2024-2025学年人教版八年级数学上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线课件（31张PPT）

(共31张PPT)
人教版八年级数学上册课件
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
1．理解三角形中线、高线、角平分线等概念．
2．了解三角形重心的概念．
3．会画任意三角形的高、中线与角平分线．运用三角形的高、中线与角平分线的概念进行简单的计算．
一　三角形的高
你还记得 “过一点画已知直线的垂线”吗
你能过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
探究新知
如图，线段AD是BC边上的高.
注意：标明垂直的记号和垂足的字母.
B
A
C
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高.
D
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
O
锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
A
B
C
D
E
F
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形.
A
B
C
(1)画出直角三角形的三条高.
直角边BC边上的高是______;
AB
直角边AB边上的高是______;
CB
(2)它们有怎样的位置关系？
D
斜边AC边上的高是_______.
BD
●
直角三角形的三条高交于直角顶点.
钝角三角形的三条高
(1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？
(2)它们所在的直线交于一点吗？
A
B
C
想一想
作钝角△ABC的高
①作BC边上的高，延长CB，过点A作AD BC于D
②作AB边上的高，延长AB，过点C作CE AB于E
③作AC边上的高，过点B作BF AC于F
结论：钝角三角形的三条高不相交于一点.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
A
B
C
D
E
F
O
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角
三角形
直角
三角形
锐角
三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形
内部
直角顶点
三角形
外部
二　三角形的中线
用同样方法， 你能画出△ABC 的另两条边上的中线吗？
B
A
C
D
·
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做 △ABC的边BC上的中线.
如图，三角形的三条中线相交于一点.三角形三
条中线的交点叫做三角形的重心.
B
A
C
D
E
F
·
取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心.
三　三角形的角平分线
如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸，你能想几种办法画出它的一个内角的平分线？
如图，在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线.
A
B
C
D
●
●
︶
︶
1
2
因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAD =∠CAD =
∠BAC.
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部.
例1 如图， ， ， 分别是 的中线、角平分线和高.请你指出图中相等的角及相等的线段.
【点拨】根据三角形的角平分线、中线和高的概念进行解答即可.
重难点拨
【解】 是 的中线， .
是 的角平分线， .
是 的高， .
图中相等的角有： ， .
相等的线段有 .
变式 在例1的条件下，小明得出下面五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中错误的结论是_____（只填序号）.
③
例2 为了美化环境，学校需要在一块三角形空地上种植四种不同的花，并且要求每种花的种植面积相等.请你分别在图1、图2、图3中设计出三种不同的划分方案.
【点拨】先利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，再继续平分即可得.
【解】答案不唯一.
方案 :如图1，在 边上取点 ， ，
F，使 ，连接 ， ， .
方案 :如图2，分别取 ， ， 的中点 连接 ， ， .
方案 :如图3，分别取 ， 的中点 ， ，再取 的中点 ，连接 ， ， .
易错示例 下列说法中不正确的是( )
A. 三角形的三条高交于一点 B. 直角三角形有三条高
C. 三角形的三条角平分线交于一点 D. 三角形的三条中线交于一点
【错解】B
A
【点拨】三角形的三条高所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高不一定交于一点，比如钝角三角形.
1. 在数学课上，同学们练习画边 上的高时，出现了下列四种图形，其中正确的是( )
A. B. C. D.
C
2. 如图，在 中， ， .下列说法中错误的是( )
D
A. 是 的中线
B. 是 的中线
C.
D. 是 的中线
（第2题图）
3. 如图，在 中， ， ， ，垂足分别为 ，则线段______是 中 边上的高.
（第3题图）
4. 如图，在 中， ， ， ， ， 于点 ， 为 边上的中线.
（1） 求 与 的周长的差；
解： 为 边上的中线，
.
的周长 的周长 .
（2） 求 的长及 的面积.
解： ，
.
.
.
5. 如图， 为 中 边上一点， ， ， ， 是 边上一点，且 的面积等于 面积的 倍，则 的长为( )
A. B.
C. D.
B
6. 下图是一块三角形的菜地.现要求把这块菜地分成面积比为 的三块，且图中的A处是这三块菜地的公共水源.应该怎样分？
解：如图，在 边上取点 ，使 ，再取 的中点 ，连接 ， .
7.（1） 如图, 是 的角平分线, , , 交 于点 .请问： 是 的角平分线吗？如果是,请给予证明；如果不是,请说明理由.
解： 是 的角平分线.
证明： 是 的角平分线,
.
, ,
, .
.
是 的角平分线.
（2） 若将（1）中结论与 是 的角平分线， ， 中的任何一个条件交换位置,所得命题正确吗？请直接判断.
所得命题正确.
完成本课课后对应的习题
谢谢欣赏