新疆生产建设兵团第二师八一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知i为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）在中，已知，则
A． B． C． D．
4．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）若均为单位向量，且满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）在中，已知，，，则（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或90°
6．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）如图，在中，为边的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）将函数的图象向左平移m（）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（ ）．
A． B．π C． D．
8．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部是
B．
C．复数z的共轭复数是
D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
10．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（ ）
A．有7个面 B．有13条棱
C．有7个顶点 D．直线直线EF
11．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期
B．函数图象关于直线对称
C．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象
D．在上恰有3个零点，则实数的取值范围是
12．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知，则 ．
13．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 .
14．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是
①若，，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则
15．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
16．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
（3）当时，求函数的最小值及相应的x的值．
17．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
18．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）如图，点，点A是单位圆与轴的正半轴的交点.
（1）若，求；
（2）设点为单位圆上的动点，点满足，，，求的取值范围；
（3）在(2)的条件下，当时，求四边形的面积.
19．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）的内角的对边分别为，已知，，．
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积；
（3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，
故选：B
【分析】根据复数的乘法运算法则和加减法运算法则即可得出答案，
2．【答案】B
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】解：已知向量，，
则，解得．
故选：B．
【分析】由平面向量加法的坐标运算（若，，则）求解即可．
3．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：
【分析】根据同角三角函数关系进行求解.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为，所以，
又均为单位向量，所以，
而，即C正确.
故选：C．
【分析】先由两个垂直的向量数量积为0可得，根据平面向量的夹角公式计算即可.
5．【答案】C
【知识点】解三角形
【解析】【解答】因为，所以，，
所以由正弦定理，可得：，
因为，所以或．
故选：C．
【分析】根据正弦定理（ 在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径），结合已知条件即可得出答案．
6．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】为的中点，，
．
故选：D.
【分析】借助平面向量的三角形运算法则及平面向量基本定理（ 平面内的任一向量都可以由该平面内两个不共线的向量通过线性组合（即数乘和加法）唯一地表示出来）计算即可得.
三角形加法法则：，简记为：首尾相连，起点指向终点.
7．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将函数的图象向左平移m个单位，
得的图象，
因为的图象关于原点对称，
所以，即，
当时，得，
使，，的整数不存在.
故选：D
【分析】先利用三角函数图象的平移变换口诀（左加右减）求平移后图象的解析式，然后根据三角函数的图象关于原点对称可得.实数的取值.
8．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故选：A
【分析】先利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简，再根据诱导公式求解即可得出答案.
9．【答案】C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】，
对于A，复数z的虚部是，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，复数z的共轭复数是，故C正确；
对于D，，在复平面内，对应点的坐标为，
复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确.
故选：CD
【分析】根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念（ 形如（a、b均为实数）的数为复数，其中，a被称为实部，b被称为虚部，i为虚数单位）、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】选项A，由图可知，有面BCGF，面EFG，面，面，面，面，面共7个，故选项A正确；
选项C，有顶点B，C，G，F，E，，，D共8个，故选项C错误；
选项B，有棱BF，FG，GC，CB，FE，EG，BD，，，，，，共13条棱，故选项B正确；
选项D，取AB中点H，连接CH，，则可得，，
因为，则F为AH中点，且E为中点，则，
所以直线直线BD，故选项D正确；
故选：ABD
【分析】根据平面的定义，结合柱体和锥体的性质（ 柱体是由两个平行且相等的底面和一个侧面组成的几何体，锥体则有一个共同的底面和一个侧面）、线线平行传递性逐一判断即可.
11．【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由图可得，，则，
有，即，
由，故，即，
对于选项A：由，故选项A错误；
对于选项B：令，解得，故选项B正确；
对于选项C：把函数的图象向左平移个单位长度，
可得，故选项C正确；
对于选项D：当时，，
则有，即，故选项D错误.
故选：BC.
【分析】由三角函数的图象和函数的周期性可得函数解析式，借助正弦型函数的性质逐项分析即可得.
12．【答案】1
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】由，得，解得．
故答案为：1．
【分析】由复数分类的定义（ 形如（a、b均为实数）的数为复数，其中，a被称为实部，b被称为虚部，i为虚数单位）可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可．
13．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，由直观图可得如图所示的平面图，
所以该平面图形是直角梯形，其高为.
故填：.
【分析】由直观图与平面图形的关系还原即可.
14．【答案】①②③
【知识点】平面向量加法运算；平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对于①：因为，，即，
所以
，故结论①正确；
对于②：因为，，即，
所以，
所以，故结论②正确；
对于③：因为，，，
所以，
所以，故结论③正确；
对于④：
，故结论④错误.
故答案为：①②③
【分析】根据所给定义及平面向量线性运算法则判断②③，根据数量积的运算律判断①④.
15．【答案】（1）解：因为，，，
所以．
（2）解：，，
，
，
解得．
（3）解：与的夹角是钝角，
，且，
，且，
解得且．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出；
（2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出；
（3）根据平面向量数量积的坐标表示（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和）即可解出．
（1）因为，，，．
（2），，
，， 解得．
（3）与的夹角是钝角，，且，
，且，解得且．
16．【答案】（1）解：因为，
所以函数最小正周期为．
（2）解：因为，
所以，，
所以函数的单调递增区间为，．
（3）解：因为时，，
所以当，
即时取得最小值．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由最小正周期的计算公式计算即可；
（2）由三角函数的单调性和整体法代入求解即可；
（3）利用三角函数的性质和整体法求解范围，进而可求解最小值．
（1）由，则函数最小正周期为．
（2）令，∴，，
故函数的单调递增区间为，．
（3）时，，
当，即时取得最小值．
17．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
所以，
又，
所以；
（2）解：由余弦定理，
即，
所以（负值已舍去）；
（3）解：由，，
所以，
所以，
，
所以
.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理（在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径）将角化边，即可得解；
（2）利用余弦定理计算可得；
（3）根据同角三角函数关系式求出，再利用二倍角公式即可求出、，最后由两角和的余弦公式计算可得.
（1）因为，由正弦定理可得，所以，
又，所以；
（2）由余弦定理，
即，
所以（负值已舍去）；
（3）由，，所以，
所以，
，
所以
.
18．【答案】（1）解：由三角函数定义，可知，，
所以.
（2）解：由三角函数定义，知，
所以，
所以，
因为，
所以，即，
于是，
所以的取值范围是.
（3）解：当时，
，
即，
因为，
所以解得或（此时不能构成四边形，舍去），
易知四边形为菱形，
此时菱形的面积为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；任意角三角函数的定义；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义（在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于对边比上斜边）并结合二倍角的正弦公式即可求解；
（2）先根据三角函数的定义和平面向量的坐标表示求出，然后结合的范围即可求出的取值范围；
（3）先根据求出，然后利用面积公式可求得结果.
（1）由三角函数定义，可知，，
所以.
（2）由三角函数定义，知，
所以，
所以，
因为，所以，即，
于是，所以的取值范围是.
（3）当时，，即，
因为，所以解得或（此时不能构成四边形，舍去），
易知四边形为菱形，此时菱形的面积为.
19．【答案】（1）解：由，得到，
又，所以，
在中，由余弦定理得，即
解得或（舍）.
（2）解：由角分线性质知：，所以
过做垂直于点，则
，
所以.
（3）解：由题意可知：，得到
，
即，得到
所以，．
【知识点】平面向量的共线定理；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据条件和同角三角函数关系式得到，利用特殊角的三角函数值，即可求解，再利用余弦定理，即可求解；
（2）利用角平线的性质（三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例 ），结合条件，即可求解；
（3）利用向量共线，进而求得，即可求解.
（1）由，得到，
又，所以，
在中，由余弦定理得，即
解得或（舍）.
（2）由角分线性质知：，所以
过做垂直于点，则，
所以.
（3）由题意可知：，得到，
即，得到
所以，．
1 / 1新疆生产建设兵团第二师八一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知i为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，
故选：B
【分析】根据复数的乘法运算法则和加减法运算法则即可得出答案，
2．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】解：已知向量，，
则，解得．
故选：B．
【分析】由平面向量加法的坐标运算（若，，则）求解即可．
3．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）在中，已知，则
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：
【分析】根据同角三角函数关系进行求解.
4．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）若均为单位向量，且满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为，所以，
又均为单位向量，所以，
而，即C正确.
故选：C．
【分析】先由两个垂直的向量数量积为0可得，根据平面向量的夹角公式计算即可.
5．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）在中，已知，，，则（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或90°
【答案】C
【知识点】解三角形
【解析】【解答】因为，所以，，
所以由正弦定理，可得：，
因为，所以或．
故选：C．
【分析】根据正弦定理（ 在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径），结合已知条件即可得出答案．
6．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）如图，在中，为边的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】为的中点，，
．
故选：D.
【分析】借助平面向量的三角形运算法则及平面向量基本定理（ 平面内的任一向量都可以由该平面内两个不共线的向量通过线性组合（即数乘和加法）唯一地表示出来）计算即可得.
三角形加法法则：，简记为：首尾相连，起点指向终点.
7．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）将函数的图象向左平移m（）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（ ）．
A． B．π C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将函数的图象向左平移m个单位，
得的图象，
因为的图象关于原点对称，
所以，即，
当时，得，
使，，的整数不存在.
故选：D
【分析】先利用三角函数图象的平移变换口诀（左加右减）求平移后图象的解析式，然后根据三角函数的图象关于原点对称可得.实数的取值.
8．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故选：A
【分析】先利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简，再根据诱导公式求解即可得出答案.
9．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部是
B．
C．复数z的共轭复数是
D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
【答案】C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】，
对于A，复数z的虚部是，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，复数z的共轭复数是，故C正确；
对于D，，在复平面内，对应点的坐标为，
复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确.
故选：CD
【分析】根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念（ 形如（a、b均为实数）的数为复数，其中，a被称为实部，b被称为虚部，i为虚数单位）、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可.
10．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（ ）
A．有7个面 B．有13条棱
C．有7个顶点 D．直线直线EF
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】选项A，由图可知，有面BCGF，面EFG，面，面，面，面，面共7个，故选项A正确；
选项C，有顶点B，C，G，F，E，，，D共8个，故选项C错误；
选项B，有棱BF，FG，GC，CB，FE，EG，BD，，，，，，共13条棱，故选项B正确；
选项D，取AB中点H，连接CH，，则可得，，
因为，则F为AH中点，且E为中点，则，
所以直线直线BD，故选项D正确；
故选：ABD
【分析】根据平面的定义，结合柱体和锥体的性质（ 柱体是由两个平行且相等的底面和一个侧面组成的几何体，锥体则有一个共同的底面和一个侧面）、线线平行传递性逐一判断即可.
11．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期
B．函数图象关于直线对称
C．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象
D．在上恰有3个零点，则实数的取值范围是
【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由图可得，，则，
有，即，
由，故，即，
对于选项A：由，故选项A错误；
对于选项B：令，解得，故选项B正确；
对于选项C：把函数的图象向左平移个单位长度，
可得，故选项C正确；
对于选项D：当时，，
则有，即，故选项D错误.
故选：BC.
【分析】由三角函数的图象和函数的周期性可得函数解析式，借助正弦型函数的性质逐项分析即可得.
12．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知，则 ．
【答案】1
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】由，得，解得．
故答案为：1．
【分析】由复数分类的定义（ 形如（a、b均为实数）的数为复数，其中，a被称为实部，b被称为虚部，i为虚数单位）可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可．
13．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 .
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，由直观图可得如图所示的平面图，
所以该平面图形是直角梯形，其高为.
故填：.
【分析】由直观图与平面图形的关系还原即可.
14．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是
①若，，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则
【答案】①②③
【知识点】平面向量加法运算；平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对于①：因为，，即，
所以
，故结论①正确；
对于②：因为，，即，
所以，
所以，故结论②正确；
对于③：因为，，，
所以，
所以，故结论③正确；
对于④：
，故结论④错误.
故答案为：①②③
【分析】根据所给定义及平面向量线性运算法则判断②③，根据数量积的运算律判断①④.
15．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，，，
所以．
（2）解：，，
，
，
解得．
（3）解：与的夹角是钝角，
，且，
，且，
解得且．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出；
（2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出；
（3）根据平面向量数量积的坐标表示（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和）即可解出．
（1）因为，，，．
（2），，
，， 解得．
（3）与的夹角是钝角，，且，
，且，解得且．
16．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
（3）当时，求函数的最小值及相应的x的值．
【答案】（1）解：因为，
所以函数最小正周期为．
（2）解：因为，
所以，，
所以函数的单调递增区间为，．
（3）解：因为时，，
所以当，
即时取得最小值．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由最小正周期的计算公式计算即可；
（2）由三角函数的单调性和整体法代入求解即可；
（3）利用三角函数的性质和整体法求解范围，进而可求解最小值．
（1）由，则函数最小正周期为．
（2）令，∴，，
故函数的单调递增区间为，．
（3）时，，
当，即时取得最小值．
17．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
所以，
又，
所以；
（2）解：由余弦定理，
即，
所以（负值已舍去）；
（3）解：由，，
所以，
所以，
，
所以
.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理（在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径）将角化边，即可得解；
（2）利用余弦定理计算可得；
（3）根据同角三角函数关系式求出，再利用二倍角公式即可求出、，最后由两角和的余弦公式计算可得.
（1）因为，由正弦定理可得，所以，
又，所以；
（2）由余弦定理，
即，
所以（负值已舍去）；
（3）由，，所以，
所以，
，
所以
.
18．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）如图，点，点A是单位圆与轴的正半轴的交点.
（1）若，求；
（2）设点为单位圆上的动点，点满足，，，求的取值范围；
（3）在(2)的条件下，当时，求四边形的面积.
【答案】（1）解：由三角函数定义，可知，，
所以.
（2）解：由三角函数定义，知，
所以，
所以，
因为，
所以，即，
于是，
所以的取值范围是.
（3）解：当时，
，
即，
因为，
所以解得或（此时不能构成四边形，舍去），
易知四边形为菱形，
此时菱形的面积为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；任意角三角函数的定义；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义（在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于对边比上斜边）并结合二倍角的正弦公式即可求解；
（2）先根据三角函数的定义和平面向量的坐标表示求出，然后结合的范围即可求出的取值范围；
（3）先根据求出，然后利用面积公式可求得结果.
（1）由三角函数定义，可知，，
所以.
（2）由三角函数定义，知，
所以，
所以，
因为，所以，即，
于是，所以的取值范围是.
（3）当时，，即，
因为，所以解得或（此时不能构成四边形，舍去），
易知四边形为菱形，此时菱形的面积为.
19．（2024高一下·新疆维吾尔自治区期中）的内角的对边分别为，已知，，．
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积；
（3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值．
【答案】（1）解：由，得到，
又，所以，
在中，由余弦定理得，即
解得或（舍）.
（2）解：由角分线性质知：，所以
过做垂直于点，则
，
所以.
（3）解：由题意可知：，得到
，
即，得到
所以，．
【知识点】平面向量的共线定理；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据条件和同角三角函数关系式得到，利用特殊角的三角函数值，即可求解，再利用余弦定理，即可求解；
（2）利用角平线的性质（三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例 ），结合条件，即可求解；
（3）利用向量共线，进而求得，即可求解.
（1）由，得到，
又，所以，
在中，由余弦定理得，即
解得或（舍）.
（2）由角分线性质知：，所以
过做垂直于点，则，
所以.
（3）由题意可知：，得到，
即，得到
所以，．
1 / 1
