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北师大版《用公式法求解一元二次方程》同步提升训练题
一．选择题（共32小题）
1．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
2．若关于x的方程（m﹣3）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4 B．m≥4 C．m≤4且m≠3 D．m≤4
3．关于一元二次方程（x﹣3）2＝﹣5根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不等的实数根 D．无法确定
4．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
6．关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．无实数根
7．关于x的一元二次方程x2+x﹣m2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
8．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
9．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥1且m≠0 D．m≤1且m≠0
10．一元二次方程x2+x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
11．已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
12．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k B．k且k≠0
C．k D．k且k≠0
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m+1＝0有两个相等的实数根，则此方程的根是（ ）
A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝2 C．x1＝x2＝1 D．x1＝x2＝﹣3
14．若实数b，c满足c﹣b+2＝0，则关于x的方程x2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
15．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
16．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k+1）x+k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．k≠﹣1
C．且k≠﹣1 D．且k≠﹣1
17．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．2
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
19．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．只有一个实数
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
20．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，则c的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
21．对于实数a，b定义运算“☆”为a☆b＝a2﹣a+b，例如：4☆5＝42﹣4+5＝17，则关于x的方程（x﹣2）☆2＝x﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
22．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
23．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤1且a≠0
24．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
25．关于x的一元二次方程kx2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2 B．k≤2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤2
26．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．0 C．4 D．8
27．已知关于x的方程a（x﹣m）x＝x﹣m有两个相等的实数根，若M＝a2﹣2am，，则M与N的关系正确的是（ ）
A．M+N＝2 B．M+N＝﹣2 C．2M+N＝0 D．M+N＝0
28．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2+x﹣1＝0
C．x2+x+3＝0 D．﹣x2﹣2x﹣1＝0
29．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的值不可能是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
30．下列关于方程x2﹣5x+7＝0的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
31．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0两个相等的实数根，则关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判定
32．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣1 B．（x﹣2）2＝0 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
二．填空题（共12小题）
33．关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0没有实数根（c是常数），则c的取值范围是 ．
34．若关于x的一元二次方程x2+x+a﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
35．若|b﹣1|0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
36．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
37．已知关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
38．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ．
39．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
40．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实根，则m的值为 ．
41．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
42．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
43．关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ．
44．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k可取的最小整数值是 ．
三．解答题（共16小题）
45．已知关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0，若方程有实数根，求m的取值范围．
46．解一元二次方程：
（1）x2+3x﹣1＝0；
（2）．
47．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
48．解方程．
（1）（x+1）2＝16；
（2）x2+6x﹣2＝0．
49．解方程：
（1）2x2﹣8＝0．
（2）x2﹣3x+1＝0．
50．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
51．解方程：
（1）（x+3）2＝25；
（2）x2﹣3x+1＝0．
52．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）已知方程一个根为2，求k的值．
53．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为﹣4，求m的值．
54．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+2m2+m﹣1＝0．
（1）当m＝2时，解这个方程；
（2）试判断方程根的情况，并说明理由．
55．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．
56．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
57．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值．
58．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2+m＝0．
（1）求证：对于任意实数m，该方程总有实数根；
（2）若这个一元二次方程的一根大于2，求m的取值范围．
59．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根．
60．已知若△ABC的一边长为5，另外两边长为关于x的方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0的两个实数根，求m的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版《用公式法求解一元二次方程》同步提升训练题
一．选择题（共32小题）
1．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【思路点拔】根据该方程有两个相等的实数根，得Δ＝b2﹣4ac＝0，代入数值化简计算，即可作答．
解：∵x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了根据一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
2．若关于x的方程（m﹣3）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4 B．m≥4 C．m≤4且m≠3 D．m≤4
【思路点拔】分情况①当m﹣3＝0，即m＝3时，②当m﹣3≠0，即m≠3时两种情况，前者是一元一次方程，必定有解，后者根据一元二次方程根的判别式得到Δ＝16﹣4m≥0，解不等式即可．
解：①当m﹣3＝0，即m＝3时，原方程化为2x+1＝0，解得：，
即m＝3符合题意；
②当m﹣3≠0，即m≠3时，
∵关于x的方程（m﹣3）x2+2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝22﹣4（m﹣3）＝16﹣4m≥0，
∴m≤4且m≠3，
综上所述：m的取值范围是m≤4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的个数之间的关系是解本题的关键．
3．关于一元二次方程（x﹣3）2＝﹣5根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不等的实数根 D．无法确定
【思路点拔】求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果．
解：（x﹣3）2＝﹣5，变形为x2﹣6x+14＝0，
Δ＝62﹣4×14＝﹣20＜0，
∴原方程无实数根．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
4．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【思路点拔】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，从而可判断根的情况．
解：方程化为一般式为x2﹣2x﹣4＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【思路点拔】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝8＞0，进而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．无实数根
【思路点拔】根据方程根的判别式即可判断．
解：原方程化为4x2﹣4x+1＝0，
∵a＝4，b＝﹣4，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×4×1＝0，
则方程有两个相等的实数根．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．
7．关于x的一元二次方程x2+x﹣m2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【思路点拔】先求出Δ的值，再判断出其符号即可．
解：∵Δ＝12﹣4×1×（﹣m2）＝1+4m2＞0，
∴方程有两个不等实根．
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
8．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
【思路点拔】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，
解得k≥﹣2且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【思路点拔】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×1≥0，解不等式组即可．
解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，
∴m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×1≥0，
解得m≤1且m≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的定义．
10．一元二次方程x2+x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【思路点拔】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论．
解：∵x2+x+2＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
11．已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【思路点拔】求出Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2，只要说明这个式子的值的符号，问题可求解．根据三角形的三边关系即可判断．
解：∵Δ＝（2c）2﹣4（a+b）2＝4[c2﹣（a+b）2]＝4（a+b+c）（c﹣a﹣b），
根据三角形三边关系，得a+b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴Δ＜0，
∴该方程没有实数根．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．
12．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k B．k且k≠0
C．k D．k且k≠0
【思路点拔】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，
则k的取值范围是k且k≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m+1＝0有两个相等的实数根，则此方程的根是（ ）
A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝2 C．x1＝x2＝1 D．x1＝x2＝﹣3
【思路点拔】先利用根的判别式求出m的值，再对方程进行求解即可．
解：因为关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m+1＝0有两个相等的实数根，
所以（﹣2）2﹣4（﹣3m+1）＝0，
解得m＝0，
所以此方程为x2﹣2x+1＝0，
解得x1＝x2＝1．
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
14．若实数b，c满足c﹣b+2＝0，则关于x的方程x2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【思路点拔】根据条件得到c＝b﹣2，根据判别式求根的情况即可判断．
解：∵实数b，c满足c﹣b+2＝0，
∴c＝b﹣2，
∴Δ＝b2﹣4c
＝b2﹣4（b﹣2）
＝（b﹣2）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
15．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
【思路点拔】由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且Δ＞0，即22﹣4 m （﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且Δ＞0，即22﹣4 m （﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＜0，方程有两个相等的实数根；当Δ＝0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
16．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k+1）x+k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．k≠﹣1
C．且k≠﹣1 D．且k≠﹣1
【思路点拔】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k+1）x+k﹣1＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k+1）（k﹣1）≥0，k+1≠0，
解得：k且k≠﹣1．
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的关系是解本题的关键．
17．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．2
【思路点拔】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于 m 的方程，即可求解．
解：∵关于 x 的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，
解得m＝4．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【思路点拔】先观察数轴，根据m，n在数轴上的位置，判断其正负，再求出方程根的判别式，根据m，n的值判断判别式的大小，进行解答即可．
解：观察数轴可知：m＞0，n＜0，
∴m2＞0，﹣4n＞0
∴x2﹣mx+n＝0，
a＝1，b＝﹣m，c＝n，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×n＝m2﹣4n＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查了根的判别式和数轴，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
19．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．只有一个实数
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【思路点拔】将所给方程整理成一般式，再利用根的判别式即可解决问题．
解：由题知，
原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，
所以Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
20．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，则c的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4c≥0，解得c≤4，
故选项D中的5不符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况与根的判别式Δ＝b2﹣4ac的关系．
21．对于实数a，b定义运算“☆”为a☆b＝a2﹣a+b，例如：4☆5＝42﹣4+5＝17，则关于x的方程（x﹣2）☆2＝x﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【思路点拔】准确理解题意，再利用根的判别式即可得答案．
解：∵（x﹣2）☆2＝x﹣1，
∴方程为（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2＝x﹣1，
即x2﹣6x+9＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝36﹣36＝0，
∴有两个相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
22．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【思路点拔】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
23．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤1且a≠0
【思路点拔】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△≥0，解得即可．
解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，
∴a≠0，且Δ＝（﹣2）2﹣4a×1≥0，
解得：a≤1且a≠0，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
24．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
【思路点拔】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可．
解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．
当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项A不符合题意；
当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项B符合题意；
当p＜0时，Δ的正负无法确定，
∴无法判断该方程实数根的情况，
故选项C不符合题意；
∵方程的根的情况和p的值有关，
故选项D不符合题意．
故选B．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用能力，关键是能对该方程进行准确变形与计算．
25．关于x的一元二次方程kx2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2 B．k≤2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤2
【思路点拔】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4k×2≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×2≥0，
解得k≤2且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
26．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．0 C．4 D．8
【思路点拔】利用根的判别式的意义得到42﹣4m＝0，然后解方程即可．
解：根据题意得Δ＝42﹣4m＝0，
解得m＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
27．已知关于x的方程a（x﹣m）x＝x﹣m有两个相等的实数根，若M＝a2﹣2am，，则M与N的关系正确的是（ ）
A．M+N＝2 B．M+N＝﹣2 C．2M+N＝0 D．M+N＝0
【思路点拔】方程化为一般式为ax2﹣（am+1）x+m＝0，根据根的判别式的意义得到Δ＝（am+1）2﹣4am＝0，所以m，于是可计算出M＝a2﹣2，N＝4﹣a2，然后消去a2得到M与N的关系．
解：方程化为一般式为ax2﹣（am+1）x+m＝0，
根据题意得Δ＝（am+1）2﹣4am＝0，
（am﹣1）2＝0，
∴am﹣1＝0，
即m，
∴M＝a2﹣2a a2﹣2，N＝4a 4﹣a2，
∴M+N＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
28．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2+x﹣1＝0
C．x2+x+3＝0 D．﹣x2﹣2x﹣1＝0
【思路点拔】求出每个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
解：A．Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，方程有两个不相等实数根，此选项错误，不合题意；
B．Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项错误，不合题意；
C．Δ＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，方程没有实数根，此选项错误，符合题意；
D．Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×（﹣1）＝0，方程有两个相等的实数根，此选项错误，不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
29．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的值不可能是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【思路点拔】根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4m≥0，解之即可得出m的取值范围，再比照四个选项即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，
∴Δ＝4﹣4m≥0
解得：m≤1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
30．下列关于方程x2﹣5x+7＝0的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
【思路点拔】根据判别式的符号进行判断即可．
解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0；
∴方程没有实数根；
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；Δ＝0，方程有两个相等的实数根；Δ＜0，方程没有实数根是解题的关键．
31．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0两个相等的实数根，则关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判定
【思路点拔】根据第一个方程求得k的值，然后计算第二个方程根的判别式，利用k的值进行判断其符号即可求得答案．
解：∵关于x的一元二次方x2﹣4x+k﹣1＝0两个相等的实数根，
∴△1＝42﹣4（k﹣1）＝0，
∴k＝5，
∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0中，△2＝16﹣4k＝16﹣20＝﹣4＜0，
∴该方程没有实数根，
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
32．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣1 B．（x﹣2）2＝0 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
【思路点拔】根据一元二次方程根的判别式对各选项进行逐一判断即可．
解：A、（x﹣2）2＝﹣1化简为方程x2﹣4x+5＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
此方程没有实数根，不符合题意；
B、（x﹣2）2＝0，化简为x2﹣4x+4＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝4，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
∴此方程有两个相等实数根，符合题意；
C、（x﹣2）2＝1，化简为方程x2﹣4x+3＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝3，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、方程（x﹣2）2＝2，化简为可化为x2﹣4x+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝2，
∴Δ＝42﹣4×1×2＝16﹣8＝8＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
33．关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0没有实数根（c是常数），则c的取值范围是 c ．
【思路点拔】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4c＜0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4c＜0，
解得c．
故答案为：c．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
34．若关于x的一元二次方程x2+x+a﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a ．
【思路点拔】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．
解：根据题意得：Δ＝12﹣4（a﹣1）＞0，即16﹣4a＞0，
解得：a，
则a的范围是a，
故答案为：a．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
35．若|b﹣1|0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤4且k≠0 ．
【思路点拔】根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．
解：∵|b﹣1|0，
∴b＝1，a＝4，
∴原方程为kx2+4x+1＝0，
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝16﹣4k≥0，
解得：k≤4，
∵方程kx2+ax+b＝0是一元二次方程，
∴k≠0，
k的取值范围是：k≤4且k≠0，
故答案为：k≤4且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式，利用判别式得到关于k的不等式是解题的关键．
36．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 2 ．
【思路点拔】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣8k＝0，然后解关于k的方程即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8k＝0，
解得：k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握Δ＝0有两个相等的实数根是解题的关键．
37．已知关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m ．
【思路点拔】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2m＝1﹣8m＞0，
解得：m．
故答案为：m．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式Δ＞0”是解题的关键．
38．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ﹣1 ．
【思路点拔】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＝0，然后解关于a的方程即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
39．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣1且k≠0 ．
【思路点拔】由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0且k≠0，则可求得k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0
∴k≠0，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
40．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实根，则m的值为 1 ．
【思路点拔】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，然后解关于m的方程即可．
解：∵x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
41．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 k且k≠0 ．
【思路点拔】根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k且k≠0．
即实数k的取值范围是k且k≠0．
故答案为：k且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
42．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≤0且m≠﹣1 ．
【思路点拔】由一元二次方程的定义，m+1≠0，有实数根，则Δ≥0，建立不等式求解．
解：由题意得，Δ＝（﹣2）2﹣4（m+1）×1≥0且m+1≠0，
解得m≤0且m≠﹣1．
故答案为：m≤0且m≠﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式；由判别式定理建立关于参数的不等式是解题的关键．
43．关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ．
【思路点拔】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4（a﹣2）＝0，然后解关于a的方程即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4（a﹣2）＝0，
解得a，
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
44．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k可取的最小整数值是 ﹣1 ．
【思路点拔】根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，即9+6k≥0，解得：
∴k的最小整数值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键．
三．解答题（共16小题）
45．已知关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0，若方程有实数根，求m的取值范围．
【思路点拔】根据△的意义得到Δ≥0，即（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0，然后解不等式即可．
解：∵方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0，
解得m≤1，
∴m的取值范围是m≤1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了不等式的解法．
46．解一元二次方程：
（1）x2+3x﹣1＝0；
（2）．
【思路点拔】（1）根据公式法可以解答此方程；
（2）根据公式法可以解答此方程．
解：（1）x2+3x﹣1＝0，
a＝1，b＝3，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
该方程有两个不相等的实数根，
∴x，
∴x1，x2；
（2）
化简，得：x2﹣8x+4＝0，
a＝1，b＝﹣8，c＝4，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×4＝48＞0，
该方程有两个不相等的实数根，
∴x4±2，
∴x1＝4+2，x2＝4﹣2．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是会用公式法解方程．
47．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
【思路点拔】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，代入（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求得m的值．
解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）≥0，
解得m≤2；
p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，
则（p2﹣2p+3）（m+4）＝7即（4﹣m）（4+m）＝7，
解得：m＝3（舍去）或﹣3．
故m的值为﹣3．
【点评】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．
48．解方程．
（1）（x+1）2＝16；
（2）x2+6x﹣2＝0．
【思路点拔】（1）利用直接开方法即可求解．
（2）利用求根公式即可求解．
解：（1）（x+1）2＝16，
∴x+1＝±4，
解得：x1＝3，x2＝﹣5；
（2）x2+6x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝6，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝36﹣4×（﹣2）
＝36+8
＝44，
∴，
解得：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
49．解方程：
（1）2x2﹣8＝0．
（2）x2﹣3x+1＝0．
【思路点拔】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
解：（1）2x2﹣8＝0．
2x2＝8，
∴x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
（2）∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0．
∴x，
∴．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
50．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据方程解的定义把x＝﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，整理得a﹣b＝0，即a＝b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，整理得a2＝b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
51．解方程：
（1）（x+3）2＝25；
（2）x2﹣3x+1＝0．
【思路点拔】（1）利用直接开平方法对所给方程进行求解即可．
（2）利用公式法对所给方程进行求解即可．
解：（1）（x+3）2＝25，
x+3＝±5，
所以x1＝2，x2＝﹣8．
（2）x2﹣3x+1＝0，
则Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
所以x，
所以．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法及解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知公式法及直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
52．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）已知方程一个根为2，求k的值．
【思路点拔】（1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一根为α，根据根与系数的关系列方程组，消去a，得到k的一元二次方程，解方程即得．
解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k＝1＞0，
故方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的另一根为a，
则，
∴k2﹣3k+2＝0，
∴（k﹣1）（k﹣2）＝0，
∴k﹣1＝0，或k﹣2＝0，
解得，k＝1，或k＝2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．
53．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为﹣4，求m的值．
【思路点拔】（1）计算Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2≥0，即可得出结论．
（2）将x＝﹣4代入方程得16﹣4m﹣m﹣1＝0，解出m的值即可．
（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣m﹣1）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程的一个根为﹣4，
∴16﹣4m﹣m﹣1＝0，
解得m＝3，
即m的值为3．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
54．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+2m2+m﹣1＝0．
（1）当m＝2时，解这个方程；
（2）试判断方程根的情况，并说明理由．
【思路点拔】（1）把m＝2，代入方程，解方程即可；
（2）证明Δ≥0，可得结论．
解：（1）m＝2时，方程为x2﹣6x+9＝0，
∴（x﹣3）2＝0，
∴x1＝x2＝3；
（2）Δ＝（3m）2﹣4（2m2+m﹣1）
＝9m2﹣8m2﹣4m+4
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴方程有实数根．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型．
55．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．
【思路点拔】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于n的不等式，求出n的取值范围；
（2）由题意可得n＝1，设该方程的根是a，3a，根据根与系数的关系列方程求解即可．
解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣n）＝4m2﹣4m2+4n＞0，
∴n＞0；
（2）∵n为符合条件的最小整数，n＞0，
∴n＝1，
∴原方程为：x2﹣2mx+m2﹣1＝0，
设该方程的根是a，3a，
∴a+3a＝2m，a 3a＝m2﹣1，
解得a＝1，m＝2或a＝﹣1，m＝﹣2（不合题意，舍去），
∴m的值为2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
56．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
【思路点拔】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，代入（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求得m的值．
解：（1）根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）≥0，解得m≤2；
（2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，
则（p2﹣2p+3）（m+4）＝7即（4﹣m）（4+m）＝7，
解得：m＝3（舍去）或﹣3．
故m的值为﹣3．
【点评】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，（2）中注意求得的m要满足（1）中m的范围．
57．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值．
【思路点拔】利用根的判别式求出a的值，再将所给分式化简并求值即可．
解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
所以Δ＝（﹣a）2﹣40，
解得a＝﹣2．
又因为，
当a＝﹣2时，
．
【点评】本题考查根的判别式及分式分混合运算，熟知一元二次方程根的判别式及分式的化简求值是解题的关键．
58．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2+m＝0．
（1）求证：对于任意实数m，该方程总有实数根；
（2）若这个一元二次方程的一根大于2，求m的取值范围．
【思路点拔】（1）根据一元二次方程判别式为（m﹣1）2≥0即可解答；
（2）解方程，求得x1＝m+2，x2＝1，根据题意得到m+2＞2，解不等式即可．
（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2+m＝0，
∴Δ＝（m+3）2﹣4×1×（2+m）＝（m+1）2≥0，
∴对于任意实数m，该方程总有实数根；
（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，
∵，
∴x1＝m+2，x2＝1，
∵这个一元二次方程的一根大于2，
∴m+2＞2，
解得：m＞0，
∴m的取值范围m＞0．
【点评】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键．
59．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根．
【思路点拔】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式大于0，从而列出关于m的不等式，解不等式即可；
（2）根据（1）中所求m的取值范围，求出m，再代入方程，然后用分解因式法求出方程的根即可．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
22﹣4（m﹣1）＞0，
4﹣4m+4＞0，
8﹣4m＞0，
﹣4m＞﹣8，
m＜2；
（2）∵m为满足条件的最大整数，m＜2，
∴m＝1，
∴原方程为：x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断方程解的情况和解一元二次方程的一般步骤．
60．已知若△ABC的一边长为5，另外两边长为关于x的方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0的两个实数根，求m的取值范围．
【思路点拔】利用一元二次方程根与系数的关系得出
解：由题知，
Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4（2m﹣8）＝m2﹣12m+36＝（m﹣6）2，
因为（m﹣6）2≥0，
所以不论m取何值，此方程总有两个实数根，
解方程得，
x，
所以x1＝m﹣4，x2＝2．
因为△ABC的边长为5，
则根据三角形三边的关系可知：5﹣2＜m﹣4＜5+2，
解得7＜m＜11，
所以m的取值范围是：7＜m＜11．
【点评】本题主要考查了根的判别式及三角形三边关系，熟知一元二次方程根的判别式及三角形三边关系是解题的关键．
