人教A版（2019）必修第二册 6.4.3.2 正弦定理 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
6.4.3.2 正弦定理
复习导入
余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即
；
；
.
复习导入
思考：在上节课中，若已知两边及一角或三边，可以利用余弦定理解三角形。那么，若已知三角形两角及一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在初中，我们有三角形中等边对等角的理论
实际上，三角形中还有大边对大角的边角关系
从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在中，设的对边为，的对边为，求之间的定量关系.
可以解决“在中，已知，求”的问题.
新知探究
问题1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间的联系.
A
B
C
c
b
a
根据锐角三角函数，在中，有:
则：
又因为所以
新知探究
问题2：对锐角三角形和钝角三角形，关系式是否仍成立？
A
C
a
b
c
B
D
锐角三角形
钝角三角形
D
A
B
C
a
b
c
；
即：
同理，有
即：
；
即：
同理，有
即：
新知探究
问题2：通你能用其他方法证明关系式成立吗？
向量法
A
B
C
·= ·()=·+ ·
即| | ||cos()0+ | | ||cos()
csinA=asinC


A
B
C
j
·= ·()= ·+ ·
即|| ||cos()0+ | | ||cos()
csinA=asinC


j
新知探究
外接圆法
D
如图，的外接圆为圆，其半径为，
连接并延长，交三角形的外接圆于点，连接，
易知， °,，且
在中，,且
同理可得， 、
综上，
新知探究
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
（为外接圆半径）.
同时，有
辨析1：判断正误.
(1)正弦定理只适用于锐角三角形.（ ）
(2)正弦定理不适用于直角三角形.（ ）
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值.（ ）
(4)在中，（ ）
×
√
×
√
练习巩固
例7：在中，已知，，，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得：
由正弦定理，得：
练习巩固
练习1：在中，已知，求边.
解：因为，所以
因为根据正弦定理，
得
变式1-1：在中，已知，，则
【答案】：
练习巩固
变式1-2：在中，已知，，，解这个三角形
解：
由正弦定理得，即，
解得
同理，由
练习巩固
例8：在中，已知，，，解这个三角形.
解：由正弦定理 ，得：
因为，所以
于是或
①当时，
此时，
练习巩固
例8：在中，已知，，，解这个三角形.
(2)当时，
此时，
练习巩固
练习2：在中，已知求.
解：∵ ，∴，解得.
又∵，，∴.
∴，
，
∴.
练习巩固
变式2-1：在中，已知，，求边的长.
解：由，得.
∵，∴，∴或.
①当时，.
此时，.
②当时，.
此时，.
综上知或.
练习巩固
变式2-2：在中，已知，，则角为（ ）.
． ． ． ．或
【答案】：
思考：在前面的题目中我们可以发现，有一些三角形有两个解，有一些有两个解，为什么会出现这一情况？
由三角函数的性质可知，
在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；
正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.
练习巩固
练习3：在中，若且试判断的形状.
解：(法一)根据正弦定理，得 .
∵∴
∴是直角，，
∴
∴.∵，∴
∴是等腰直角三角形.
练习巩固
练习3：在中，若且试判断的形状.
解：(法二)根据正弦定理，得 .
∵∴
∴是直角，
∵
∴
∴.又，∴
∴是等腰直角三角形.
练习巩固
变式3-1：在中，若且那么一定是（ ）
．等腰直角三角形 ．直角三角形 ．等腰三角形 ．等边三角形
【答案】：
变式3-2：在中，若且那么一定是（ ）
．等腰直角三角形 ．直角三角形 ．等腰三角形 ．等边三角形
【答案】：
小结
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
（为外接圆半径）.
同时，有