山东省东营市广饶县第一中学2024-2025学年高二上学期开学收心考试数学试题（含答案）

高二开学收心考试 数学2024.8
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．不共面的四点最多可确定（ ）个平面
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知，则（ ）
A．4 B． C． D．3
4．如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且在上的投影的数量为，则（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱锥的棱上分别取四点，若，则点（ ）
A．一定在直线上 B．一定在直线上
C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上
7．如图所示，从热气球A上测得地面上点的俯角为，点的俯角为，图中各点在同一铅垂平面内，已知两点间距离为100m，则热气球距地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．正四棱锥的底面积为3，外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于对称
C．在上单调递增 D．当时，的值域为
11．在三角形内，下列说法中正确的是（ ）
A．若三角形ABC是锐角三角形，则
B．若O是三角形ABC的内心，且满足，则这个三角形一定是钝角三角形
C．是的必要条件
D．若，则直线AP一定经过这个三角形的外心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，则平面图形的面积为______．
13．如图所示，在直三棱柱中，，是线段上一动点，则的最小值为______．
14．甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响，则3人中至少有一人被选中的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知平面向量．
（1）若，求；
（2）若，求．
16．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为．
（1）求圆锥的体积；
（2）求圆锥的内切球的表面积．
17．记的内角的对边分别为．已知．
（1）求A；
（2）若是的中点，且，求．
18．如图，在直角梯形中，是的中点．
（1）求；
（2）连接，交于点，求；
（3）若为边上的等分点，当时，求的值．
19．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，称为函数的“相伴向量”．
（1）若函数，求函数的“相伴向量”；
（2）若函数为向量的“相伴函数”，将函数图象上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有三个不同零点，且．
①求实数取值范围；
②若，求实数的取值范围．
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B
【分析】先求，利用向量的运算法则展开后，可以转化为关于的函数，利用函数的观点即可求最小值．
【详解】因为
所以
又因为，所以
所以
当时，，即，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．AB 10．ABD【分析】利用两角和的正弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可．
【详解】因为
，
所以的最小正周期为，故A正确；
因为，所以的图象关于对称，故B正确；
当时，，因为在上不单调，
所以在上不单调，故C错误；
当时，，所以，所以，故D正确．
11．ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】 【分析】先求出梯形的面积，
再根据公式，即可求解．
【详解】过作垂直于点，如图所示，
因为是直角梯形，所以四边形是矩形，所以，
又因为，所以，所以，所以，
又因为，所以．故答案为：．
13．7 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】【问1详解】因为，所以，解得，
所以．
【小问2详解】因为，
所以，解得．所以，
所以． ．
16．【小问1详解】由题意圆锥的底面半径为，设母线长为，圆锥的高为，
由圆锥的侧面积公式得：，解得，所以．
由圆锥的体积公式得：．
【小问2详解】如图所示，圆锥及内切球截面示意图如上图，设内切球半径为，
相似于，即，
解得：，所以内切球表面积：．
17．【解析】【小问1详解】
因为，
又正弦定理可得，则，
即，所以，
又，所以，所以，又，所以；
【小问2详解】
在中，由余弦定理可得
即，解得或（舍去），
在中，由余弦定理可得，
即，所以．
18．【答案】（1）1 （2） （3）240
【解析】【小问1详解】
因为，所以以A为坐标原点，为轴，为轴，
建立如图所示平面直角坐标系，则，所以．
【小问2详解】
设，所以，
所以，
所以，解得，所以．
【小问3详解】
在中，因为为中点，所以，
又因为是边的101等分点，
，
所以，
所以
由（2）得，所以，
所以．
19．【答案】（1）； （2）①；②．
【分析】（1）化简函数，根据相伴向量的概念即可求解；
（2）①由函数变换得，令，得，根据题意在内有两个不同的实根，分类讨论即可得实数的范围；
②根据二次函数及三角函数的图象和性质，结合一元二次方程根的分布，经过分析运算即可求解．
【小问1详解】
由题意，函数
所以的“相伴向量”；
【小问2详解】
因为函数为向量的“相伴函数”，所以，
由题意，函数，，
由，可得，
令，则，
根据题意在内有两个不同的实根，
1°关于的方程的一个根在区间，另一个根在，
当一个根为0时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意；
当一个根是，即，解得，此时方程为，所以，不合题意；
当一个根在，另一个根在，则有解得；
2°当一个根是1，另一个根在内，
由得，此时方程为，解得或，不合题意；
综上，的取值范围是；
②设为方程的两个不相等的实数根，且，
由①知，，所以，即，
，所以关于对称，则，
所以，即，
由且，可得，
因为，所以，
所以，所以，
又，且所以，所以，
整理得，
因为，所以，解得或，又，
所以，