济宁市实验中学2022级高三上学期开学考
数学试题
单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列选项中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10.已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的单调递增区间为
C．的极小值为3
D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为
11.已知函数其中，且，则（ ）
A． B．函数有2个零点
C． D．
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .
若函数为偶函数，则 .
14.已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知平面向量，.
(1)求的值；
(2)求与夹角的余弦值.
（15分）已知二次函数的最小值为，且关于的不等式的解集为
(1)求函数的解析式；
(2)若函数与的图象关于轴对称，且当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围．
17.（15分）已知
求的单调递减区间；
若，求的值；
18.（17分）已知数列的首项，且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，并证明．
19.（17分）
已知，，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
(3)当时，若满足，求证：.济宁市实验中学2022级高三上学期开学考
数学试题
一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】解出集合、，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】或，或，
是的真子集，
因此，是的必要不充分条件.
故选：B
2. 若，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可.
【详解】，且，
，，
故选：A
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数零点存在性定理判断即可
【详解】函数 是上的连续增函数,
,
可得,
所以函数 的零点所在的区间是.
故选：C
4. 曲线在处切线的斜率为（ ）
A. 2 B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用复合函数的导数公式求出原函数的导函数，然后在导函数解析式中，取即可求出答案．
【详解】由，得：，
所以，
故选：B
5. 在△中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理边角关系及已知条件可得，再由三角形内角的性质有，进而应用余弦定理求的值.
【详解】由题设，且，可得，，
所以，又，，
所以，即.
故选：B.
6. 已知为虚数单位，若为实数，则实数的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先应用除法及乘法计算化简，再结合复数类型求参.
【详解】
因为为实数，所以,即.
故选：D.
7. ，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用求解即可.
【详解】，故，
故……，
故.
故选：D
8. 已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，根据题意可得函数是偶函数，，且函数在上递增，不等式即为不等式，根据函数得单调性即可得出答案.
【详解】解：令，
因为是定义在R上的偶函数，
所以，
则，
所以函数也是偶函数，
，
因为当时，，
所以当时，，
所以函数在上递增，
不等式即为不等式，
由，得，
所以，
所以，解得或，
所以的解集是.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断； 选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断； 选项D利用二倍角的正切公式求解判断.
【详解】选项A：，故选项A不符合题意；
选项B：，故选项B符合题意；
选项C：，故选项C符合题意；
选项D：，故选项C符合题意.
故选：BCD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数
B. 的单调递增区间为
C. 的极小值为3
D. 若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用判断A选项；利用导数求出函数的单调区间和极值，从而判断选项B,C,D.
【详解】对于A，，故，又其定义域为R，
故为奇函数，故A正确；
对于B，，所以在上，，单调递减；
在和上，，单调递增，故B错误；
对于C，由B知，在处取极小值，极小值，故C错误；
对于D，方程恰有3个不等的实根，即恰有3个解，
且在和上，单调递增；在上，单调递减，
所以，即，故D正确.
故选：AD
11. 已知函数其中，且，则（ ）
A. B. 函数有2个零点
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可.
【详解】解：，故A正确；
作出函数的图象如图所示，
观察可知，，而，
故，有3个交点，
即函数有3个零点，故B错误；
由对称性，，而，
故，故C正确；
b，c是方程的根，故，
令，则，
故，而，均为正数且在上单调递增，
故，故D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.
【详解】因为“，使”是假命题，
所以“，”为真命题，
其等价于在上恒成立，
又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
13. 若函数为偶函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的定义得，代入化简即得值.
【详解】因为为偶函数，所以，即，
即，即，所以，
故答案：
14. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.
【详解】由题意，不等式即，进而转化为，
令，则，
当时，，所以在上单调递增.
则不等式等价于恒成立.
因为，所以，
所以对任意恒成立，即恒成立.
设，可得，
当时，单调递增，当时，单调递减．
所以时，有最大值，于是，解得．
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解本题的关键是，将已知条件转化为恒成立，通过构造函数，利用导数结合函数的单调性得到，进而构造函数，计算求得结果.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，.
（1）求的值；
（2）求与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）计算出，由公式求出模长；
（2）利用向量余弦夹角公式进行求解.
【小问1详解】
，
故；
【小问2详解】
设与夹角为，
，
故与夹角的余弦值为
16. 已知二次函数的最小值为，且关于的不等式的解集为
（1）求函数的解析式；
（2）若函数与的图象关于轴对称，且当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两根式设出二次函数解析式，代入条件即可.
（2）转化成恒成立问题求最值即可.
【小问1详解】
因为是二次函数，且关于的不等式的解集为，
所以，
所以当时，，所以，
故函数的解析式为.
【小问2详解】
因为函数与的图象关于轴对称，
所以，
当时，的图象恒在直线的上方，
所以，在上恒成立，
即，所以，
令，则，
因为(当且仅当，即时，等号成立)，
所以实数的取值范围是.
17. 已知
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦的二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，再结合正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据特殊角的三角函数值进行求解即可.
【小问1详解】
由于，
令，
整理得，
所以函数的单调递减区间为
【小问2详解】
由于，所以，
则，即，
解得，
则
18. 已知数列的首项，且满足（）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前项和，并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）由等比数列的定义即可求证，
（2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证.
【小问1详解】
由得，
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列．
【小问2详解】
由（1）知，，所以
所以，
当时，单调递增，故．
19. 已知，，是自然对数的底数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：.
【答案】（1）极小值为0，无极大值.
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值.
（2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可.
（3）求出，并得函数在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可.
【小问1详解】
当时，，定义域为，求导可得，
令，得，
当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以在处取到极小值为0，无极大值.
【小问2详解】
方程，
当时，显然方程不成立，
所以，则，
方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，
，
当或时，，
在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，在区间上单调递增，
时，当时，取得最小值，，
作出函数的图象，如图所示：
因此与有2个交点时，，
故的取值范围为.
【小问3详解】
证明：，由，得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
由题意，且，则，.
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，
，
由均值不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数在上单调递增.
由，可得，即，
所以，
又函数在上单调递减，济宁市实验中学2022级高三上学期开学考
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C B B D D A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BCD 10．AD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1），.........................................................................................................3分
故；......................................................................................................................6分
（2）设与夹角为，
，............................................................................................12分
故与夹角的余弦值为 .....................................................................................................................13分
16.（1）因为是二次函数，且关于的不等式的解集为，
所以，...................................................................................................................2分
所以当时，，所以，.........................................................................4分
故函数的解析式为. ............................................................................6分
（2）因为函数与的图象关于轴对称，
所以，...................................................................................................................7分
当时，的图象恒在直线的上方，
所以，在上恒成立，
即，所以， ..............................................................................................9分
令，则，..............................................................................................10分
因为(当且仅当，即时，等号成立)，............................14分
所以实数的取值范围是. ................................................................................................................15分
17.由于，..............2分
令，.................................................................................................4分
整理得，.................................................................................................6分
所以函数的单调递减区间为...................................................................................7分
由于，所以，..............................................................................................9分
则，即，..............................................................................................11分
解得，.............................................................................................................................13分
则.......................................................................15分
18.（1）由得，...................................................................3分
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列． ...................................................................7分
（2）由（1）知，，所以................................................................9分
所以，..................................................................................................................11分
.................................................................15分
当时，单调递增，故．..........................................................................................17分
19.（1）当时，，定义域为，求导可得，.................................1分
令，得，
当时，，函数在区间上单调递减，.......................................................2分
当时，，函数在区间上单调递增，.......................................................3分
所以在处取到极小值为0，无极大值.............................................................................4分
（2）方程，
当时，显然方程不成立，
所以，则，.................................................................................................................................5分
方程有两个不等实根，即与有2个交点，.....................................................................6分
，
当或时，，
在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，在区间上单调递增，
时，当时，取得最小值，，.................................................................................8分
作出函数的图象，如图所示：
因此与有2个交点时，，
故的取值范围为..................................................................................................................................10分
（3）证明：，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
由题意，且，则，.
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，.............................................................................12分
即证，
令，
即，
，
由均值不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数在上单调递增...........................................................................................................15分
由，可得，即，
所以，
又函数在上单调递减，
