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【人教A版(2019)】高中数学必修一 第4章 指数函数与对数函数 单元检测卷考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数与是互为反函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．方程的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4．已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（ ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）
A．11 B．12 C．13 D．14
5．设，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设，，，则、、的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则( )
A． B． C． D．
11．设函数，若，且，则的值可以是（ ）
A．4 B．5 C． D．6
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12． 计算： ．
13．已知是奇函数，则 ．（e是自然对数的底数）．
14．已知函数 ，函数 ，函数 ，当 时，函数 的零点有 个；若 的零点有4个，则 的取值范围是 .
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知函数 ．
（1）当 时，求x的值；
（2）当 时，求 的最大值和最小值．
16．已知函数．
（1）求的定义域
（2）求不等式的解集．
17．（1）已知函数，，求函数的值域；
（2）解关于x的不等式：（且）。
18．已知函数是偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）当时，函数有零点，求实数t的取值范围．
19．已知函数.
（1）若函数的定义域为，值域为，求的值；
（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.
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【人教A版(2019)】高中数学必修一 第4章 指数函数与对数函数 单元检测卷（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A，若x，y均为负数，不对；
B，根据指数幂的运算性质，2m×2n=2m+n，B不对；
C，根据指数幂的运算性质，C符合题意；
D，若x为负数，不对．
故答案为：C．
2．已知函数与是互为反函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数与是互为反函数，
所以，则，，
，，即正确的只有D.
故答案为：D
3．方程的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设函数，定义域为，且单调递增，
A、，，则的零点不在内，故A错误；
B、，，则的零点不在内，故B错误；
C、，，则的零点在内，即方程的解所在区间为，故C正确；
D、，，则的零点不在内，故D错误.
故答案为：C.
4．已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（ ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】设最初该种电池的性能指数为k，通过月后性能指数变为，则．
由题意得，即，两边取常用对数，可得．
∵，∴．
又，故最多使用13个月就需要更换纯硫酸．
故答案为： C.
5．设，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，
所以
由为的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件
故答案为：B.
6．若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数在上单调递减，由函数在定义域内单调递增，
所以函数在上单调递减且恒大于0，则有，解得.
故答案为：C
7．设，，，则、、的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，所以.
故答案为：B.
8．若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据对数的性质可得-x2+4x+5＞0，
解得-1＜x＜5.
因为二次函数y=-x2+4x+5图象的对称轴为x=2，
由复合函数单调性可得函数 的单调递增区间为（2，5），
要使函数 在区间 内单调递增，
只需
解关于m的不等式组得 ≤m＜2.
故答案为：C.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【解析】A选项，因为，所以，A正确；
B选项，因为，所以，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，由A选项得，D错误.
故选：AC
10．已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则( )
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【解析】A.设函数与和的图象在第一象限的交点分别为则，，
又函数的图象关于直线对称，函数和的图象关于直线对称，
，两点关于对称，
，故正确；
B. ，且，，取倒数有，即，故错误；
C.由得，当且仅当时取等号，
由图象可知，，
，正确；
D.
，
，
令，
在区间(0，1)上单调递减，
，正确.
故答案为：ACD
11．设函数，若，且，则的值可以是（ ）
A．4 B．5 C． D．6
【答案】A,B
【解析】作出函数的图象如图所示，
设，
由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，横坐标分别为，且，
时，令，解得或.
由图可知，，，，
由，可得，则有，
所以.
令，
易知在上为减函数，且，，
故，且，，故AB正确；
又，故CD错误.
故答案为：AB.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12． 计算： ．
【答案】6
【解析】.
故答案为：6.
13．已知是奇函数，则 ．（e是自然对数的底数）．
【答案】
【解析】要使函数有意义，需满足即且 . 显然，不在定义域内；
因为为奇函数，定义域关于原点对称，且不在定义域内，所以不在定义域内，所以不满足条件：且. .
所以，即.
因为为奇函数且在处有定义，所以，得，得.
当，时，，验证知是奇函数.
所以，，故.
故答案为：.
14．已知函数 ，函数 ，函数 ，当 时，函数 的零点有 个；若 的零点有4个，则 的取值范围是 .
【答案】3；(1，4)
【解析】画出函数 与 的图象(如图)，
由图象得：
与 的图象有两个交点，
当 时，显然不可能有四个交点，
当 时，有三个交点，
当 时，有三个交点，
当 时，有三个交点，
当 时，有两个交点，
∴当 时，有四个交点.
故答案为：3，(1，4).
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知函数 ．
（1）当 时，求x的值；
（2）当 时，求 的最大值和最小值．
【答案】（1）解：当 = 时,即 ,
∴ ,
又 ,∴ ;
解得
（2）解： =
则 =
当 ,即 时,函数的最小值 = ,
当 ,即 时,函数的最大值 =
16．已知函数．
（1）求的定义域
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）解：由，
得或
的定义域为或
（2）解：由已知可得．
∴
解得
所以，解集为或
17．（1）已知函数，，求函数的值域；
（2）解关于x的不等式：（且）。
【答案】（1）因为函数在上单调递增，所以，即，所以函数，的值域为。
（2）当时，在单调递减，因为，
所以解得，故不等式的解集为；
当时，在单调递增，因为，
所以解得，故不等式的解集为；
所以，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为。
18．已知函数是偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）当时，函数有零点，求实数t的取值范围．
【答案】（1）解：因为是上的偶函数，所以，
即
解得，
经检验：当时，满足题意．（写：“当时，是偶函数”也正确）
（2）解：由（1）可知，所以，
因为时，存在零点，
即关于的方程有解，
令，因为，令
则由函数图象可知在单调递增，
所以，
所以实数的取值范围是
19．已知函数.
（1）若函数的定义域为，值域为，求的值；
（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得，的定义域为，
对任意且满足，则，
则，故在定义域上单调递减.
因为在上的值域为，所以，所以；
（2）解：因为，即，
所以，且，①
所以，即，②
当时，方程②的解为，代入①成立；
当时，
①当，即时，方程②的解为，代入①不成立：
②当，且时，方程②的解为或，
将代入①得：，且，
所以且，将代入①得：，且，
所以且，要使方程有且仅有一个解，则.
综上，的取值范围为.
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