北师大版数学八年级上册1.2 一定是直角三角形吗 同步练习（基础卷）（含解析）

北师大版数学八年级上册1.2一定是直角三角形吗 同步练习
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一、选择题
1．已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．，，2 B．1，2， C．1，， D．4，5，6
3．下列条件中，能判定为直角三角形的是（　　）
A． B．
C．：：：： D．，
4．分别以下列四组数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．2，3，4 D．9，12，15
5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a＝b，∠C＝45°
C．∠A：∠B：∠C＝6：8：10 D．a＝，b＝，c＝2
6．下列各组数中，能成为直角三角形三边长的是（　　）
A．6，8，11 B．15，9，17 C．5，12，13 D．2，4，
7．如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
8．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
9．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
10．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A． B． C．32，42，52 D．4，5，6
二、填空题
11．三角形的三边之比为3：4：5，周长为36，则它的面积是　 　.
12．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，当a、b、c满足　 　时，∠B=90°.
13．以下各组数为边长：①3，4，5，②10，12，13，③5，12，13，④3，5，7，其中能构成直角三角形的是　 　（填序号）
14．分别以△ABC的各边为一边向三角形外部作正方形，若这三个正方形的面积分别为6cm2、8cm2、10cm2，则△ABC　 　直角三角形.（填“是”或“不是”）
15．已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为　 　 .
三、综合题
16．如图， ，垂足为 . 如果 ，
（1）直接写出 　 　， 　 　；
（2） 是直角三角形吗？证明你的结论.
17．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，连接AC。
（1）求AC的长度。
（2）求证△ACD是直角三角形。
（3）求四边形ABCD的面积
18．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
（1）线段AB的长度是　 　，线段CD的长度是　 　．
（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
19．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求的长．
20．如图，的三边分别为，，，如果将沿折叠，使恰好落在边上．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）求线段的长．
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形的内角和定理算出最大内角的度数，如果等于90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断C、D选项.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形；
B、，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形；
C、，故此选项中的三条线段能构成直角三角形；
D、，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形.
故答案为：C.
【分析】如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解： A、 由 无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
B、 ，
，无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
C、 ： ： ： ： ， ，
最大角 ，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D、 ， ， ， ，
，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而只要找出三角形最大内角的度数，即可判断该三角形是不是直角三角形，据此判断A、B、C；根据勾股定理的逆定理，只需要判断一个三角形的较小两边的平方和是否等于最大边长的平方即可，据此可判断D.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、32+22≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
D、92+122＝152，能构成直角三角形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只需要验证满足较小两边的平方和是否等于最大边长的平方即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵，，∴，不是直角三角形，故A不符合题意；
B、 a＝b，∠C＝45°∴∠A=∠B=，不是直角三角形，故B不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C＝6：8：10，解得∠C=180°×，不是直角三角形，故C不符合题意；
D、 ∵，∴是直角三角形，∠B是直角，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】A、分别计算a2+b2和c2的值，是否满足a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可判断求解；
B、由等边对等角可得∠A=∠B，然后用三角形内角和定理可判断求解；
C、由三角形内角和定理并结合∠A、∠B、∠C的比值计算即可判断求解；
D、分别计算a2+b2和c2的值，是否满足a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可判断求解.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：A、62+82≠112，故选项A不符合题意；
B、152+92≠172，故选项B不符合题意；
C、52+122＝132，故选项C符合题意；
D、22+（）2≠42，故选项D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：， ，，
∵，
∴，
∴∠BAC＝90°，
∴为直角三角形．
故答案为：B．
【分析】先利用勾股定理求出AC，AB和BC的长，再利用勾股定理的逆定理证出∠BAC＝90°，即可得到为直角三角形。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
B、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
C、三边长分别为，由，故该三角形是直角三角形；
D、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理判断各选项。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：A.∵，设AB=3k，则BC=4k，AC=5k，∴AB2+BC2=25k2=AC2，是直角三角形，故此选项不符合题意；
B.∵，设AB=k，则BC=2k，AC=k，∴AB2+AC2=4k2=BC2，是直角三角形，故此选项不符合题意；
C.∵∠A-∠B=∠C，∴∠A=∠C+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=75°，不是直角三角形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：A、，故选项A符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，从而分别判断，即可作答.
11．【答案】54
【解析】【解答】解：设三角形的三边是3x，4x，5x，
∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，
∴此三角形是直角三角形，
∵它的周长是36，
∴3x+4x+5x=36，
∴3x=9，4x=12，
∴三角形的面积= ×9×12=54，
故答案为：54.
【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论.
12．【答案】a2+c2= b2
【解析】【解答】解：∵a2+c2=b2时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴当a、b、c满足a2+c2=b2时，∠B=90°.
故答案为：a2+c2=b2.
【分析】根据勾股定理的逆定理可得到满足的条件，可得到答案.
13．【答案】①③
【解析】【解答】解：①32+42=52，②102+122≠132，③52+122=132，④32+52≠72，；
所以①③组数为边长的能构成直角三角形，
故答案为：①③.
【分析】根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进行计算，如果三角形的三条边符合a2+b2=c2，则可判断是直角三角形，否则就不是直角三角形.
14．【答案】不是.
【解析】【解答】∵分别以△ABC的各边为一边向三角形外部作正方形，这三个正方形的面积分别为6cm2、8cm2、10cm2，
∴三边平方后分别为：6，8，10，
∵6+8≠10，
∴△ABC不是直角三角形.
故答案为：不是.
【分析】直接利用正方形的性质结婚和勾股定理的逆定理进而分析得出答案.
15．【答案】24
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为： .
故答案为：24.
【分析】由题意计算三边的平方，是否满足a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理可判断三角形是直角三角形，然后由直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半可求解.
16．【答案】（1）5；10
（2）解：∵AC= ；AB=2 ，BC=CD+BD=5，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形
【解析】【解答】(1)∵CD=1，AD=2，BD=4，AD⊥BC，
∴AC2=5；AB2=10
【分析】（1）根据勾股定理即可直接得出AC2，AB2的值；
（2）由 AC2+AB2=BC2， 根据勾股定理的逆定理即可得出 △ABC是直角三角形 .
17．【答案】（1）解： ∵AB=BC=2，且∠ABC=90°，∴AC2=8，∴AC=2
（2）解：又∵AD=1，CD=3，AC=2 ∴AD2+AC2=CD2
∴∠CAD=90°，即△ACD是直角三角形
（3）解：S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD= ×2×2+ ×1×2 =2+
【解析】【分析】（1）根据勾股定理，即可求出AC的值；
（2）由 AD=1，CD=3，AC=2 ，可知AD2+AC2=CD2 ，根据勾股定理得逆定理，即可得证； （3） 由 S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD，即可求解.
18．【答案】（1）；2
（2）解：以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，
理由：∵AB=，CD=2，EF=，
∴CD2+EF2=（2）2+（）2=8+5=13=AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．
【解析】【解答】解：（1）由图可得，
AB==，CD==2，
故答案为：，2；
【分析】（1）利用勾股定理求出AB和CD的长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理判断即可。
19．【答案】（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴是直角三角形；
（2）解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴设，则，
∵在中，
，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得，即可证出是直角三角形；
（2）连接BE，设，则，利用勾股定理可得，将数据代入可得，最后求出即可。
20．【答案】（1）解：是直角三角形，
理由：
∵，
∴，
是直角三角形；
（2）解：设折叠后点C与上的点E重合，
设，则，，，，
∵，
在Rt中，，
整理得：，
解得：，
即线段的长为．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明，即可得到 是直角三角形；
（2）设，则，利用勾股定理可得，求出，即可得到CD的长。