人教A版（2019）必修第二册 6.2.4 向量的数量积 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
6.2.4向量的数量积
（第一课时）
复习导入
在前面的课程中，我们学习了向量的线性运算，包括哪些？
向量的线性运算
向量的加法
向量的减法
向量的数乘运算
那向量与向量可以相乘吗？结果是什么量？我们该怎么定义呢？
规定实数与向量的积是一个向量
长度：
方向：当时，与的方向相同；
当时，与的方向相反；
当时，
复习导入
问题：八戒、沙僧把同样质量大宝箱拖动同样的位移进入白马寺，他们做的功是否一样？
“哼”老猪我偏要向右！
我老沙喜欢天天向上
F2
.
F1
.
θ
问题：你能把所做的功表示出来吗？
，其中 是向量 的夹角，功是标量.
新知探究
向量的夹角：
已知两个非零向量，，
如图，是平面上的任意一点，作 ，
,则叫做向量与的夹角.
注：1.向量的夹角可表示为<>；
2.向量夹角范围是.
特殊情况
θ
与同向
与垂直，记作
与反向
新知探究
辨析1：试判断下列向量的夹角。
辨析2：已知||＝||＝2，且与的夹角为60°，则＋与的夹角是多少？－与的夹角又是多少？
60°
30°
.
.
【答案】：，.
找夹角，先确定是否共起点。
新知探究
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
注：1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量.
2、“”是一种运算符号，既不能省略，也不能用“×”代替.
问题：特别的，若与共线，=？；若呢？
(1)
(2)当与同向时，；
当与反向时，；
特别地，
.
练习巩固
例9：已知，，与的夹角，求.
解：
例10：设，，求与的夹角
解：由，得
因为，所以
新知探究
问题：在计算所做的功的过程中，我们会先求力在物体运动方向上的分力，你能将其表示出来吗？
思考：，其中，你会联想到什么？
O
θ
M1
O
θ
M1
投影
新知探究
投影：
设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为
，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
新知探究
思考：，其中，你会联想到什么？如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？
与共线，于是.
①当为锐角时，
与方向相同，
，
所以
O
θ
M1
O
θ
M1
②当为钝角时，
与方向相反，
，
即
新知探究
③当时，
所以
④当时，
所以
O
M1
O
θ
⑤当为直角时，，
所以
O
θ
对于任意的，
都有
新知探究
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
(1). (2)
(3)当与同向时，；
当与反向时，.
(4)
特别地，
.
思考：如果，是否有，或？
不一定，还有可能
注常常记作
练习巩固
练习1：已知，，分别根据下列条件计算与的数量积：
(1) (2)； (3)与的夹角为60°.
解：设与的夹角为.
(1)当时，若与同向，则，
若与反向，则，
(2)当时，与的夹角为90°，
(3)当与的夹角为60°时，
练习巩固
变式1-1：已知正三角形的边长为，求：
(1)(2)(3)
解：(1)∵与的夹角为60°，
∴
(2)∵与的夹角为120°，
∴
(3)∵与的夹角为60°，
∴
求数量积：
练习巩固
练习2：已知，且与的夹角为60°，则与的夹角是多少？与的夹角又是多少？
解：如图所示，作，，且.
以，为邻边作平行四边形，则，.
因为，所以平行四边形是菱形，
又，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°，
即与的夹角是30°，与的夹角是60°.
练习巩固
变式2-1：在中，，，则与的夹角是（ ）.
A.30° B.60° C.120° D.150°
【答案】：
变式2-2：已知，，，则与的夹角是_________.
【答案】：
求夹角：
练习巩固
练习3：在等腰三角形中，，，为的中点.
(1)求在上的投影向量； (2)求在上的投影向量的长度.
解：如图，连接因为为等腰三角形，且为的中点，所以
又，，所以
由图可知与的夹角为的补角，
所以与的夹角为150°.
(1)在上的投影向量为
(2)在上的投影向量为
练习巩固
变式3-1：在已知，，与的夹角为45°，则向量在向量上的投影向量的模为（ ）.
A. B.3 C.4 D.5
【答案】：
求投影：
向量在向量上的投影向量的模：
小结
向量的数量积
向量的夹角
向量的数量积
定义
投影与投影向量
叫做向量
的夹角
（同起点）