12.2 三角形全等的判定
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 用“SAS”证明三角形全等
1.如图,已知△ABC,下面甲、乙、丙、丁四个三角形中,与△ABC全等的是(B)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.如图,已知∠ABC=∠DCB,能直接用“SAS”证明△ABC≌△DCB的条件是(A)
A.AB=DC B.∠A=∠D
C.∠ACB=∠DBC D.AC=DB
3.(2024·遵义期末)如图,已知AB=AD,AC=AE,要使△ABC≌△ADE,则可以添加的条件是(A)
A.∠1=∠2 B.∠B=∠D
C.∠C=∠E D.∠BAD=∠DAC
4.(2023·长春中考)如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA',BB'的中点,只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是(A)
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
D.两点之间线段最短
5.(2023·黔南州长顺县质检)如图,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD.求证:△ABC≌△ADE.
【证明】∵∠1=∠2,
∴∠BAC=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
知识点2 “SAS”的实际应用
6.如图,一块三角形玻璃碎成了Ⅰ,Ⅱ两块,现需购买同样大小的一块三角形玻璃,为方便起见,只需带上第 Ⅰ 块玻璃碎片.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.如图,AD是△ABC的高,AD也是△ABC的中线,则下列结论不一定成立的是(B)
A.AB=AC B.AD=BC
C.∠B=∠C D.∠BAD=∠CAD
8.如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A=(A)
A.50° B.55° C.60° D.65°
9.如图,在△ABC中,AB=12,BC=15,AC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC,则△BDE的周长为 19 .
10.(2024·遵义绥阳县期中)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠CAB=
∠DAE=50°,CD和BE交于点O,则∠COB= 50° .
11.(2023·陕西中考)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°.过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长EA至点D.使AD=AC.在边AC上截取AF=AB,连接DF.求证:DF=CB.
【证明】在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°,
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=110°.
∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°.
∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°,
∴∠DAF=∠CAB.
在△DAF和△CAB中,,
∴△DAF≌△CAB(SAS).
∴DF=CB.
12.(素养提升题)如图,在△ABC中,∠BAC=∠B=60°,AB=AC,点D,E分别是边BC,AB所在直线上的动点,且BD=AE,AD与EC交于点F.
(1)当点D,E在边BC,AB上运动时,∠DFC的度数是否发生变化 若不变,求出其度数,若变化,写出其变化规律;
(2)当点D,E运动到CB,BA的延长线上时,(1)中的结论是否改变 说明理由.
【解析】(1)∠DFC的度数不发生变化.
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE(SAS),∴∠BAD=∠ACE.
∴∠DFC=∠DAC+∠ACE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°.
(2)见全解全析
利用“SAS”证明三角形全等的书写模式
【例】如图,点A,E,F,C在同一条直线上,AD∥BC,AD=CB,AE=CF,
求证:△ADF≌△CBE.
【证明】见全解全析
书写模式:如图,在△ABC和△A'B'C'中,
∵∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
周末小练 适时巩固 请完成 “周周测(二)”12.2 三角形全等的判定
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 应用“SSS”证明两个三角形全等
1.(概念应用题)如图,下列三角形中,与△ABC全等的是( )
A.① B.② C.③ D.④
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB上的点,且AD=BD, AE=BC,DE=DC.则∠AED的度数为( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
3.(2023·云南中考)如图,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.
知识点2 “SSS”的实际应用
4.为稳固电线杆,从A处拉了两根等长的铁丝AC,AD,且C,D到杆脚B的距离相等,则有( )
A.∠1>∠2 B.∠1<∠2
C.∠1=∠2 D.∠1与∠2大小不能确定
5.(2024·贵州期末)如图所示是一个三角形支架,要检查底角大小是否相等,由于不方便测量,小王想了一个办法,在AB,AC上量得BD=CF,在BC上量得E,G为BC的三等分点,同时量得△BDE和△CFG的周长相等,然后小王得出底角相等的结论,他的说法正确吗
知识点3 作一个角等于已知角
6.如图,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了∠AOB=∠NCB,作图痕迹中,弧FG是( )
A.以点C为圆心,OD长为半径的弧
B.以点C为圆心,DM长为半径的弧
C.以点E为圆心,OD长为半径的弧
D.以点E为圆心,DM长为半径的弧
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE,可利用的是( )
A.①或② B.②或③ C.①或③ D.①或④
8.(2024·黔东南模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,按如下步骤操作:①以点A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AC,AB于D,E两点;②以点C为圆心,AD长为半径作弧,交AC的延长线于点F;③以点F为圆心,DE长为半径作弧,交②中所画的弧于点G;④作射线CG,若∠B=40°,则∠FCG为( )
A.40° B.50°
C.60° D.70°
9.如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE,BD与CE相交于点O,则与∠CAB(不包括∠CAB)一定相等的角有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图所示,在△ABC中,AB=BE,AD=DE,∠A=80°,∠C=40°,则∠CDE= .
11.如图,在∠AOB的边OB上有一点C.过点C作CD∥OA(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
12.(素养提升题)(2024·贵阳期末)如图所示,人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述:如图,四边形ABCD中,AD=CD,AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
(1)试猜想筝形的对角线AC与BD有什么位置关系 并用全等三角形的知识证明你的猜想;
(2)过点D作DE∥AB交BC于点E,若BC=10,CE=4,求DE的长.12.2 三角形全等的判定
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 应用“SSS”证明两个三角形全等
1.(概念应用题)如图,下列三角形中,与△ABC全等的是(C)
A.① B.② C.③ D.④
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB上的点,且AD=BD, AE=BC,DE=DC.则∠AED的度数为(D)
A.45° B.60° C.75° D.90°
3.(2023·云南中考)如图,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.
【证明】∵C是BD的中点,
∴BC=DC,
在△ABC和△EDC中,
,
∴△ABC≌△EDC(SSS).
知识点2 “SSS”的实际应用
4.为稳固电线杆,从A处拉了两根等长的铁丝AC,AD,且C,D到杆脚B的距离相等,则有(C)
A.∠1>∠2 B.∠1<∠2
C.∠1=∠2 D.∠1与∠2大小不能确定
5.(2024·贵州期末)如图所示是一个三角形支架,要检查底角大小是否相等,由于不方便测量,小王想了一个办法,在AB,AC上量得BD=CF,在BC上量得E,G为BC的三等分点,同时量得△BDE和△CFG的周长相等,然后小王得出底角相等的结论,他的说法正确吗
【解析】他的说法正确,理由如下:
∵BD=CF,BE=CG,BD+BE+DE=CF+CG+FG,∴DE=FG,
在△BDE和△CFG中,,
∴△BDE≌△CFG(SSS),∴∠B=∠C.
知识点3 作一个角等于已知角
6.如图,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了∠AOB=∠NCB,作图痕迹中,弧FG是(D)
A.以点C为圆心,OD长为半径的弧
B.以点C为圆心,DM长为半径的弧
C.以点E为圆心,OD长为半径的弧
D.以点E为圆心,DM长为半径的弧
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE,可利用的是(A)
A.①或② B.②或③ C.①或③ D.①或④
8.(2024·黔东南模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,按如下步骤操作:①以点A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AC,AB于D,E两点;②以点C为圆心,AD长为半径作弧,交AC的延长线于点F;③以点F为圆心,DE长为半径作弧,交②中所画的弧于点G;④作射线CG,若∠B=40°,则∠FCG为(B)
A.40° B.50°
C.60° D.70°
9.如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE,BD与CE相交于点O,则与∠CAB(不包括∠CAB)一定相等的角有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图所示,在△ABC中,AB=BE,AD=DE,∠A=80°,∠C=40°,则∠CDE= 40° .
11.如图,在∠AOB的边OB上有一点C.过点C作CD∥OA(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
【解析】如图,CD为所作.
12.(素养提升题)(2024·贵阳期末)如图所示,人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述:如图,四边形ABCD中,AD=CD,AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
(1)试猜想筝形的对角线AC与BD有什么位置关系 并用全等三角形的知识证明你的猜想;
(2)过点D作DE∥AB交BC于点E,若BC=10,CE=4,求DE的长.
【解析】(1)BD⊥AC,
证明:在△ABD和△CBD中,,
∴△ABD≌△CBD(SSS),
∴∠ABD=∠CBD,
∵AB=CB,∠ABD=∠CBD,BO=BO,
∴△ABO≌△CBO(SAS),
∴∠AOB=∠COB=90°,∴BD⊥AC.
(2)∵DE∥AB,∴∠EDB=∠ABD,
∵∠ABD=∠CBD,∴∠EDB=∠CBD,
∴DE=BE,∵BC=10,CE=4,
∴BE=BC-CE=10-4=6,∴DE=6.12.2 三角形全等的判定
第3课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 用“ASA”证明两个三角形全等
1.(2024·黔南期末)如图,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要直接通过“ASA”判定△ABC≌△ABD,可补充的一个条件是(A)
A.∠CAB=∠DAB B.∠ACB=∠ADB
C.AC=AD D.BC=BD
2.如图所示,已知点A,F,B,D在同一直线上,∠C=∠E,AC∥DE,AC=DE.求证:BD=AF.
【证明】∵AC∥DE,∴∠A=∠D,
在△ACB和△DEF中,
∴△ACB≌△DEF(ASA),
∴AB=DF,∴BD=AF.
知识点2 用“AAS”证明两个三角形全等
3.(2023·甘孜州中考)如图,AB与CD相交于点O,AC∥BD,只添加一个条件,能判定△AOC≌△BOD的是(B)
A.∠A=∠D B.AO=BO
C.AC=BO D.AB=CD
4.如图,点D在△ABC的一边BC的延长线上,AB∥DE,∠A=∠ECD,CA=CE,若AB=2, DE=5,则BD=(C)
A.5 B.6 C.7 D.8
知识点3 “ASA”与“AAS”的实际应用
5.(2024·遵义绥阳县期中)如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带
去.(C)
A.① B.② C.③ D.①和②
6.王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合,求两堵木墙之间的距离.
【解析】由题意得,AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC,
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴AD=EC=6 cm,DC=BE=14 cm,
∴DE=DC+CE=20 cm.
∴两堵木墙之间的距离为20 cm.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.(2024·黔东南期末)如图,BD是△ABD和△CBD的公共边,下列条件不能判定△ABD≌△CBD的是(B)
A.AB=CB,∠ABD=∠CBD
B.AB=CB,∠ADB=∠CDB
C.AB=CB,AD=CD
D.∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB
8.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,BE与AD交于点F,若AD=BD=5,CD=3,则AF的长为(D)
A.3 B.3.5 C.2.5 D.2
9.如图,OA=OB,点C,点D分别在OA,OB上,BC与AD交于点E,要使△AOD≌
△BOC,则需要添加的一个条件是 OD=OC或∠A=∠B或∠ADO=∠BCO (写出一个即可).
10.如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2 cm,BE=0.5 cm,求DE的长.
【解析】见全解全析
11.(素养提升题)综合与实践:
【问题情境】
如图,池塘的两端有A,B两点,现需要测量该池塘的两端A,B之间的距离,需要如何进行呢
【方案解决】同学们想出了如下的两种方案:
方案①:如图1,先在平地上取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至点D,BC至点E,使DC=AC,EC=BC,最后量出DE的距离就是AB的距离;
方案②:如图2,过点B作AB的垂线BF,在BF上取C,D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,在垂线上选一点E,使A,C,E三点在一条直线上,则测出DE的长即是AB的距离.
问:(1)方案①是否可行 请说明理由;
(2)方案②是否可行 请说明理由.
【解析】(1)方案①可行.理由如下:
在△DCE和△ACB中,
∴△DCE≌△ACB(SAS),∴DE=AB,
∴方案①可行;
(2)方案②可行.理由如下:
∵AB⊥BF,DE⊥BF,
∴∠ABC=∠EDC=90°,
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(ASA),
∴DE=AB,故方案②可行.12.2 三角形全等的判定
第4课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 用“HL”证明两个三角形全等
1.(2024·遵义质检)如图,已知∠BCA=∠BDA=90°,BC=BD.则证明Rt△BAC≌Rt△BAD的理由是( )
A.SAS B.ASA
C.AAS D.HL
2.如图,∠B=∠D=90°,CB=CD,∠1=30°,则∠2=( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
3.(2024·铜仁万山区期中)如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,∠B=∠E=90°, AB=DE,若添加一个条件后,能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF,添加的条件可以是( )
A.BC=EF B.∠BCA=∠F
C.AB∥DE D.AD=CF
知识点2 直角三角形全等的判定方法的综合运用
4.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.一个锐角和斜边对应相等
B.两条直角边对应相等
C.两个锐角对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等
5.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为( )
A. B.4 C.2 D.5
6.如图,AC⊥BC,AD⊥DB,要使△ABC≌△BAD,还需添加条件是 .(只需写出符合条件的一种情况)
7.(一题多解)如图,BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别为E,D,BE=CD.求证:AB=AC.
知识点3 直角三角形全等的判定方法的实际应用
8.为了测量池塘两侧A,B两点间的距离,在地面上找一点C,连接AC,BC,使∠ACB =90°,然后在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,得到△ABC≌△ADC,通过测量AD的长,得AB的长.那么△ABC≌△ADC的理由是( )
A.SAS B.AAS C.ASA D.HL
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.如图,在∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB的依据是( )
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
10.(2023·遵义红花岗区期中)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是经过A点的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,CE=2,BD=6,则DE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
11.(易错警示题)如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有 对全等三角形.
12.(2023·黔西南兴义市期末)如图,在Rt△ABC与Rt△DEF中,∠B=∠E=90°, AC=DF,AB=DE,∠A=50°,则∠DFE= .
13.(素养提升题)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE.
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问:DE,AD,BE具有怎样的等量关系 请写出这个等量关系,并加以证明.
利用“HL”证明三角形全等的书写模式
【例】如图,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证:Rt△ABC≌Rt△DEC.
书写模式:如图,在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中,
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).12.2 三角形全等的判定
第3课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 用“ASA”证明两个三角形全等
1.(2024·黔南期末)如图,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要直接通过“ASA”判定△ABC≌△ABD,可补充的一个条件是( )
A.∠CAB=∠DAB B.∠ACB=∠ADB
C.AC=AD D.BC=BD
2.如图所示,已知点A,F,B,D在同一直线上,∠C=∠E,AC∥DE,AC=DE.求证:BD=AF.
知识点2 用“AAS”证明两个三角形全等
3.(2023·甘孜州中考)如图,AB与CD相交于点O,AC∥BD,只添加一个条件,能判定△AOC≌△BOD的是( )
A.∠A=∠D B.AO=BO
C.AC=BO D.AB=CD
4.如图,点D在△ABC的一边BC的延长线上,AB∥DE,∠A=∠ECD,CA=CE,若AB=2, DE=5,则BD=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
知识点3 “ASA”与“AAS”的实际应用
5.(2024·遵义绥阳县期中)如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带
去.( )
A.① B.② C.③ D.①和②
6.王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合,求两堵木墙之间的距离.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.(2024·黔东南期末)如图,BD是△ABD和△CBD的公共边,下列条件不能判定△ABD≌△CBD的是( )
A.AB=CB,∠ABD=∠CBD
B.AB=CB,∠ADB=∠CDB
C.AB=CB,AD=CD
D.∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB
8.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,BE与AD交于点F,若AD=BD=5,CD=3,则AF的长为( )
A.3 B.3.5 C.2.5 D.2
9.如图,OA=OB,点C,点D分别在OA,OB上,BC与AD交于点E,要使△AOD≌
△BOC,则需要添加的一个条件是 (写出一个即可).
10.如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2 cm,BE=0.5 cm,求DE的长.
11.(素养提升题)综合与实践:
【问题情境】
如图,池塘的两端有A,B两点,现需要测量该池塘的两端A,B之间的距离,需要如何进行呢
【方案解决】同学们想出了如下的两种方案:
方案①:如图1,先在平地上取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至点D,BC至点E,使DC=AC,EC=BC,最后量出DE的距离就是AB的距离;
方案②:如图2,过点B作AB的垂线BF,在BF上取C,D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,在垂线上选一点E,使A,C,E三点在一条直线上,则测出DE的长即是AB的距离.
问:(1)方案①是否可行 请说明理由;
(2)方案②是否可行 请说明理由.12.2 三角形全等的判定
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 用“SAS”证明三角形全等
1.如图,已知△ABC,下面甲、乙、丙、丁四个三角形中,与△ABC全等的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.如图,已知∠ABC=∠DCB,能直接用“SAS”证明△ABC≌△DCB的条件是( )
A.AB=DC B.∠A=∠D
C.∠ACB=∠DBC D.AC=DB
3.(2024·遵义期末)如图,已知AB=AD,AC=AE,要使△ABC≌△ADE,则可以添加的条件是( )
A.∠1=∠2 B.∠B=∠D
C.∠C=∠E D.∠BAD=∠DAC
4.(2023·长春中考)如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA',BB'的中点,只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
D.两点之间线段最短
5.(2023·黔南州长顺县质检)如图,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD.求证:△ABC≌△ADE.
知识点2 “SAS”的实际应用
6.如图,一块三角形玻璃碎成了Ⅰ,Ⅱ两块,现需购买同样大小的一块三角形玻璃,为方便起见,只需带上第 块玻璃碎片.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.如图,AD是△ABC的高,AD也是△ABC的中线,则下列结论不一定成立的是( )
A.AB=AC B.AD=BC
C.∠B=∠C D.∠BAD=∠CAD
8.如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A=( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
9.如图,在△ABC中,AB=12,BC=15,AC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC,则△BDE的周长为 .
10.(2024·遵义绥阳县期中)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠CAB=
∠DAE=50°,CD和BE交于点O,则∠COB= .
11.(2023·陕西中考)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°.过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长EA至点D.使AD=AC.在边AC上截取AF=AB,连接DF.求证:DF=CB.
12.(素养提升题)如图,在△ABC中,∠BAC=∠B=60°,AB=AC,点D,E分别是边BC,AB所在直线上的动点,且BD=AE,AD与EC交于点F.
(1)当点D,E在边BC,AB上运动时,∠DFC的度数是否发生变化 若不变,求出其度数,若变化,写出其变化规律;
(2)当点D,E运动到CB,BA的延长线上时,(1)中的结论是否改变 说明理由.
利用“SAS”证明三角形全等的书写模式
【例】如图,点A,E,F,C在同一条直线上,AD∥BC,AD=CB,AE=CF,
求证:△ADF≌△CBE.
【证明】见全解全析
书写模式:如图,在△ABC和△A'B'C'中,
∵∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).12.2 三角形全等的判定
第4课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 用“HL”证明两个三角形全等
1.(2024·遵义质检)如图,已知∠BCA=∠BDA=90°,BC=BD.则证明Rt△BAC≌Rt△BAD的理由是(D)
A.SAS B.ASA
C.AAS D.HL
2.如图,∠B=∠D=90°,CB=CD,∠1=30°,则∠2=(D)
A.30° B.40° C.50° D.60°
3.(2024·铜仁万山区期中)如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,∠B=∠E=90°, AB=DE,若添加一个条件后,能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF,添加的条件可以是(D)
A.BC=EF B.∠BCA=∠F
C.AB∥DE D.AD=CF
知识点2 直角三角形全等的判定方法的综合运用
4.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是(C)
A.一个锐角和斜边对应相等
B.两条直角边对应相等
C.两个锐角对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等
5.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为(B)
A. B.4 C.2 D.5
6.如图,AC⊥BC,AD⊥DB,要使△ABC≌△BAD,还需添加条件是 AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA .(只需写出符合条件的一种情况)
7.(一题多解)如图,BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别为E,D,BE=CD.求证:AB=AC.
【证明】(方法1:用AAS证明)
∵BE⊥AC,CD⊥AB,
∴∠ADC=∠AEB,
又∵∠A=∠A,BE=CD,
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴AB=AC.
方法2:见全解全析
知识点3 直角三角形全等的判定方法的实际应用
8.为了测量池塘两侧A,B两点间的距离,在地面上找一点C,连接AC,BC,使∠ACB =90°,然后在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,得到△ABC≌△ADC,通过测量AD的长,得AB的长.那么△ABC≌△ADC的理由是(A)
A.SAS B.AAS C.ASA D.HL
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.如图,在∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB的依据是(D)
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
10.(2023·遵义红花岗区期中)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是经过A点的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,CE=2,BD=6,则DE的长为(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
11.(易错警示题)如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有 3 对全等三角形.
12.(2023·黔西南兴义市期末)如图,在Rt△ABC与Rt△DEF中,∠B=∠E=90°, AC=DF,AB=DE,∠A=50°,则∠DFE= 40° .
13.(素养提升题)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE.
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问:DE,AD,BE具有怎样的等量关系 请写出这个等量关系,并加以证明.
【解析】(1) ① ∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
∵∠ADC=∠CEB=90°,AC=BC,
∴△ADC≌△CEB.
②∵△ADC≌△CEB,
∴CE=AD,CD=BE,
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠CBE,又∵AC=BC,
∴△ACD≌△CBE,∴CE=AD,CD=BE,∴DE=CE-CD=AD-BE.
(3)见全解全析
利用“HL”证明三角形全等的书写模式
【例】如图,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证:Rt△ABC≌Rt△DEC.
【解析】见全解全析
书写模式:如图,在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中,
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
