高二上学期数学开学考试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，向量，且⊥，则（ ）
A. 3 B. 5 C. 9 D. 25
3. 某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（ ）
比赛成绩 6 7 8 9 10
班级数 3 5 4 4 4
A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10
4. 设是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C 若，则
D. 若，则
5. 已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在平行四边形中，，，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
8. 在三角形中，内角的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9. 已知，则下列正确的是（ ）
A. B. 在复平面内所对应的点在第二象限
C. D.
10. 在中，角的对边分别是，若，，则（ ）
A. B.
C. D. 面积为
11. 如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面
C. D. 平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知事件A和B互斥，且，，则______.
13. 已知在中，内角的对边分别为，若，则的面积为_______．
14. 在中，为中点，若，则实数的值为______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知两组各有5位病人，他们服用某种药物后康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，
组：12，13，15，14，．
假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．
（1）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（2）如果，事件：“甲康复时间为11天”，事件：“甲乙康复时间之和为25天”，事件是否相互独立？
16. 如图，在三棱柱中，平面．
（1）证明：平面平面；
（2）设，求四棱锥的高．
17. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；
（2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在内的概率.
18. 在①，②外接圆面积为，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答.
在锐角中，，，的对边分别为，，，若，且______.
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长.
19. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.高二上学期数学开学考试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】整理可得，结合复数的模长公式运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以．
故选：C．
2. 设，向量，且⊥，则（ ）
A. 3 B. 5 C. 9 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直得到方程，求出，进而得到，求出模长.
【详解】由题意得，解得，
故，
所以.
故选：B
3. 某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（ ）
比赛成绩 6 7 8 9 10
班级数 3 5 4 4 4
A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的定义和求解步骤直接计算求解即可.
【详解】因为，
所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是.
故选：C.
4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断.
【详解】对于A，如图，，此时，故A错误；
对于B，若，面内可以找一条直线，使得；
而，与内任意一条直线都垂直，则，则.故B正确；
对于C， 如图，，此时，故C错误；
对于D， 如图，，此时，故D错误．
故选：B.
5. 已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆台的体积公式计算得出结果
【详解】该圆台的体积.
故选：C.
6. 一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助列举法，找出所有情况及符合要求的情况后计算即可得.
【详解】将两个红球编号为1，2，两个黄球编号为3，4，
一次性随机摸取两个球的情况有，，，，，，共6种，
其中两球不同色的情况有，，，，共4种，
故两球不同色的概率为.
故选：D.
7. 在平行四边形中，，，若，则（ ）
A 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得，从而得解.
【详解】，
，
，
，
，
，，．
故选：D．
8. 在三角形中，内角的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理和辅助角公式得到，结合余弦定理得到，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】，由正弦定理得，
因为，所以，
故，即，故，
因为，所以，
故，解得，
由余弦定理得，即，
因为，，所以，解得，
.
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9. 已知，则下列正确的是（ ）
A. B. 在复平面内所对应点在第二象限
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用复数乘方运算，结合复数模、共轭复数的意义及复数的几何意义判断即可.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，在复平面内对应的点在第三象限，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，由选项C知，，则，即，因此，D错误.
故选：AC
10. 在中，角的对边分别是，若，，则（ ）
A. B.
C. D. 的面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据及余弦定理可判断A；根据及正弦定理可判断B；由的值及同角三角函数的基本关系可求，，根据正弦定理求出，代入求出可判断C；根据三角形面积公式可判断D.
【详解】由余弦定理可得，解得，故A正确；
由及正弦定理，可得,
化简可得.
因为，所以，所以，即.
因为，所以，故B错误；
因为，所以且，代入，
可得，解得，.
因为，，，
所以由正弦定理可得，
由，可得，
化简可得，解得或（舍），故C正确；
.
故选:AC.
11. 如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面
C. D. 平面平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】由三棱柱性质和面面平行性质可知A正确；利用线面平行判定定理可得B正确；由重心分边长比例可得C正确；易知平面与平面相交，即D正确.
【详解】由三棱柱性质可知平面平面，又平面平面，平面平面，
由面面平行的性质可知；
又点，分别是，的中点，可知，即可得，所以A正确；
由，平面，平面，所以平面，即B正确；
又经过重心，所以，且，，
所以，可知C正确；
因为四点共面，且易知与相交，所以平面与平面相交，因此D错误；
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知事件A和B互斥，且，，则______.
【答案】0.4##
【解析】
【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解.
【详解】∵事件A和B互斥，∴，
又，∴，
∴.
故答案为：0.4.
13. 已知在中，内角的对边分别为，若，则的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理解得，结合面积公式运算求解.
【详解】由余弦定理可得，即，
整理可得，解得（舍负），则，
所以的面积为．
故答案为：.
14. 在中，为中点，若，则实数的值为______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量加法和减法法则进行化简，利用向量数量积公式建立方程进行求解即可．
【详解】，，，
，
为中点，
，
，
，
，
即，
即，得，得．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，
组：12，13，15，14，．
假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．
（1）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（2）如果，事件：“甲康复时间为11天”，事件：“甲乙康复时间之和为25天”，事件是否相互独立？
【答案】（1）
（2）不相互独立
【解析】
【分析】（1）列举符合条件的基本事件，即可由古典概型的概率公式求解，
（2）分别求解,即可根据相互独立事件满足的关系求解.
【小问1详解】
如果，从两组随机各选1人，样本空间，，共有25种，
甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有，共有8种，
所以概率为；
【小问2详解】
当时，，事件的情况有，共4种
所以
事件：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间和为25天”的情况为．
故
所以事件不相互独立．
16. 如图，在三棱柱中，平面．
（1）证明：平面平面；
（2）设，求四棱锥的高．
【答案】（1）证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面；
(2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.
【小问1详解】
证明：因为平面，平面,
所以,
又因为，即，
平面，,
所以平面，
又因为平面,
所以平面平面.
【小问2详解】
如图，
过点作，垂足为.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以四棱锥的高为.
因为平面，平面,
所以,,
又因为，为公共边，
所以与全等，所以.
设，则，
所以为中点，,
又因为,所以,
即，解得，
所以，
所以四棱锥的高为．
17. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；
（2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在内的概率.
【答案】（1），中位数约为，平均数约为75；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于 求出a的值，再估计中位数和平均数.
（2）求出抽取的6人中在的人数，再利用列举法结合古典概率求解即得.
【小问1详解】
由频率分布直方图，得，解得，
成绩在的频率依次为，
显然本次竞赛成绩的中位数，则，解得，
本次竞赛成绩的平均数为，
所以，中位数约为，平均数约为75.
【小问2详解】
由（1）知，成绩在，的频率之比为，
则在中随机抽取人，记为1，2，3，4，在中随机抽取人，记为a，b，
从6人中随机抽取2人的样本空间为，共15个样本点，
设事件“至少有1人的成绩在内”，则，有9个样本点，
因此，
所以至少有1人的成绩在内的概率.
18. 在①，②外接圆面积为，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答.
在锐角中，，，的对边分别为，，，若，且______.
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）选①或选②都可借助正弦定理得到，即可得；
（2）借助余弦定理与三角形面积公式计算即可得.
【小问1详解】
由得，
若选①：
由正弦定理得，
所以，则，又因为，故；
若选②：
外接圆半径，由正弦定理，
所以，则，又因为，故；
【小问2详解】
由（1）知，所以，
因为的面积为，所以，
所以，
因为，所以，
由余弦定理得，，
所以，所以，
所以，所以的周长为8.
19. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.
（1）在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的平面角的正切值.
【答案】（1）存在，
（2）2
【解析】
【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论；
（2）连接CE，取BE中点O，作于M，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解．
【小问1详解】
解：当F是AC的中点时，直线平面.
证明如下：
设的中点为N，连接EN，FN，
因为，，且，，
所以且，所以四边形DENF是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
所以存在点F，使平面，且.
【小问2详解】
解：在平面图形中，连接CE，则，，
所以，
如图所示，取BE中点O，连接，则，
因为平面，平面平面，且平面平面，
所以平面，又因为平面，所以
作于M，连接，
因为，且平面，所以平面，
又因平面，所以，
所以为二面角的平面角，
在直角中，，，可得，
