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3．3 幂函数
函数 图象 定义域 值域 单调性 奇偶性
y＝x
R
R
增
奇
y＝x2 R [0，＋∞) 在 上减
在 上增
y＝ {x|x≠0} {y|y≠0} 在(－∞，0)上
在(0，＋∞)上
(－∞，0)
[0，＋∞)
偶
减
减
奇
[预习导引]
1．幂函数的概念
函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
y＝xα
2．幂函数的图象与性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
定义域 R R R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
值域 R R
奇偶性
单调性 增 x∈[0，＋∞)
x∈(－∞，
0] x∈(0，＋∞)
x∈(－∞，0)
定点
[0，＋∞)
[0，
＋∞)
{y|y∈R，且
y≠0}
奇
偶
奇
非奇
非偶
奇
增
减
增
增
减
减
(1,1)
要点一 幂函数的概念
例1 函数f(x)＝(m2－m－1) ＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
解 根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．
2．幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．
规律方法 幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由小变大．(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．
跟踪演练2 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则下列说法正确的是________．
①－1＜n＜0＜m＜1
②n＜－1,0＜m＜1
③－1＜n＜0，m＞1
④n＜－1，m＞1
答案 ②
解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.
要点三 比较幂的大小
例3 比较下列各组数中两个数的大小：
规律方法 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数．
2．若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．
