2024-2025学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高二（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高二（上）入学
数学试卷
一、选择题：本题共11小题，第1-8题每小题5分，第9-11题每小题6分，共58分。
1.已知，，，则( )
A. B. C. D.
2.设向量，，( )
A. B. C. D.
3.若：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知按从小到大顺序排列的两组数据：
甲组：，，，，，；
乙组：，，，，，．
若这两组数据的第百分位数对应相等，第百分位数也对应相等，则( )
A. B. C. D.
6.年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下以下公式是自然对数的底，是虚数单位，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是．
A. B.
C. D.
7.若一个圆柱的内切球与圆柱的两底面以及每条母线均相切的表面积为，则这个圆柱的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.对于，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则是钝角三角形
10.已知函数的图象过点，若函数的从小到大的四个不同的零点依次为，，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，正方体的棱长为，是侧面上的一个动点含边界，点在棱上，且，则下列结论正确的有( )
A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为
C. 若保持，则点的运动轨迹长度为
D. 平面被正方体截得截面为等腰梯形
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，集合，且，则实数的取值范围是______．
13.已知二次函数在区间上是单调函数，那么实数的取值范围是______．
14.如图，在四棱锥中，底面为矩形；为的中点若，，，当三棱锥的体积取到最大值时，点到平面的距离为______．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知，，．
求的最小正周期及单调递减区间；
求函数在区间上的最大值和最小值．
16.（15分）已知中，、、分别为角、、的对边，且．
求角的大小；
求的取值范围．
17.（15分）定义在上的函数满足，且当时，．
求；
证明在上单调递减；
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求三棱锥的体积；
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
19.（17分）某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的名同学分为组，每组共名同学进行单循环比赛已知甲、乙、丙、丁名同学所在小组的赛程如表规定：每场比赛获胜的同学得分，输的同学不得分，平局的名同学均得分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名抽签的胜者排在负者前面，且抽签时每人胜利的概率均为假设甲、乙、丙名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为丁同学的水平较弱，面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为每场比赛结果相互独立．
第一轮 甲乙 丙丁
第二轮 甲丙 乙丁
第三轮 甲丁 乙丙
求丁同学的总分为分的概率；
已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或或
14.
15.解：，，
由
，
的最小正周期，
由，
得：，
的单调递减区间为，；
由可得：
当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为，最小值为．
16.解：，
，即，
，即，
，即为钝角，
，即；
由正弦定理化简得：
，
，即，
则的取值范围是
17.解：，
令，
则
； 分
证明：由
可得，
设，，，
，即
，所以在上单调递减；分
因为，
所以，由得恒成立，
令，则可化为对任意恒成立，且，
分
18.解：取中点，连接，如图所示：
在中，、分别为、中点，
为的中位线，
，且，
又，
底面，
底面，
；
底面，且面，
，
底面是正方形，
，
又，、面，
面，又面，
，
，且，
是等腰直角三角形，又是斜边的中线，
，
又，、面，
面，
面，
，
，
又，、面，
平面；
由可知，
故是平面与平面的夹角，
，
，
在中，，，，
又面，
面，
，
在中，，
，
故平面与平面的夹角的大小．
19.解：丁同学总分为分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，
丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为，
则，
即丁同学的总分为分的概率为．
由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁名同学是平局，
则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，
故丁同学的总分为分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得分、分、分，
若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名．
若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，
甲同学的总分为分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率．
若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙名同学平局，
第三轮比赛中乙、丙名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为分，排第二名，
可以获得奖励，此时的概率．
若第一轮比赛中甲、乙名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，
第三轮比赛中当乙、丙名同学平局时，甲同学的总分为分，排第二名，
可以获得奖励，此时的概率
第三轮比赛中当乙、丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为分，
需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，
此时的概率．
综上，甲同学能获得奖励的概率．
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