齐鲁名师联盟2025届高三年级第一次诊断考试
数学
本试卷共4页，19题.满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本次考试范围：集合与常用逻辑用语；一元二次方程、函数和不等式；函数与导数；计数原理与概率统计.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 若集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数在区间上的最大值是（ ）
A －9 B. －16 C. 16 D. 9
3. 若正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
4. 从数字中随机取一个数字，取到的数字为，再从数字中随取一个数字，则第二次取到数字2的概率为（ ）
A B. C. D.
5. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A. 48 B. 32 C. 24 D. 16
6. 令，则当时，a除以15所得余数为（ ）
A. 4 B. 1 C. 2 D. 0
7. 不等式恒成立，则实数最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
8. 已知函数没有极值点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ）
A. 四位回文数有45个 B. 四位回文数有90个
C. （）位回文数有个 D. （）位回文数有个
10. 已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，，则
B. 若，且，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
11. 已知函数是的导函数，则（ ）
A. “”是“为奇函数”的充要条件
B. “”是“为增函数”的充要条件
C. 若不等式的解集为且，则的极小值为
D. 若是方程的两个不同的根，且，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.
13. 已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是______．
14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数，其中.
（1）若命题“”为假命题，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.
16. 已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值;
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
17. 某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人进球与否互不影响.
（1）若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
18. 已知函数．
（1）在定义域内单调递减，求的范围；
（2）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（3）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围．
19. 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
（1）若，求；
（2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）齐鲁名师联盟2025届高三年级第一次诊断考试
数学
本试卷共4页，19题.满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本次考试范围：集合与常用逻辑用语；一元二次方程、函数和不等式；函数与导数；计数原理与概率统计.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将集合变形，再根据集合间的关系及并集和交集的定义即可得解.
【详解】因为，
所以，且.
故选：C.
2. 函数在区间上的最大值是（ ）
A. －9 B. －16 C. 16 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求导可得的极值，从而得到结果.
【详解】因为，令，解得，
当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
所以在时取得极大值，即最大值，
所以在区间上的最大值是.
故选：C
3. 若正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】由正数，满足，
得，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选：B
4. 从数字中随机取一个数字，取到的数字为，再从数字中随取一个数字，则第二次取到数字2的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可.
【详解】记事件“第一次取到数字”，，事件“第二次取到数字2”，
由题意知是两两互斥的事件，且（样本空间），
所以
.
故选：A.
5. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A. 48 B. 32 C. 24 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
故选：C
6. 令，则当时，a除以15所得余数为（ ）
A. 4 B. 1 C. 2 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】当，利用二项式定理化简得，结合二项式的展开式公式即可求解.
【详解】，
当时，
故a除以15所得余数为0.
故选：D.
7. 不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先明确函数的定义域，分离参数，利用进行放缩处理.
【详解】设，，则，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，即.
所以在恒成立.
由题意：函数的定义域为：.
所以原不等式可化为：，问题转化为求（）的最小值.
而（当且仅当时取“=”）
结合图象：
方程在上有唯一解.
所以.
故选：B
8. 已知函数没有极值点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】转化为恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到，故，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案.
【详解】函数没有极值点，
，或恒成立，
由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0，
恒成立．
令，则，
当时，恒成立，为上的增函数，
因为增函数，也是增函数，
所以，此时，不合题意；
②当时，为增函数，由得，
令
在上单调递减，在上单调递增，
当时，依题意有，
即，
，，
令，，
则，
令，令，解得，
所以当时，取最大值
故当，，即，时，取得最大值
综上，若函数没有极值点，则的最大值为
故选：B.
【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于0，通过构造函数，借助导数研究函数的最小值，从而得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ）
A. 四位回文数有45个 B. 四位回文数有90个
C （）位回文数有个 D. （）位回文数有个
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，用列举法分析四位回文数数目，可得A错误，B正确；再用分步计数原理分析2n+1位回文数的数目，可得C错误，D正确，综合可得答案．
【详解】据题意，对于四位回文数，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999，共90个，则A错误，B正确；
对于2n位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第n和第n+1位也有10种，则共有9×10×10×……×10＝9×10n-1种选法，故C错；
对于2n+1位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第n+1个数字，即最中间的数字有10种选法，
则共有9×10×10×……×10＝9×10n种选法，即2n+1（n∈N*）位回文数有9×10n个，所以 D正确．
故选：BD．
10. 已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，，则
B. 若，且，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】，，得到A选项；，得到B选项；由条件概率公式得到C、D选项.
【详解】选项A：因为，所以，选项A不正确；
选项B：若，则A，B互斥，由，，
得，选项B正确；
选项C：由，即,事件A，B相互独立，所以事件，也相互独立，
所以，
则，选项C正确；
选项D：由，，
得，，，
所以，
解得，选项D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数是的导函数，则（ ）
A. “”是“为奇函数”的充要条件
B. “”是“为增函数”的充要条件
C. 若不等式的解集为且，则的极小值为
D. 若是方程的两个不同的根，且，则或
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数的单调性，进而求得的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合，列出不等式，可判定D正确．
【详解】对于A中，当时，函数，则满足，
所以为奇函数，所以充分性成立；
若为奇函数，则，
则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确；
对于B中，当时， ，可得，所以增函数；
由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；
对于C中，由，若不等式的解集为且，
则在上先增后减再增，则，解得，
故，可得，
令，解得或，
当内，，单调递增；
当内，，单调递减；
当内，，单调递增，
所以的极小值为，所以C正确．
对于D中，由，因为是方程的两个不同的根，
所以，即，且，
由，可得，所以，即，
联立方程组，可得，解得或，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得.
【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得 ，
依题意，集合，
，
当，即时，，则，解得；
当，即时，，则，解得，
当，即时，，满足 ，因此，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
13. 已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】按照且的限制条件进行分类讨论：，，，存在性问题转化为求函数极值最值问题即可.
【详解】由题知，，
若，则当时，，当且仅当时第一个等号成立，所以f（x）在上单调递增，
所以当时，，不满足题意；
若，则当时，，f（x）在上单调递减，
所以当时，，满足题意；
若，则当时，则，
令，则，所以g（x）在上单调递增，
当时，，所以存在唯一的，使得，
且时，f（x）单调递减，所以时，，满足题意．
故实数a的取值范围是．
故答案为：.
14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为______.
【答案】1250
【解析】
【分析】由题意知，可求出，由，得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可.
【详解】由题意知，所以，，
若，则，
即，即，
由切比雪夫不等式知，
要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，
则，解，
所以估计信号发射次数n的最小值为1250.
故答案为：1250
【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的期望和方差，考查切比雪夫不等式的应用，解题的关键是将变形为，考查理解能力和计算能力，属于较难题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数，其中.
（1）若命题“”为假命题，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，转化为命题“”为真命题，结合，即可求解；.
（2）根据题意，转化为在区间内恒成立，利用基本不等式求得的最小值为，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为函数，
由命题“”为假命题，即命题“”为真命题，
根据二次函数性质，可得，解得或，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
解：由函数，可得，
因为函数在区间内恒成立，
即在区间内恒成立，
又因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
16. 已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值;
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）增区间为和，减区间为，极大值为-1，极小值为
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求得函数的增区间、减区间以及极大值、极小值；
（2）结合参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
，
该函数定义域为，
则，列表如下：
1 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为和，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
当时，由可得，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，，
所以，，故实数的取值范围是.
17. 某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人进球与否互不影响.
（1）若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
【答案】（1）；
（2）12.
【解析】
【分析】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，表示乙在一轮比赛中投进个球，根据，结合独立重复试验的概率公式可得；
（2）设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，先求，然后根据二项分布期望公式列不等式得，令，，利用导数求最值即可得解.
【小问1详解】
设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，
表示乙在一轮比赛中投进个球，
则，，
，；
，，
，.
则乙在一轮比赛中获得一个积分的概率为：
.
【小问2详解】
，.
设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则
；
设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，
显然，故，
要满足题意，则，即，
又，故，
令，，则在恒成立，
故在上单调递增，
又的最大值为，
则的最大值为，的最小值为，
而
故理论上至少要进行12轮比赛.
18. 已知函数．
（1）在定义域内单调递减，求的范围；
（2）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（3）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，由导函数恒小于0，可求的范围；
（2）分类讨论有：当时，函数没有极值点，当时，函数有一个极值点；
（3）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是.
【小问1详解】
函数定义域为，
，因为在定义域内单调递减，
则在上恒成立，可得，
函数在单调递减，的取值范围为；
【小问2详解】
当时，在定义域内单调递减，
∴在上没有极值点；
当时，得，得，
∴在上递减，在上递增，
即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点．
【小问3详解】
∵函数在处取得极值，，∴，
∴，
令，，
，则，
可得在上递减，在上递增，
∴，即．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
19. 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
（1）若，求；
（2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先得到的分布列，再根据所给定义求出；
（2）（ⅰ）记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件，根据全概率公式求出，再由条件概率公式求出；
（ⅱ）结合（ⅰ）及所给定义表示出，设，利用导数证明，从而得到，即可证明.
【小问1详解】
因为，所以，
所以的分布列为：
所以.
【小问2详解】
（ⅰ）记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件，
则，，，，
所以
，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知，则，
则，
设，则，
所以当时，单调递增，当时，单调递减；
所以，即（当且仅当时取等号），
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以.
