北师大版八年级数学上册 1.2 一定是直角三角形吗 同步测试（含解析）

北师大版八年级数学上册 1.2 一定是直角三角形吗 同步测试
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一、单选题
1．若以下列数组为边长，能构成直角三角形的是 （　　）
A．4，5，6 B．，，
C．0.2，0.3 ，0.5 D．，，
2．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　）
A．三个角的度数比为1：2：3 B．三条边的长度比为1：2：3
C．三条边满足关系a2+c2=b2 D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A
3．如图， 中， ， ， ， 是 边上的中线，则 的长度为（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．有下列条件：①；②；③；④，其中能确定是直角三角形的是　　
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
5．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠C＝∠A﹣∠B，④a：b：c＝3：4：5中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝55°，∠B＝35°
B．∠A：∠B：∠C＝7：4：3
C．AB＝3，BC＝4，CA＝
D．AB＝m2﹣n2，BC＝4mn，AC＝m2+n2（m＞n＞0）
7．如图，已知 中 ， ， ，在 上取一点E， 上取一点F，使得 ，过点C作 ，交 于点G，过点B作 .则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．在正方形网格中画格点 ，如图，若网格中每个小正方形的边长均为 ，则下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
9． 中， 、 、 的对边分别为a、b、c，若 ，则有（　　）
A． B． C． D．
10．如图，由小正方形组成的网格图，每个小正方形的边长均为1，图中标有线段 ， ， ， ，其中能构成一个直角三角形三边的是（　　）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
二、填空题
11．定义：在平面直角坐标系中，把从点P出发沿横或纵方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”.如图，若 ， ，则P，Q的“实际距离”为5，即 或 .环保低碳的公共自行车，逐渐成为市民出行喜欢的交通工具.设A，B，C三个小区的坐标分别为 ， ， ，若点M表示公共自行车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标是　 　.
12．在△ABC中，若AC2＋BC2＝AB2，∠A∶∠B＝1∶2，则∠B的度数是　 　.
13．如图， 是 的中线，把 沿着直线 对折，点 落在点 处.如果 ，则 　 　.
14．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，可以判断△ABC为直角三角形的是___．
（1）a2＝b2﹣c2；（2）∠A＝∠B﹣∠C；（3）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（4）a：b：c＝3：4：5；（5）∠A＝ ∠B＝ ∠C．
15．三角形的三边之比为3：4：5，周长为36，则它的面积是　 　.
三、解答题
16．如图，已知在 中， ， ，BC边上的中线 ．求证： ．
17．如图，AD是△ABC的中线，AD＝12，AB＝13，BC＝10，求AC长.
18．如图， ， ， ， ， .求该图形的面积.
19．如已知：如图，四边形 中 ， ， ，且 ．试求 的度数．
20．如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°.
21．如图是一块四边形木板，其中 ， ， ， ， ．李师傅找到 边的中点 ，连接 ， ，发现 是直角三角形．请你通过计算说明理由．
22．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？
23．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、 42+52≠62，不能构成直角三角形；
B、 ()2+()2=()2，能构成直角三角形；
C、 0.22+0.32≠0.52，不能构成直角三角形；
D、 ()2+()2≠()2，不能构成直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、三个角的度数比为1：2：3，最大角的度数是90°，是直角三角形，不符合题意；
B、三条边的比为1：2：3，12+22≠32，不是直角三角形，符合题意；
C、三条边满足关系a2+c2=b2，是直角三角形，不符合题意；
D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，所以∠A=90°，是直角三角形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义判断即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形，∠B=90°，
∵ 是 边上的中线，
∴BD= ，
∴ ．
故答案为：D
【分析】得出△ABC为直角三角形，∠B=90°，即可得出 的长度。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：①由题意知，∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A+∠B=∠C，∴∠C=90°，则△ABC是直角三角形；
②，则△ABC不是直角三角形；
③由题意知，∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A-∠B=∠C，∴∠A=90°，则△ABC是直角三角形；
④由题意知，∵a∶b∶c=3∶4∶5，∴a2+b2=c2=25，则△ABC是直角三角形.
故答案为：C.
【分析】根据内角和定理求出∠C的度数，据此判断①②；根据内角和定理求出∠A的度数，据此判断③；根据勾股定理逆定理可判断④.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝75°，故△ABC不是直角三角形；
③∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，故△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；
故答案为：C.
【分析】根据∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，据此判断①；根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5结合内角和定理求出∠C的度数，据此判断②；由∠C＝∠A-∠B结合内角和定理可得∠B＝90°，据此判断③；根据勾股定理逆定理可判断④.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵∠A＝55°，∠B＝35°，
∴∠C＝180°﹣55°﹣35°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C＝7：4：3，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
C、∵AB＝3，BC＝4，CA＝ ，
∴AB2+CA2＝BC2，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
D、∵AB＝m2﹣n2，BC＝4mn，AC＝m2+n2，
∴三边长不满足勾股定理的逆定理，
∴△ABC不是直角三角形.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，据此判断A；根据比的意义结合内角和定理求出∠A的度数，据此判断B；根据勾股定理逆定理可判断C、D.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中AC=24，AB=25，BC=7 ，
，
，
△ABC为直角三角形，
∠ACB=90°，
， ，
∠GCF=180°-∠EFC=44°，
∠BCG=∠ACB - ∠GCF=46°，
又 ，
，
∠CBD= ∠BCG= 46°，
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理逆定理求出△ABC为直角三角形，然后根据平行线的性质求出∠GCF的度数，再根据角的和差关系求出∠BCG，然后再根据平行线的性质求出∠CBD即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：由图知： ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，且
∴A、B、D选项正确
故答案为：C
【分析】先勾股勾股定理求出△ABC的各边长，则可判断BCD；再根据勾股定理逆定理判断A，即可解答.
9．【答案】A
【解析】【解答】解： ，
∴ 是直角三角形，且 ，
故答案为：A.
【分析】如果三角形三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且边a所对的角是直角.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵由小正方形组成的网格图，每个小正方形的边长均为1
∴ ，
，
，
，
A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】首先根据勾股定理求出AB、CD、EF、GH，然后利用勾股定理逆定理进行判断.
11．【答案】
【解析】【解答】解：设M（x，y），
∵M到A，B，C的“实际距离”相等， ， ， ，
∴AC实际距离为|1+3|+|5+1|=4+6=10，BC实际距离为|1+5|+|3-1|=6+2=8，
AB实际距离为|-5+3|+|3+1|=2+4=6，
∵62+82=102，
∴△ABC三边的实际距离构成直角三角形，
∴M（x，y）为AC中点，
∴x= ，y= ，
∴CM=|1+1|+|5-2|=2+3=5，BK=|-1+5|+|3-2|=4+1=5，MA=|-1+3|+|2+1|=2+3=5，
∴M（-1，2）.
故答案为：（-1，2）.
【分析】设M（x，y），则AC=10，BC=8，AB=6，根据勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，利用中点坐标公式可得点M的坐标，然后求出CM、BK、MA.
12．【答案】60°
【解析】【解答】解：在△ABC中，因为AC2＋BC2＝AB2，
所以△ABC是以AB为斜边的直角三角形，则∠C=90°，
所以∠A+∠B=90°，
因为∠A：∠B＝1：2，
所以∠B=90°×60°.
故答案为：60°.
【分析】根据已知条件结合勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠C=90°，则∠A+∠B=90°，然后结合∠A∶∠B＝1∶2就可求出∠B的度数.
13．【答案】45°
【解析】【解答】解：∵ 是 的中线，把 沿着直线 对折，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴△BDE为直角三角形，∠BDE=90°，
∴∠EDC=90°， .
故答案为：45°.
【分析】根据中线以及折叠的性质可得BD=CD=DE，∠ADC=∠ADE，则BD2+DE2=2BD2，结合BC=BE可得BE2=2BD2，则可推出△BDE为直角三角形，且∠BDE=90°，据此解答.
14．【答案】（1）（1）（2）（4）（5）
【解析】【解答】解：∵ 可化为 ，满足勾股定理的逆定理，能够判定 为直角三角形，
故（1）符合题意；
∵ 可化为 ，此时 是直角，能够判定 是直角三角形，
故（2）符合题意；
∵ ，可设 ，则 ， ，
∴
∴
∴ ， ， ，
∴ 不是直角三角形，故（3）不符合题意；
∵ ，可设 ，则 ， ，
∴ ，符合勾股定理的逆定理，能够判定 为直角三角形，
故（4）符合题意；
∵ ，
∴ ， ，
∴ 是直角三角形，
故（5）符合题意；
综上所述，可以判断 为直角三角形的是：（1）（2）（4）（5）；
故答案是：（1）（2）（4）（5）．
【分析】根据三角形的内角和及勾股定理逆定理逐项判断即可。
15．【答案】54
【解析】【解答】解：设三角形的三边是3x，4x，5x，
∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，
∴此三角形是直角三角形，
∵它的周长是36，
∴3x+4x+5x=36，
∴3x=9，4x=12，
∴三角形的面积= ×9×12=54，
故答案为：54.
【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论.
16．【答案】证明：∵AD是BC边上的中线
∴
在 中，
∴
∴AD垂直平分BC
∴
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理即可得出答案。
17．【答案】解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，
∴BD= BC=5.
∵52+122=132，即BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
又∵CD=BD，
∴AC=AB=13.
【解析】【分析】由线段中点定义可得BD=BC，计算BD2、AD2、AB2的值，观察是否满足a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可判断三角形ABD是直角三角形，而CD=BD，根据等腰三角形的三线合一得AB=AC可求解.
18．【答案】解：连接 .
∵在 中， ， ，
∴ .
在 中，
∵ ，
∴ 为直角三角形.
∴该图形的面积为 .
【解析】【分析】 连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理得出△ADC为直角三角形， 由 该图形的面积为，利用三角形的面积公式计算即得.
19．【答案】解：如图，连接AC
∵ ，
∴ ，∠BAC=45°
又∵ ， ，
∴△ACD为直角三角形
∴∠CAD=90°
∴ =135°
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可得 ，再由勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，即可求得．
20．【答案】证明：连接AC.
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理，得AC2=202+152=625
又CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=625，
∴AC2=CD2+AD2
∴∠D=90°，
∴∠A+∠C=360° 180°=180°
【解析】【分析】连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180°
21．【答案】解：∵ 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【解析】【分析】利用勾股定理先求出线段的长度，再利用勾股定理逆定理证明即可。
22．【答案】解：由题意可知，在△ABC中，AC＝30×2=60，AB＝40×2=80，BC＝100，
∴AC2=3600，AB2=6400，BC2=10000，
∴AC2＋AB2＝BC2，
∴∠CAB＝90°，
又∵∠EAD=180°，∠EAC=35°，
∴∠DAB＝90°－∠CAE＝90°－35°＝55°，
∴乙船航行的方向为南偏东55°.
【解析】【分析】由题意可知：在△ABC中，AC＝60，AB＝80，BC＝100，由此可由“勾股定理逆定理”证得∠BAC=90°，结合∠EAD=180°和∠EAC=35°即可求得∠DAB的度数，从而得到乙船的航行方向.
23．【答案】解：如图，连接BE.因为AE2=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2，所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE.
【解析】【分析】由勾股定理分别求得AE、AB、BE的值，再证明AE2+AB2=BE2，即可证明AB⊥EA.