
当直线的斜率不存在时，由对称性可知，
因为不妨设，，所以
即直线，满足过定点．
因为的面积为，的面积为，
所以，为定值．
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