12.3 角的平分线的性质
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 角的平分线的性质
1.如图,AP平分∠BAC,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,且PD=2,则PE=(A)
A.2 B.3 C.4 D.不能确定
2.(2024·毕节七星关区期中)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DE=4,BC=9,则BD的长为(B)
A.6 B.5
C.4 D.3
3.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,∠1=∠2.求证:OB=OC.
【证明】∵CD⊥AB,BE⊥AC,∠1=∠2,
∴OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°,
在△ODB和△OEC中,∠ODB=∠OEC,∠DOB=∠EOC,OD=OE,
∴△ODB≌△OEC(ASA),
∴OB=OC.
知识点2 角的平分线的判定
4.如图,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则P点是(D)
A.线段CD的中点
B.OA与∠CDB的平分线的交点
C.OB与∠DCA的平分线的交点
D.CD与∠AOB的平分线的交点
知识点3 用尺规作已知角的平分线及证明
5.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”,要根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程,下面是小明同学根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证.
已知:如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上, ,
求证: .
请你补全已知和求证,并写出证明过程.
【解析】答案:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E PD=PE
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°,
在△PDO和△PEO中,,
∴△PDO≌△PEO(AAS),
∴PD=PE.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=6,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为(B)
A.4 B.6 C.3 D.12
7.(2024·安顺期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点D,E,再分别以点D,E为圆心,以大于DE的长度为半径作弧,两弧交于点F,作射线AF交BC于点G,若AB=12,CG=3,则△ABG的面积是(B)
A.12 B.18 C.24 D.36
8.(生活情境题)如图,直线a,b,c表示三条公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
9.(2024·贵州期末)如图,已知AB∥CD,射线AE平分∠BAC,过点E作EH⊥AC于点H,作EF⊥AB于点F,并延长FE交CD于点G,连接CE,若∠AEC=90°,EH=1,则FG的长度为 2 .
10.(教材再开发·P52练习T7变式)如图,CB=CD,∠D+∠ABC=180°,CE⊥AD于E.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若AE=10,DE=4,求AB的长.
【解析】见全解全析
角平分线图形结构中的位置及数量关系
如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F.
可以得到以下结论:
(1)角之间的相等关系:∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF;
∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;
∠DPO=∠EPO=∠ODF=∠OEF.
(2)线段的相等关系:OD=OE,DP=EP,DF=EF.
(3)位置关系:OP⊥DE.
周末小练 适时巩固 请完成 “周周测(三)”12.3 角的平分线的性质
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 角的平分线的性质
1.如图,AP平分∠BAC,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,且PD=2,则PE=( )
A.2 B.3 C.4 D.不能确定
2.(2024·毕节七星关区期中)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DE=4,BC=9,则BD的长为( )
A.6 B.5
C.4 D.3
3.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,∠1=∠2.求证:OB=OC.
知识点2 角的平分线的判定
4.如图,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则P点是( )
A.线段CD的中点
B.OA与∠CDB的平分线的交点
C.OB与∠DCA的平分线的交点
D.CD与∠AOB的平分线的交点
知识点3 用尺规作已知角的平分线及证明
5.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”,要根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程,下面是小明同学根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证.
已知:如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上, ,
求证: .
请你补全已知和求证,并写出证明过程.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=6,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为( )
A.4 B.6 C.3 D.12
7.(2024·安顺期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点D,E,再分别以点D,E为圆心,以大于DE的长度为半径作弧,两弧交于点F,作射线AF交BC于点G,若AB=12,CG=3,则△ABG的面积是( )
A.12 B.18 C.24 D.36
8.(生活情境题)如图,直线a,b,c表示三条公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
9.(2024·贵州期末)如图,已知AB∥CD,射线AE平分∠BAC,过点E作EH⊥AC于点H,作EF⊥AB于点F,并延长FE交CD于点G,连接CE,若∠AEC=90°,EH=1,则FG的长度为 .
10.(教材再开发·P52练习T7变式)如图,CB=CD,∠D+∠ABC=180°,CE⊥AD于E.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若AE=10,DE=4,求AB的长.
角平分线图形结构中的位置及数量关系
如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F.
可以得到以下结论:
(1)角之间的相等关系:∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF;
∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;
∠DPO=∠EPO=∠ODF=∠OEF.
(2)线段的相等关系:OD=OE,DP=EP,DF=EF.
(3)位置关系:OP⊥DE.
