2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（上）入学数学试卷（图片版，含答案）

2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若复数满足：，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是( )
A. 或 B. 或 C. D.
4.在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
7.如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知平面与所成锐二面角的平面角为，为空间内一定点，过点作与平面，所成的角都是的直线，则这样的直线有且仅有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
11.若，是平面内两条相交成角的数轴，和是轴、轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，设，，则( )
A. B. C. D.
12.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是( )
A. 勒洛四面体最大的截面是正三角形
B. 若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值可能大于
C. 勒洛四面体的体积是
D. 勒洛四面体内切球的半径是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ．
14.直线与直线互相垂直，则 ．
15.正四棱锥中，，，为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为 ．
16.命题：“，”是真命题，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的三个顶点是，，求：
边上的中线所在直线方程；
边上的高所在直线方程．
18.本小题分
如图，在中，，为的中点，与交于点设，．
试用表示；
求．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形．
若点是的中点，证明：平面；
若，，且平面平面，求二面角的正弦值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，为的中点，点在棱上．
若，求三棱锥的体积；
在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求：的值，若不存在，请说明理由．
21.本小题分
甲、乙、丙、丁名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第场为决赛，获胜的人是冠军已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
求甲获得冠军的概率；
求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．
22.本小题分
如图，在中，，的角平分线交于，．
求的取值范围；
已知面积为，当线段最短时，求实数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.
17.解：由题知的中点，所以直线的斜率，
则边上的中线所在直线的方程为，化简得．
由题意得直线的斜率，且，所以．
则边上的高所在直线的方程为，化简得．
18.解：由题意，，
，
由于，，三点共线，
所以，，
所以．
，
，
，
所以．
19.解：证明：连接交于，连接，
因为底面是菱形，
所以为的中点，
又点是的中点，
故为的中位线，
故E，
而平面，平面，
故平面；
设为的中点，连接，因为，
故，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
而平面，
故，
又底面是菱形，
故AC，
作交于，
则，且为的中点，
连接，因为，，平面，
故AC平面，
则即为二面角的平面角，
设，则，
，则，
则，
由于为的中点，为的中点，
故，
而平面，平面，
故，
所以，
即二面角的正切值为．
20.解：因为 ，，
所以，
又因为面面，面面，，面，
所以面，而面，故CD，
由于，
故，，
又因为为的中点，所以，，
又因为平面平面，面面，，面，
所以平面，
即故，所以三棱锥的体积为．
存在，：：，即为的中点．
证明：当为的中点时，取的中点，连接，，
因为为的中点，
所以，，
又因为，面，，面，故F面，面，
又因为，所以面面，故EF面，
综上，当：：时，平面．
21.解：甲、乙、丙、丁名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，
其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，
第场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
乙获连负两场，所以、均负，
所以乙获连负两场的概率为．
甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
胜胜胜；负胜胜胜；胜负胜胜，
所以甲获得冠军的概率为：．
若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲胜胜，乙负胜胜；甲负胜胜，乙胜胜，
所以甲与乙在决赛相遇的概率为：，
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第场和第场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：
乙胜胜，丙胜负胜；乙胜负胜，丙胜胜，
若考虑甲在第场和第场的结果，乙与丙在第场和第场相遇的概率为：
，丁与丙相同，
所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为：．
22.解：设，，则，，
由角平分线定理，知，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
化简得，即，
因为，所以．
所以的取值范围是；
因为面积为，
所以，即，
在中，由余弦定理得，
，
所以
，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取到最小值，
此时，
由知，．
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