2023-2024学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列中，，，则这个数列的前项和为( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，且，，则( )
A. B. C. D.
4.一圆锥的轴截面为等边三角形，为圆锥顶点，点为的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则中不同数值的个数为( )
A. B. C. D.
6.已知两圆台体积之比为：，第一个圆台上、下底面半径分别为，，第二个圆台上、下底面半径分别为，，若，，是公比为的等比数列，则这两个圆台的高之比可以为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知，，三点不共线，为平面外任意一点，且平面中的小方格均为边长为的正方形，，，，，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，，若正整数使得成立，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
10.将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为，，，，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数，从上往下每一行的第一个数构成的数列记为，则( )
A.
B.
C.
D. 第行的所有数之和为
11.在一个棱长为的正方体内做两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是“牟合方盖”，如图所示，图是牟合方盖的八分之一，其中为正方形，截面与平面平行，设二面角大小为，二面角大小为，，，则( )
A. 该牟合方盖的内切球体积为 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等比数列的前项和．若，，则______．
13.一个三棱锥和一个四棱锥恰好可以拼接成一个正三棱台，这个三棱锥的底面为边长是的等边三角形，这个四棱锥的底面为等腰梯形，该等腰梯形的上、下底面边长分别为，，腰长为，则正三棱台的高为______．
14.已知函数，数列是公差不为的等差数列，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为正项数列的前项和，且数列是公差为的等差数列，．
证明：是等差数列；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在长方体中，是棱上靠近点的三等分点，平面平面，．
求的值；
已知为边长为的正方形，．
证明：平面；
求四棱锥的体积．
17.本小题分
已知为数列的前项和，且满足．
求的通项公式；
设，，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，下底面圆的一条弦交于点，，，是上底面圆周上的动点．
证明：平面平面；
求点到平面的距离；
若二面角的正切值为，且，在轴截面同侧，求圆柱侧面上点到点的最短距离．
19.本小题分
已知集合且的元素均为正整数，对于的任意两个非空子集，，如果中所有元素之和与中所有元素之和不相等，就称具有性质．
判断以下两个集合是否具有性质，并说明理由；
，．
已知具有性质．
证明：，，；
，并指出“”成立的条件．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：由数列是公差为的等差数列，，
可得，
即有，
当时，；
当时，，
上式对也成立，
则，且，
可得是等差数列；
，
可得数列的前项和，
，
上面两式相减可得
，
则．
16.解：如图，取靠近的三等分点，连接，
又是棱上靠近点的三等分点，
，又易知，
，
平面即为平面
平面平面，
；
证明：是棱上靠近点的三等分点，
，，又，
，，
，又，
，，
又平面，平面，
，又，
平面；
由知，且，
，
四棱锥的体积为：
．
17.解：由，可得，解得；
当时，，化为，
可得数列是首项为，公比为的等比数列，即有；
，，
由递减，可得时，取得最大值；
，
，
由递增，可得时，取得最小值，
对任意的，都有，
可得，
即的取值范围是
18.解：证明：因为圆柱的底面为圆，，
所以由圆的对称性可得，
又圆柱的侧棱底面圆，底面圆，
所以，
又，面，面，
所以面，
又面，
所以面面．
因为圆柱的轴截面是边长为的正方形，．
所以，，
又，
所以，则，
在中，，
因为底面圆，底面圆，
所以，
又，面，面，
所以面，
又面，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
设平面交圆柱上底面与，
因为圆柱上、下底面平行，
所以，
设，
所以二面角的大小就是二面角的大小，
分别以，为轴，轴，建立空间直角坐标系：
因为，底面圆半径为，则，
则，，，
设，
所以，，，，，
设平面的一个法向量为，
由，
令，则，
设平面的一个法向量为，
由，
令，则，
所以，，
因为二面角的正切值为，
所以，
整理得，
解得，舍，则，
所以，
当时，满足题意，
此时，
所以，所对圆心角为，
如图所示，，，
过作，垂足为，
在中，，
所以圆柱侧面上点到点的最短距离为．
19.解：对于集合，因为，
故集合，的元素和相等，故不具有性质；
对于，其共有个非空子集：，，，，，，，
各集合的和分别为：，，，，，，，它们彼此相异，
故具有性质；
证明：因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，
否则有两个非空子集，，它们的元素和相等，
而，也是的子集，故不具有性质，矛盾．
注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，
且子集的和最大为，最小为，故．
假设集合具有性质，
不妨设，
，
设，则，有可得，且，
而
，
故，
当且仅当时等号成立，
即此时任意的正整数，，即，，
故此时时等号成立，故的最大值为．
第1页，共1页