2024-2025学年人教版八年级数学上册11.2.1 第2课时 直角三角形的内角性质 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
人教版八年级数学上册课件
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
第2课时 直角三角形的内角性质
1．理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余．
2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算或证明．
合作探究
一　直角三角形两锐角的关系
观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？
那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？
探究新知
如图, 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，
由三角形内角和定理，
得∠ A+ ∠ B+ ∠ C = 180°,
即∠ A+ ∠ B+90°=180°,
所以∠ A + ∠ B = 90°
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt △ ABC.
合作探究
二　直角三角形的判定
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，
那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得
出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想
法？
图是A，B，C三岛的平面图， C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北 偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ ABC是多少度？从C岛 看A, B两岛的视角∠ ACB呢？
例2
北
北
C
A
B
D
E
A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠ CAB, ∠ ABC,就能求出∠ ACB.
分析：
解：
∠CAB=∠BAD － ∠CAD=80°－50°=30°.
由 AD//BE，得 ∠ BAD － ∠ ABE=180°.
方法一：
所以
∠ ABE=180° － ∠BAD = 180°－ 80°= 100°,
∠ ABC=∠ ABE － ∠EBC=100° － 40°=60°.
在△ABC中，
∠ ACB =180° － ∠ABC － ∠ CAB
= 180° － 60° － 30°=90°.
从B岛看A, C两岛的视角∠ ABC是
60°, 从C岛看A, B两岛的视
角∠ ACB是90°.
答：
你还能想到其他解法吗？
B
D
C
E
北
A
你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？
1
2
50°
40°
F
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE，
∴ CF∥ BE，
∴∠2＝∠CBE ＝40 °
∴ ∠ACB＝∠1 ＋ ∠2 ＝50 ° ＋ 40 ° ＝90 °
解：
北
方法二：
合作探究
二　直角三角形的判定
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？
假设在△ABC中，∠A＋∠B=90°，
由三角形内角和定理，我们可以得到∠C=180 ° －（ ∠A＋∠B）=90°，
即∠C是直角，那么△ABC是直角三角形.
由三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形．
例3
判断△EFP为直角三角形有两种方法：有一角是
直角或两锐角互余，即要说明∠EPF＝90°或
∠EFP＋∠FEP＝90°.
分析：
∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，
∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)
＝ ×180°＝90°.
∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝90°.
∴△EFP为直角三角形．
解：
例1 如图， ， ，垂足为 .下列结论中错误的是( )
A. 图中有三个直角三角形
B.
C. 和 都是 的余角
D.
B
【点拨】在 中， ， ，由此可判断直角三角形的个数，再根据直角三角形两锐角互余，即可得出答案.
重难点拨
变式 如图，在 中， ， 是 边上的高.若 ，则 的度数为( )
A. B.
C. D.
A
例2 如图，在 中， ， 是 边上一点，且 .求证： 是直角三角形.
【点拨】要证 是直角三角形，可证明 .在 中，已知 ， ，至此易得 是直角三角形.
【证明】 ，
.
，
.
.
.
是直角三角形.
变式 有下列条件：① ，② ，③ ，④ .其中能使 是直角三角形的条件有_________（填序号）.
①②③
1. 在 中， ， ，则 的度数为( )
A. B. C. D.
B
2. 若一个三角形三个内角的度数之比是 ，则此三角形是( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上三种都有可能
A
3. 如图，在 中， ， ， ，则 的度数为 ( )
A. B.
C. D.
C
4. 如图，点 在 的边 的延长线上， 于点E，交 于点F.若 ， ，则 的度数为_______.
5. 如图， 于点 ， 于点C， 与 相交于点 .
（1） 和 有什么数量关系？请说明理由.
解： .
理由： ， ，
， .
.
（2） 若 ，则 和 各是多少度？
，由（1）知 ， ，
，
.
.
6. 如图，在 中， ，点 在 上， .若 ，则 的度数为( )
A. B.
C. D.
D
7. 如图，在 中， ， ， 平分 .
（1） 求 的度数.
解： 中， ， ，
.
又 平分 ，
.
（2） 若 于点 ， ，求证： 是直角三角形.
证明： ， ，
.
又 ，
.
又 ，
.
是直角三角形.
8.（1） 如图1，将一块直角三角板 放置在 上，使三角板 的两条直角边 , 分别经过点 .在 中，若 ，则 _______， ______.
（2） 如图2，在（1）的条件下，改变直角三角板 的位置，使三角板 的两条直角边 , 仍然分别经过点 ， ，其他条件不变，那么 的度数是否会发生变化？若会发生变化，请举例说明；若不会发生变化，请求出 的度数.
解:不会发生变化.
， .
， .
.
完成本课课后的习题
谢谢大家欣赏