2024-2025学年北京师范大学第二附属中学高三（上）开学考数学（pdf版，含答案）

2024北京北师大二附中高三（上）开学考
数 学
一、选择题
1．已知集合 A = 2, 1,0,1,2 ， B = x x2 2 ，则 A B =（ ）
A． 2, 1,0,1,2 B． 1,0,1 C． 2, 2 D． 0,1
2．复数 z = ( 1+ i)(2+ i)对应的点在复平面内的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
x
3．已知 f (x) = ，则函数在 x =1处的切线方程是（ ）
x 2
A． 2x y +1= 0 B． x 2y + 2 = 0 C． 2x y 1= 0 D． x + 2y 2 = 0
4．若 a b 且 ab 0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
1 1 b
． 3 3A B． 1 C． a b D． a b
a b a
5
2
5． 4 x
2 + 的展开式中 x 的系数为（ ）
x
A．10 B．20 C．40 D．80
6．已知 an 是等比数列， Sn 为其前 n项和，那么“ a1 0”是“数列 Sn 为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2
7．小王同学进行投篮练习，若他第 1 球投进，则第 2 球投进的概率为 ；若他第 1 球投不进，则第 2 球投
3
1 2
进的概率为 ，若他第 1 球投进概率为 ，他第 2 球投进的概率为（ ）
3 3
5 2 7 8
A． B． C． D．
9 3 9 3
π
8．若函数 y = sin πx 在 0,m 上单调递增，则 m的最大值为（ ）
6
1 1 2
A． B． C． D．1
3 2 3
2 2
9．已知圆 C： x + y = 4 ，直线 l： y = kx +m ，当 k变化时，l截得圆 C弦长的最小值为 2，则常数m =
（ ）
A．±2 B． 2 C． 3 D．±3
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2
10．已知数列 an 中各项均为正数，且 an+1 an+1 = an (n =1,2,3, )，给出下列四个结论：
①对任意的 n *N ，都有 an 1
②数列 an 可能为常数列
③若0 a 2 ，则当 n 21 时， a1 an 2
④若 a1 2，则数列 an 为递减数列
其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
x2 2 1
11．若双曲线 y =1(a 0)的一条渐近线方程为 y = x，则a =______．
a2 2
12．数列 an 是公差为-2 的等差数列，记 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1,a3 ,a4 成等比数列，则a1 = ______；
Sn = ______．
13．在矩形 ABCD中， AB = 2 ， BC = 3 ，点 P在 AB边上，则向量CP 在向量CB 上的投影向量的长度
是______，CP PD 的最大值是______．
x x
14．设函数 f (x) = e + ae （a为常数），若 f ( x)为奇函数，则a =______；若 f ( x)是 R上的增函数，
则 a的取值范围是______．
(x a +1)(x +1) , x 1
15．设函数 f (x) =
lg x a, x 1
①当 a = 0时， f ( f (1)) = ______；
②若 f ( x)恰有 2 个零点，则 a的取值范围是______．
三、解答题
16．如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为矩形， AB = 3， BC = 2．△PAD为等边三角形，
平面 PAD ⊥平面 ABCD，E为 AD的中点．
（1）求证： PE ⊥ AB ；
（2）求平面 PAC与平面 ABCD夹角的余弦值．
17．在△ABC 中，bsin A = a cos B ．
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（1）求∠B的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC 存在且唯一，求△ABC 的面积．
1
条件① cos A = ；
2
条件②b = 2 ；
6
条件③AB边上的高为 ．
2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解
答计分．
18．为研究某地区 2021 届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区 2021 届大学刚刚毕
业的学生中随机选取了 1000 人作为样本进行调查，结果如下：
毕业去向 继续学习深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业
人数 200 560 14 128 98
假设该地区 2021 届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（1）若该地区一所高校 2021 届大学毕业生的人数为 2500，试根据样本估计该校 2021 届大学毕业生选择
“单位就业”的人数；
（2）从该地区 2021 届大学毕业生中随机选取 3 人，记随机变量 X为这 3 人中选择“继续学习深造”的人
数，以样本的频率估计概率，求 X的分布列和数学期望 E (X )；
（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的
a (0 a 98)人选择了上表中其他的毕业去向．记半年后表中五种毕业去向对应人数的方差为 s2 ．当 a
为何值时， s2 最小．（结论不要求证明）
x
19．已知函数 f (x) = (ln x a)e ．
（1）当 a = 0 时，求曲线 y = f (x)在 x =1处的切线方程；
（2）若 f ( x)在区间 (0,e 存在极小值，求 a的取值范围．
x2 y2
20．已知椭圆 C： + =1 a b 0 经过 A(1,0)、 B (0,b)两点．点 O为坐标原点，且△AOB 的面
a2 2
( )
b
2
积为 ．过点 P (0,1)且斜率为 k (k 0)的直线 l与椭圆 C有两个不同的交点M、N，且直线 AM、AN分
4
别与 y轴交于点 S、T．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）求直线 l的斜率 k的取值范围；
（3）设 PS = PO ， PT = PO ，求 + 的取值范围．
21．已知集合 A = 1,2,3, , 2n (n *N )．对于 A的一个子集 S，若存在不大于 n的正整数 m，使得对于
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S中的任意一对元素 s s s m1, s2 ，都有 1 2 ，则称 S具有性质 P．
（Ⅰ）当 n =10 时，试判断集合 B = x A x 9 和C = x A x = 3k 1,k *N 是否具有性质 P 并说
明理由．
（Ⅱ）当 n =100 时，若集合 S具有性质 P，那么集合T = 2001 x x S 是否一定具有性质 P 并说明理
由；
（Ⅲ）当 n =1000 时，若集合 S具有性质 P，求集合 S中元素个数的最大值．
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参考答案
一、选择题
1. 【答案】B
【分析】求出集合 A，B，由此能求出 A B .
2
【详解】因为集合 A = { 2, 1,0,1,2} ， B = x x 2 = x 2 x 2 ，所以
A B = 1,0,1 .
故选：B.
2. 【答案】B
【分析】利用复数的乘法化简复数 z ，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为 z = ( 1+ i)(2+ i) = 3+ i ，因此，复数 z 对应的点在复平面内的第二象限.
故选：B.
3. 【答案】C
【分析】求导，即得斜率，然后表示出直线方程即可.
x
【详解】因为 f (x) = ，
x 2
(x 2)+ x 2
所以 f (x) = =2 2 ，
(x 2) (x 2)
所以 f (1) = 2，又 f (1) =1，
所以函数在 x =1处的切线方程为 y 1= 2(x 1)，
即2x y 1= 0 .
故选：C
4. 【答案】C
【分析】根据作差法判断 C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断 ABD.
1 1
【详解】A：当 a 0 b时， 0 ，故 A 错误；
a b
b 1 b
B：当 a = 2,b = 1时，满足 a b ， = 1， 1不成立，故 B 错误；
a 2 a
2
3 3 2 2 b 3
C： a b = (a b)(a + ab + b ) = (a b) a + 2 + b ，
2 4
因为 a b ，所以 a b 0，得 a3 b3 0，即 a3 b3 ，故 C 正确；
D：当 a = 2,b = 1时，满足 a b ， a b ， a b 不成立，故 D 错误.
故选：C
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5. 【答案】C
T =C r【详解】分析：写出 r+1 5 2
r x10 3r ，然后可得结果
r
5 r 2
详解：由题可得T rr+1 =C5 (x2 ) =C r 2r x10 3r 5
x
令10 3r = 4 ,则 r = 2
r r 2 2
所以C5 2 =C5 2 = 40
故选 C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．
6. 【答案】B
【分析】
分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解.
【详解】设等比数列 an 的公比为 q ，
充分性：当 a1 0，q 0
n
时， Sn+1 Sn = an+1 = a1q ，无法判断其正负，显然数列 Sn 为不一定是递增
数列，充分性不成立；
必要性：当数列 Sn 为递增数列时， Sn Sn 1 = an 0 ，可得 a1 0，必要性成立.
故“ a1 0 ”是“数列 Sn 为递增数列”的必要而不充分条件.
故选：B.
【点睛】方法点睛：证明或判断充分性和必要性的常用方法：①定义法，②等价法，③集合包含关系法.
7. 【答案】A
【分析】把第 2 球投进的事件分拆成两个互斥事件的和，分别算出这两个互斥事件的概率即可得解.
【详解】第 2 球投进的事件 M是第一球投进，第 2 球投进的事件 M1与第一球没投进，第 2 球投进的事件
M2的和，M1与 M2互斥，
2 2 4 1 1 1 5
P(M1) = = ， P(M 2 ) = = ，则 P(M1 +M 2 ) = P(M1)+ P(M 2 ) = ，
3 3 9 3 3 9 9
5
所以第 2 球投进的概率为 .
9
故选：A
8. 【答案】C
【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围.

【详解】由 y = sin x ，可得当 + 2k x + 2k ,k Z 时函数单调递增，
6 2 6 2
1 2
即 x + 2k, + 2k ,k Z ，
3 3
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1 2
当 k = 0 时， x , ，
3 3
又函数在 0,m ，
2
所以0 m ，
3
2
即m 的最大值为 ，
3
故选：C.
9. 【答案】C
【分析】由直线 L 过定点M (0,m)，结合圆的对称性以及勾股定理得出m 的取值.
【详解】直线 L ： y = kx + m 恒过点M (0,m)，由于直线被圆C 所截的弦长的最小值为 2 ，即当直线 L 与
2
1
直线OM 垂直时（O 为原点），弦长取得最小值，于是22 = 2 + | OM |2 =1+m
2 ，解得m = 3 .
2
故选：C
10. 【答案】C
【分析】结合数列递推式研究数列的单调性，逐项判断即可.
2
【详解】解：对于①，在数列{ }中， a a a 1n+1 an+1 = an，则 n+1 ( n+1 ) = an ，
又对于任意的 n N 都有 an 0 ，则 an+1 1 0 ，即 an+1 1，
即对于任意的 n 2 ，都有 an 1，
所以 a1 的值不确定大小，故①项错误；
对于②，不妨设数列{ }可能为常数列，则 an = an+1，
a2又 a = a
2
，则 an an = an+1 n+1 n n ，则 an = 2 ，
即 a1 = 2时，数列{ }为常数列，故②项正确；
2
对于③，0 a1 2 ，则0 a2 a2 2，因为数列{ }中各项均为正数，
即0 a2 2 ，同理，当 n 2 ，都有 0 a 2n ，
又 an+1 an = 2a
2
n+1 an+1 = an+1(2 an+1) 0，即数列{ }为递增数列，
即当 n 2 时， a1 an 2，故③项正确.
对于④， an+1 an = 2an+1 a
2
n+1 = an+1(2 an+1)
2
又 a1 2，则0 a2 a2 2，即1 a2 2 ，
同理，当 n 2 ，都有 a
2 a 2
2 a2 2，即 2 ，
同理，当 n 2 ，都有 an 2 ，
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即 an+1 an = 2an+1 a
2
n+1 = an+1(2 an+1) 0，
即 an+1 an ，即数列{ }为递减数列，故④项正确；
故选：C.
【点睛】关键点睛：数列与不等式以及数列与单调性等问题，常利用作差法，需要熟练应用不等式知识解
决数列中的相关问题．
二、填空题
11. 【答案】 2
1 1
【分析】根据题意可得 = ，从而可求出 a的值.
a 2
x2 1
【详解】因为双曲线 y2 =1(a 0)的一条渐近线方程为 y = x，
a2 2
1 1
所以 = ，解得 a = 2，
a 2
故答案为：2.
12. 【答案】 ①. 8 ②. n2 + 9n
【分析】
2
由等比数列的性质得 a = a a n3 1 a4 ，解出 1 的值，再结合等差数列的前 项和公式可得结果.
【详解】因为数列{an}是公差为 2的等差数列， a1,a3 ,a4 成等比数列，
a2
2
所以 3 = a1 a4 ，即 (a1 4) = a1 (a1 6)，解得 a1 = 8；
n (n 1)
所以 Sn = 8n+ ( 2) = n
2 +9n，
2
故答案为：8， n2 + 9n .
13. 【答案】 ①. 3 ②. 2
【分析】根据投影向量的概念，可求得向量CP在向量CB上的投影向量的长度；
建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，表示出CP PD ，利用二次函数的性质求得答案.
【详解】由题意可得 || CP | cos PCB |=| CB |= 3 ，
即向量CP在向量CB上的投影向量的长度是 3 ；
如图，以 A为坐标原点，AB为 x轴，AD为 y轴，建立平面直角坐标系，
设 P(x,0), (0 x 2) ，则 A(0,0), B(2,0),C(2, 3), D(0, 3) ,
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故CP = (x 2, 3), PD = ( x, 3) ，
则CP PD = x2 + 2x 3 = (x 1)2 2 ，
当 x =1 [0, 2]时，CP PD 取最大值为 2 ，
故答案为： 3 ； 2
14. 【答案】 ①. -1; ②. ( , 0 .
【分析】首先由奇函数的定义得到关于 a的恒等式，据此可得 a的值，然后利用导函数的解析式可得 a 的
取值范围.
x x x x x x
【详解】若函数 f (x) = e + ae 为奇函数,则 f ( x) = f (x) ,e + ae = (e + ae )，
(a +1)(ex + e x ) = 0对任意的 x恒成立.
若函数 f (x) = ex + ae x 是 R 上的增函数,则 f '(x) = ex ae x 0恒成立,a e2x ,a 0 .
即实数 a的取值范围是 ( , 0
【点睛】本题考查函数 奇偶性 单调性 利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思
想,转化成恒成立问题.注重重点知识 基础知识 基本运算能力的考查.
15. 【答案】 ①. 1 ②. ( ,0 2,+ )
【分析】由分段函数解析式先求 f (1)，再求 f ( f (1))的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求 a 的
取值范围.

2
(x +1) , x 1
【详解】当 a = 0 时， f (的x) = ， lg x, x 1
所以 f (1) = lg1= 0，
所以 f ( f (1)) = f (0) =1，
令 f (x) = 0 ，可得
当 x 1时， (x a +1)(x +1) = 0 ，
所以 x = 1或 x = a 1，
当 a = 0 或 a 2 时，方程 (x a +1)(x +1) = 0 在 ( ,1)上有唯一解 x = 1，
当 a 0 或0 a 2 时，方程 (x a +1)(x +1) = 0 在 ( ,1)上的解为 x = 1或 x = a 1，
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当 x 1时， lg x a = 0，
所以当 a 0 时， x =10a ，
当 a 0 时，方程 lg x a = 0在 1，+ )上无解，
综上，当 a 0 时，函数 f (x) 有两个零点 1,a 1，
当 a = 0 时，函数 f (x) 有两个零点 1,1，
当0 a 2 时，函数 f (x) 有三个零点 1,a 1,10a ，
当 a 2 时，函数 f (x) 有两个零点 1,10a ，
因为 f (x) 恰有 2 个零点，所以 a 2 或 a 0 ，
所以 a的取值范围是 ( ,0 2,+ ) .
故答案为：1； ( ,0 2,+ ) .
三、解答题
16. 【答案】（1）证明见解析
3
（2）
4
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证明 PE ⊥平面 ABCD，结合线面垂直的性质定理，即可证明结
论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，可求得相关向量的坐标，从而求得平面 PAC的法向量，
利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【小问 1 详解】
证明：因为△PAD为正三角形，E为 AD中点，
所以 PE ⊥ AD ，
因为平面 PAD ⊥平面 ABCD，
平面 PAD 平面 ABCD = AD ，
PE 平面 PAD，
所以 PE ⊥平面 ABCD．
因为 AB 平面 ABCD，
所以 PE ⊥ AB ．
【小问 2 详解】
由（1）知， PE ⊥平面 ABCD．
取 BC中点 F，连结 EF,
因为底面 ABCD为矩形，E为 AD中点，
所以 EF ⊥ AD ,
所以 EA，EF，EP两两垂直．
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分别以 E为坐标原点，EA，EF，EP为 x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 E-xyz，
则 E (0,0,0)， A(1,0,0)， P (0,0, 3)，C ( 1,3,0)，
所以 PA = (1,0, 3)， AC = ( 2,3,0)．
设平面 PAC的法向量 n = (x, y, z )，
n PA = 0 x 3z = 0
由 ，得 ，
n AC = 0 2x +3y = 0
令 z = 3 ，得 x = 3， y = 2 ，
所以 n = (3,2, 3)，
平面 ABCD的法向量可取 EP = (0,0, 3 )．
设平面 PAC与平面 ABCD夹角大小为 ，可知 为锐角，
n EP (3,2, 3 ) (0,0, 3 ) 3
则 cos = cos n, EP = = = ，
n EP 4 3 4
3
所以平面 PAC与平面 ABCD夹角的余弦值为 ．
4
π
17. 【答案】（1）B =
4
（2）答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角三角函数关系求出 tan B ，即可得答案；
1
（2）若选①②，根据 cos A = 求出 A，由正弦定理求出 a，再利用两角和的正弦公式求出 sin C ，由三
2
1
角形面积公式，即可求得答案；若选①③，根据 cos A = 求出 A，再根据 AB边上的高 h求出 b，下面解
2
法同选①②；若选②③，根据条件可求出 A的值不唯一，即可判断不合题意.
【小问 1 详解】
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在 ABC 中，bsin A = a cos B ，由正弦定理得 sin B sin A = sin Acos B ，
由于 A (0,π), sin A 0，则 sin B = cos B, tan B =1，
π
由于 B (0,π) ，故 B = ；
4
【小问 2 详解】
若选①②， ABC 存在且唯一，解答如下：
1 2π
由于 cos A = ， A (0,π), A = ，
2 3
a 2
=
又b = 2 ，故 2π π ，则 a = 3 ；
sin sin
3 4
2π π 2π π 3 2 1 2 6 2
又C = π A B = π ，故 sinC = sin + = = ，
3 4 3 4 2 2 2 2 4
1 1 6 2 3 3
故 S ABC = absinC = 3 2 = ；
2 2 4 4
若选①③， ABC 存在且唯一，解答如下：
1 2π
由于 cos A = ， A (0,π), A = ，
2 3
6
6 h
AB边上的高 h为 ，故b = = 2 = 2
2 sin A 3
2
a 2
=
则 2π π ，则 a = 3 ；
sin sin
3 4
2π π 2π π 3 2 1 2 6 2
又C = π A B = π ，故 sinC = sin + = = ，
3 4 3 4 2 2 2 2 4
1 1 6 2 3 3
故 S ABC = absinC = 3 2 = ；
2 2 4 4
若选②③， ABC 不唯一，解答如下：
6
6
b = 2 ，AB边上的高 h为 ，故 hsin A = = 2
3 ，
2 =b 2 2
2π π
A (0,π), A = 或 ，此时 ABC 有两解，不唯一，不合题意.
3 3
18. 为研究某地区 2021 届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区 2021 届大学毕业生中
随机选取了 1000 人作为样本进行调查，结果如下：
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毕业去向 继续学习深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业
人数 200 560 14 128 98
假设该地区 2021 届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（1）若该地区一所高校 2021 届大学毕业生的人数为 2500，试根据样本估计该校 2021 届大学毕业生选择
“单位就业”的人数；
（2）从该地区 2021 届大学毕业生中随机选取 3 人，记随机变量 X 为这 3 人中选择“继续学习深造”的人
数．以样本的频率估计概率，求 X 的分布列和数学期望 E(X ) ；
（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a
(0 a 98)人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为 s2 ．当a为何值
时， s2 最小．（结论不要求证明）
【答案】（1）1400
3
（2）分布列见解析；期望为
5
（3） a = 42
【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；
(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；
(3)由方差的意义可得.
【小问 1 详解】
560
由题意得，该校 2021 届大学毕业生选择“单位就业”的人数为 2500 =1400．
1000
【小问 2 详解】
200 1
由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为 = ．
1000 5
用频率估计概率，从该地区 2021 届大学毕业生中随机选取 1 名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概
1
率为 ．
5
随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3．
0 3
1 1 64
所以 P (X = 0) =C03 1 = ，
5 5 125
2
1 1 48
P (X =1) =C13 1 = ，
5 5 125
2
2 1 1 12P (X = 2) =C3 1 = ，
5 5 125
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3 0
1 1 1
P (X = 3) =C33 1 = ．
5 5 125
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
64 48 12 1
P
125 125 125 125
64 48 12 1 3
E(x) = 0 +1 + 2 + 3 = ．
125 125 125 125 5
【小问 3 详解】
易知五种毕业去向 人数的平均数为 200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人
数相等时方差最小，所以 a = 42 ．
x
19. 已知函数 f (x) = (ln x a)e .
（1）当a = 0 时，求曲线 y = f (x) 在 x =1处的切线方程；
（2）若 f (x) 在区间的（0，e]存在极小值，求 a的取值范围. 【答案】（1） y = e (x 1) 1 （2） 1,1+
e
2
【分析】（1）由 a = 0 ，得到 f (x) = ln x e (x 0)，求导，从而得到 f (1)， f (1)，写出切线方程；
1 1
（2）求导 f (x) = + ln x a e
x
，令 g (x) = + ln x a ， x (0,e ，易得函数 g (x)在区间（0，e]
x x
1 1
上的最小值为 g (1) =1 a，方法 1：分 a 1，1 a 1+ ， a 1+ 讨论求解；方法 2：根据 f ( x)在
e e
g (1) 0
区间（0，e]上存在极小值，由 求解.
g (e) 0
【小问 1 详解】
当 a = 0 时， f (x) = ln x ex (x 0)，
1
则 f (x) = ln x + ex ，
x
所以 f (1) = e， f (1) = 0，
所以曲线 y = f (x)在 x =1处的切线方程为 y = e (x 1)；
【小问 2 详解】
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1
f (x) = ex + (ln x a)ex
1
= + ln x a
x
e ，
x x
1
令 g (x) = + ln x a ， x (0,e ，
x
1 1 x 1
则 g (x) = = ，
x x2 x2
解 g (x) = 0 ，得 x =1，
g ( x)与 g (x)的变化情况如下：
x （0，1） 1 （1，e）
g ( x) － 0 +
g (x) ↘ 极小值 ↗
所以函数 g (x)在区间（0，e]上的最小值为 g (1) =1 a，
方法 1：
①当 a 1时， g (1) =1 a 0 .所以 g ( x) 0恒成立，即 f (x) 0恒成立，
所以函数 f ( x)在区间（0，e]上是增函数，无极值，不符合要求，
1 1
②当1 a 1+ 时，因为 g (1) =1 a 0， g (e) =1+ a 0，
e e
所以存在 x0 (1,e)，使得 g (x0 ) = 0
x （1， x0 ） x0 （ x0 ，e）
g(x)( f (x)) － 0 +
f (x) ↘ 极小值 ↗
所以函数 f ( x)在区间（1，e）上存在极小值 f ( x0 )，符合要求，
1 1
③当 a 1+ 时，因 g (e) =1+ a 0
e e
所以函数 f ( x)在区间（1，e）上无极值.
1 1
取 x = (0,1)，则 g = ae ln a 1 a ae (a 1) 1 a = a (e 2) 0
ae ae
所以存在 x0 (0,1)，使得为g (x0 ) = 0 易知， x0 为函数 f ( x)在区间（0，1）上的极大值点.
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所以函数 f ( x)在区间（0，e）上有极大值，无极小值，不符合要求
1
综上，实数 a的取值范围是 1,1+ .
e
方法 2：
g (1) 0 1
“ f ( x)在区间（0，e]上存在极小值”，当且仅当 ，解得1 a 1+ .
g (e) 0 e
证明如下：
1
当1 a 1+ 时，
e
g (1) 0
因为 ，所以存在 x0 ，使得 g (x0 ) = 0
g (e) 0
x （1， x0 ） x0 （ x0 ，e）
g(x)( f (x)) － 0 +
f (x) ↘ 极小值 ↗
所以函数 f ( x)在区间（1，e）上存在极小值.
1
所以实数 a的取值范围是 1,1+ .
e
【点睛】方法点睛：本题第二问 f (x) 在区间（0，e]是否存在极小值，转化为 f (x) = 0有不等零点且左负
右正求解.
x2 y2
20. 已知椭圆 C： + =1（ a b 0 ）经过 A 1,0 ， B (0,b)两点.O为坐标原点，且 AOB 的面积
a2 b2
2
为 .过点 P (0,1)且斜率为 k（ k 0 ）的直线 l与椭圆 C有两个不同的交点 M，N，且直线 AM ， AN
4
分别与 y轴交于点 S，T.
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
（Ⅱ）求直线 l的斜率 k的取值范围；
（Ⅲ）设 PS = PO ， PT = PO ，求 + 的取值范围.
2
【答案】（Ⅰ） x2 + 2y2 =1（Ⅱ） ,+ 2, 2 2
（Ⅲ） ( )

2 1 2
【分析】（Ⅰ）把点 A坐标代入椭圆的方程得 a =1 .由 AOB 的面积为 可知， ab = ，解得 b，进
4 2 4
而得椭圆 C的方程.
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（Ⅱ）设直线 l的方程为 y = kx +1，M (x1, y1 )， N (x2 , y2 ) .联立直线 l与椭圆 C的方程可得关于 x的一
元二次方程. 0，进而解得 k的取值范围.
（Ⅲ）因为 A 1,0 ， P (0,1)，M (x1, y1 )， N (x2 , y2 )，写出直线 AM 的方程，令 x = 0 ，解得
y
y = 1
y y
.点 S的坐标为 0,
1 2
.同理可得：点 T的坐标为 0, .用坐标表示PS ，PT ，PQ，
x1 1 x1 1 x2 1
y1 kx1 +1 kx2 +1
代入 PS = PO ， PT = PO ，得 = +1= +1 .同理 = +1 .由（Ⅱ）得
x1 1 x1 1 x2 1
4k 1
x1 + x2 = ， x1x2 = ，代入 + ，化简再求取值范围.
2k 2 +1 2k 2 +1
x2 y2
【详解】（Ⅰ）因为椭圆 C： + =1经过点 A 1,0 ，
a2 b2
所以 a2 =1解得 a =1 .
2 1 2
由 AOB 的面积为 可知， ab = ，
4 2 4
2
解得b = ，
2
所以椭圆 C的方程为 x2 + 2y2 =1 .
（Ⅱ）设直线 l的方程为 y = kx +1，M (x1, y1 )， N (x2 , y2 ) .
x2 + 2y2 =1 2 2
联立 ，消 y整理可得： (2k +1) x + 4kx +1= 0 .
y = kx +1
因为直线与椭圆有两个不同的交点，
2 2 2 1
所以 =16k 4(2k +1) 0 ，解得 k .
2
2
因为 k 0 ，所以 k的取值范围是 ,+ 2
.

（Ⅲ）因为 A 1,0 ， P (0,1)，M (x1, y1 )， N (x2 , y2 ) .
y1
所以直线 AM 的方程是： y = (x 1) .
x1 1
y1
令 x = 0 ，解得 y = .
x1 1
y
所以点 S的坐标为 0,
1
.
x1 1
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y
同理可得：点 T的坐标为 0,
2
.
x2 1
y y
所以 PS = 1 2 0, 1 ， PT = 0, 1 ， PO = (0, 1) .
x1 1 x2 1
由 PS = PO ， PT = PO ，
y1 y2
可得： 1= ， 1= ，
x1 1 x2 1
y1 kx1 +1
所以 = +1= +1 .
x1 1 x1 1
kx
= 2
+1
同理 +1 .
x2 1
4k 1
由（Ⅱ）得 x1 + x2 = ， x1x2 = ，
2k 2 +1 2k 2 +1
kx 2kx x + (1 k )(x + x ) 2
+ = 1
+1 kx2 +1 1 2 1 2
所以 + + 2 = + 2
x1 1 x2 1 x1x2 (x1 + x2 )+1
1 4k
2k + (1 k ) 2
2k 2 +1 2k
2 +1
= + 2
1 4k
+ +1
2k 2 +1 2 2k +1
2k 4k + 4k 2 2(2k 2 +1)
= + 2
1+ 4k + 2k 2 +1
(k +1)
= + 2
2
(k +1)
1 2
= + 2 ( 2,2) k
k +1 2
所以 + 的范围是 ( 2, 2) .
【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带
入”等解法.
*
21. 已知集合 A = 1,2,3, , 2n (n N ) .对于 A的一个子集 S，若存在不大于 n 的正整数 m，使得对于 S
中的任意一对元素 s1, s2 ，都有 s1 s2 m，则称 S具有性质 P.
*
（1）当n =10 时，试判断集合 B = x A x 9 和C = x A x = 3k 1,k N 是否具有性质 P 并说
明理由；
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（2）当 n =1000 时，若集合 S具有性质 P，那么集合T = 2001 x x S 是否一定具有性质 P 并说明
理由；
（3）当 n =1000 时，若集合 S具有性质 P，求集合 S中元素个数的最大值.
【答案】（1）集合 B不具有性质 P，集合C 具有性质 P，理由见解析
（2）具有，理由见解析
（3）1333
【分析】（1）根据集合 S具有性质 P的定义去判断已知集合是否满足定义，即可判断；
（2）根据集合T = 2001 x x S ，任取 t = 2001 x0 T ，因为 S A，说明 x0 1,2,3, , 2000 ，
可得1 2001 x0 2000，即可说明T A ，继而结合定义即可得结论；
（3）设集合 S有 k个元素，可推出集合 S与 T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过 1000，不妨设 S
k k
中有 t（ t ）个元素b1,b2 , ,bt 不超过 1000，从而可得不等式 k + 2000，结合 k 为正整数，可得
2 2
k 1333，再结合定义，即可确定答案.
【小问 1 详解】
当 n =10 时，集合 A = 1,2,3, , 20 ， = { ∈ | > 9} = {10,11, ,20}，
则集合 B不具有性质 P，理由如下：
因为对于任意不大于 n的正整数 m，都可以找到该集合中的两个元素b1 =10,b2 =10+m，
使得 b1 b2 = m成立；
集合C = x A x = 3k 1,k N* 具有性质 P，理由如下：
*
因为可取m =1 10 ，对于该集合中的任意一对元素 c1 = 3k1 1,c2 = 3k2 1,k1,k2 N ，
*
都有 c1 c2 = 3 k1 k2 1,k1,k2 N ；
【小问 2 详解】
当 n =1000 时，集合 A = 1,2,3, , 2000 ，
若集合 S具有性质 P，那么集合T = 2001 x x S 一定具有性质 P，理由如下：
首先因为集合T = 2001 x x S ，任取 t = 2001 x x S0 T ，其中 0 ，
因为 S A，所以 x0 1,2,3, , 2000 ，
从而1 2001 x0 2000，即 t = 2001 x0 A，故T A ,
由于 S具有性质 P，可知存在不大于 1000 的正整数 m，
使得对于 S中的任意一对元素 s1, s2 ，都有 s1 s2 m，
对于上述正整数 m，从集合T = 2001 x x S 中任取一对元素 t1 = 2001 x1, t2 = 2001 x2 ，
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其中 x1, x2 S ，则有 t1 t2 = x1 x2 m，
故集合T = 2001 x x S 具有性质 P.
【小问 3 详解】
设集合 S 有 k 个元素，由第（2）问可知，若集合 S 具有性质 P，那么集合T = 2001 x x S 一定具有
性质 P，
任给 x S ,1 x 2000，则 x与 2001 x中必有一个不超过 1000，
所以集合 S与 T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过 1000，
k
不妨设 S中有 t（ t ）个元素b1,b2 , ,bt 不超过 1000，
2
由集合 S具有性质 P可知存在正整数m 1000，
使得对于 S中的任意一对元素 s1, s2 ，都有 s1 s2 m，
所以一定有b1 +m,b2 +m, ,bt +m S ，
又bT +m 1000+1000 = 2000，故b1 +m,b2 +m, ,bt +m A，
因此集合 A中至少有 t个元素不在子集 S中，
k k
故 k + k + t 2000，即 k + 2000，结合 k为正整数，可得 k 1333，
2 2
当 S = 1,2,3, ,665,666,1334, ,1999,2000 时，取m = 667 ，
则可知集合 S中任意两个元素 y1, y2 ，都有 y1 y2 667 ，
即集合 S具有性质 P，而此时集合 S中有 1333 个元素，
因此集合 S中元素个数的最大值为 1333.
【点睛】难点点睛：本题是关于集合新定义类题目，解答的难点在于要理解新定义，明确其内涵，并能根
据其含义去解决问题.
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