2024-2025学年人教版八年级数学上册11.2.1 第1课时 三角形内角和定理 课件(共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年人教版八年级数学上册11.2.1 第1课时 三角形内角和定理 课件(共33张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-03 19:33:10 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
人教版八年级数学上册课件
1．理解三角形内角的概念．
2．探索并证明三角形的内角和定理．
3．会运用三角形的内角和定理进行简单的计算或证明．
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
第1课时 三角形内角和定理
一 三角形内角和定理
问题1：在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
方法：度量、剪拼图、折叠
探究新知
A
B
C
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
◎探究
追问1：在下图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的直线l，直线l 与边BC 有什么位置关系？
直线l 与边BC 平行．
B
B
C
C
A
l
已知：△ABC . 求证:∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
2
4
1
5
3
l
如图, 过点A作直线l,使l //BC. ∵ l//BC,
∴ ∠2= ∠4 (两直线平行，内错角相等).
同理 ∠3= ∠5.
∵ ∠1 ,∠4, ∠ 5组成平角，
∴ ∠1 + ∠4+ ∠5=180° (平角定义).
∴ ∠1 + ∠2+ ∠3=180° (等量代换).
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°,
得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.
证明：
合作探究
二 三角形内角和的应用
三角形内角和定理的“三个应用”
1.已知两个角的度数求第三个角的度数.
2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和.
3.已知三个角的度数关系，求这三个角的度数.
图是A，B，C三岛的平面图， C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北 偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ ABC是多少度？从C岛 看A, B两岛的视角∠ ACB呢？
例2
北
北
C
A
B
D
E
A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠ CAB, ∠ ABC,就能求出∠ ACB.
分析：
解：
∠CAB=∠BAD － ∠CAD=80°－50°=30°.
由 AD//BE，得 ∠ BAD － ∠ ABE=180°.
方法一：
所以
∠ ABE=180° － ∠BAD = 180°－ 80°= 100°,
∠ ABC=∠ ABE － ∠EBC=100° － 40°=60°.
在△ABC中，
∠ ACB =180° － ∠ABC － ∠ CAB
= 180° － 60° － 30°=90°.
从B岛看A, C两岛的视角∠ ABC是
60°, 从C岛看A, B两岛的视
角∠ ACB是90°.
答：
你还能想到其他解法吗？
B
D
C
E
北
A
你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？
1
2
50°
40°
F
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE，
∴ CF∥ BE，
∴∠2＝∠CBE ＝40 °
∴ ∠ACB＝∠1 ＋ ∠2 ＝50 ° ＋ 40 ° ＝90 °
解：
北
方法二：
三角形的
内角和等于
180 °
证法
应用
作平行线
转化思想
求角度
转化为一个平角
或
同旁内角互补
辅助线
例1 如图，已知 平分 ， .若 ， ，求 的度数.
【点拨】根据题意可得 ，即可判定 ；再根据平行线的性质，可得 ；依据三角形内角和定理，即可得出 的度数.
重难点拨
【解】 平分 ，
.
又 ，
.
.
.
，
.
变式 如图，在 中， ， ， 平分 ，交 于点 ， ，交 于点 ，则 的度数是( )
A
A.
B.
C.
D.
例2 已知 中， ， ，分别求 ， ， 的度数.
【点拨】设 ，根据已知条件可用含 的式子分别表示出 ， ，再根据三角形内角和定理列方程求解即可得.
【解】设 ，
， ，
，
.
，
，
解得 .
， ， .
变式 在 中， ， ，则 是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定
B
1. 在 中，若 ， ，则 的度数为( )
A. B. C. D.
C
2. 下面四组角度中，不可能为一个三角形三个内角的度数的是( )
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
D
3. 如图，在 中， ， ， 分别是 ， 上的点，且 ，则 的度数是( )
A. B.
C. D.
B
（第3题图）
4. 如图， 与 相交于点 ， ， ， ，则 的度数为______.
（第4题图）
5. 一块三角形木板的残余部分如图所示，量得 ， ，则这块三角形木板另外一个角 的度数是______.
6. 若 的一个内角度数是另一个内角的 ，是第三个内角的 ，求这个三角形三个内角的度数.
解：设一个内角的度数是 ，则另一个内角的度数是 ，第三个内角的度数是 .
由三角形内角和定理得 ，
解得 ， ， .
三个内角的度数分别为 ， ， .
7. 如图，在 中， 是 的平分线， 为 上一点，且 于点 .若 ， ，则 的度数为______.
8. 如图，在 中， ， 的平分线相交于点 .
（1） 若 ， ，求 的度数；
平分 ， 平分 ，
， .又 ， ，
， .
.
（2） 若 ，求 的度数.
，
.
又由（1）知 ， ，
.
则 .
9. 已知 中， ， 平分 .
（1） 如图1， 于点 .若 ， ，求 的度数.
解： ， ，
.
平分 ，
.
，
.
，
.
.
（2） 如图1，若 中， ， .请根据（1）的结果，大胆猜想 与 ， 的等量关系，不必说明理由.
.
（3） 如图2， ， 为 延长线上任一点，过点F作 于点 .若 ， ，请你运用（2）中的结论，求 的度数.
， ，
.
， ，
.
.
.
完成本课课后习题
谢谢大家欣赏
人教版八年级数学上册课件
1．理解三角形内角的概念．
2．探索并证明三角形的内角和定理．
3．会运用三角形的内角和定理进行简单的计算或证明．
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
第1课时 三角形内角和定理
一 三角形内角和定理
问题1：在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
方法：度量、剪拼图、折叠
探究新知
A
B
C
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
◎探究
追问1：在下图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的直线l，直线l 与边BC 有什么位置关系？
直线l 与边BC 平行．
B
B
C
C
A
l
已知：△ABC . 求证:∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
2
4
1
5
3
l
如图, 过点A作直线l,使l //BC. ∵ l//BC,
∴ ∠2= ∠4 (两直线平行，内错角相等).
同理 ∠3= ∠5.
∵ ∠1 ,∠4, ∠ 5组成平角，
∴ ∠1 + ∠4+ ∠5=180° (平角定义).
∴ ∠1 + ∠2+ ∠3=180° (等量代换).
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°,
得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.
证明：
合作探究
二 三角形内角和的应用
三角形内角和定理的“三个应用”
1.已知两个角的度数求第三个角的度数.
2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和.
3.已知三个角的度数关系，求这三个角的度数.
图是A，B，C三岛的平面图， C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北 偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ ABC是多少度？从C岛 看A, B两岛的视角∠ ACB呢？
例2
北
北
C
A
B
D
E
A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠ CAB, ∠ ABC,就能求出∠ ACB.
分析：
解：
∠CAB=∠BAD － ∠CAD=80°－50°=30°.
由 AD//BE，得 ∠ BAD － ∠ ABE=180°.
方法一：
所以
∠ ABE=180° － ∠BAD = 180°－ 80°= 100°,
∠ ABC=∠ ABE － ∠EBC=100° － 40°=60°.
在△ABC中，
∠ ACB =180° － ∠ABC － ∠ CAB
= 180° － 60° － 30°=90°.
从B岛看A, C两岛的视角∠ ABC是
60°, 从C岛看A, B两岛的视
角∠ ACB是90°.
答：
你还能想到其他解法吗？
B
D
C
E
北
A
你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？
1
2
50°
40°
F
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE，
∴ CF∥ BE，
∴∠2＝∠CBE ＝40 °
∴ ∠ACB＝∠1 ＋ ∠2 ＝50 ° ＋ 40 ° ＝90 °
解：
北
方法二：
三角形的
内角和等于
180 °
证法
应用
作平行线
转化思想
求角度
转化为一个平角
或
同旁内角互补
辅助线
例1 如图，已知 平分 ， .若 ， ，求 的度数.
【点拨】根据题意可得 ，即可判定 ；再根据平行线的性质，可得 ；依据三角形内角和定理，即可得出 的度数.
重难点拨
【解】 平分 ，
.
又 ，
.
.
.
，
.
变式 如图，在 中， ， ， 平分 ，交 于点 ， ，交 于点 ，则 的度数是( )
A
A.
B.
C.
D.
例2 已知 中， ， ，分别求 ， ， 的度数.
【点拨】设 ，根据已知条件可用含 的式子分别表示出 ， ，再根据三角形内角和定理列方程求解即可得.
【解】设 ，
， ，
，
.
，
，
解得 .
， ， .
变式 在 中， ， ，则 是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定
B
1. 在 中，若 ， ，则 的度数为( )
A. B. C. D.
C
2. 下面四组角度中，不可能为一个三角形三个内角的度数的是( )
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
D
3. 如图，在 中， ， ， 分别是 ， 上的点，且 ，则 的度数是( )
A. B.
C. D.
B
（第3题图）
4. 如图， 与 相交于点 ， ， ， ，则 的度数为______.
（第4题图）
5. 一块三角形木板的残余部分如图所示，量得 ， ，则这块三角形木板另外一个角 的度数是______.
6. 若 的一个内角度数是另一个内角的 ，是第三个内角的 ，求这个三角形三个内角的度数.
解：设一个内角的度数是 ，则另一个内角的度数是 ，第三个内角的度数是 .
由三角形内角和定理得 ，
解得 ， ， .
三个内角的度数分别为 ， ， .
7. 如图，在 中， 是 的平分线， 为 上一点，且 于点 .若 ， ，则 的度数为______.
8. 如图，在 中， ， 的平分线相交于点 .
（1） 若 ， ，求 的度数；
平分 ， 平分 ，
， .又 ， ，
， .
.
（2） 若 ，求 的度数.
，
.
又由（1）知 ， ，
.
则 .
9. 已知 中， ， 平分 .
（1） 如图1， 于点 .若 ， ，求 的度数.
解： ， ，
.
平分 ，
.
，
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，
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（2） 如图1，若 中， ， .请根据（1）的结果，大胆猜想 与 ， 的等量关系，不必说明理由.
.
（3） 如图2， ， 为 延长线上任一点，过点F作 于点 .若 ， ，请你运用（2）中的结论，求 的度数.
， ，
.
， ，
.
.
.
完成本课课后习题
谢谢大家欣赏