第十二章 全等三角形
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
1.下列图形是全等图形的是( )
2.(2024·遵义红花岗区期中)若△ABC≌△DEF,则根据图中提供的信息,可得出x的值为( )
A.30 B.27 C.35 D.40
3.如图,OD平分∠AOB,DE⊥AO于点E,DE=4.2,F是射线OB上的任一点,则DF的长度不可能是( )
A.3.9 B.4.2 C.4.7 D.5.84
4.(2024·遵义播州区期末)数学活动课上,小星制作了一个燕尾形的风筝.如图,AD=CD,∠ADB=∠CDB,他准备用刻度尺量AB和BC的长是否相等.
小英却说:“不用再测量,因为△ABD≌△CBD,所以AB=BC.”
小英用到的判定三角形全等的方法是( )
A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA
5.(2024·贵州一模)如图,在△ABC和△BAD中,AC=BD,BC=AD,在不添加任何辅助线的条件下,可判断△ABC≌△BAD.判断这两个三角形全等的依据是( )
A.ASA B.AAS C.SSS D.SAS
6.如图,下列四个条件,可以确定△ABC与△A1B1C1全等的是( )
A.BC=B1C1,AC=A1C1,∠A=∠A1
B.∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1
C.AB=A1B1,∠C=∠C1,BC=B1C1
D.AB=A1B1,∠A=A1,∠C=∠C1
7.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是正方形,点A的坐标为(1,0),B点的坐标为(-1,4),点D在第一象限,则点C的坐标为( )
A.(3,6) B.(4,6) C.(4,5) D.(5,2)
8.如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等,
∠A=50°,则∠BOC=( )
A.95° B.115° C.125° D.130°
9.如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF交于点D,则下列结论中不正确的是( )
A.△ABE≌△ACF B.点D在∠BAC的平分线上
C.△BDF≌△CDE D.点D是BE的中点
10.如图,已知AB=AD,BC=DE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,则∠EGF的度数为( )
A.120° B.135° C.115° D.125°
11.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC =90°.爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是( )
A.1 m B.1.6 m C.1.8 m D.1.4 m
12.如图,已知AC平分∠DAB,CE⊥AB于E,AB=AD+2BE,则下列结论:
①AB+AD=2AE;②∠DAB+∠DCB=180°;③CD=CB;④-2=.
其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·遵义红花岗区期中)如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,有下列条件:①∠A=∠D;②BC=EF;③∠ACB=∠F;④AC=DF.添加一个条件后能证明△ABC≌△DEF,这个条件不可以是 .(填序号)
14.已知△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-5,0),C(-1,0).若△DBC与△ABC全等,则D点的坐标为 .
15.如图,OP平分∠AOB,PM⊥OA于M,点D在OB上,DH⊥OP于H.若OD=4,
OP=7,PM=3,则DH的长为 .
16.(2023·贵阳期中)如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=3 cm,BC=9 cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1 cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动 秒时,△BCA与以点P,N,B为顶点的三角形全等.
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图,已知∠AOB及直线MN,在直线MN上求作一点P,使点P到OA,OB的距离相等(不写作法,保留作图痕迹).
18.(10分)(2023·泸州中考)如图,点B在线段AC上,BD∥CE,AB=EC,DB=BC.求证:AD=EB.
19.(10分)如图,点A,E,F,B在直线l上,AE=BF,AC∥BD,且AC=BD,求证:CF=DE.
20.(10分)(2023·衢州中考)已知:如图,在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同一条直线上.下面四个条件:
①AB=DE;②AC=DF;③BE=CF;④∠ABC=∠DEF.
(1)请选择其中的三个条件,使得△ABC≌△DEF(写出一种情况即可).
(2)在(1)的条件下,求证:△ABC≌△DEF.
21.(10分)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且满足BE=CD,∠1=∠2,求证:AB=AC.
22.(12分)数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度(该段河流两岸是平行的),在数学老师带领下他们是这样做的:
①在河流的一条岸边点B,选对岸正对的一棵树A为参照点;
②沿河岸直走10 m有一棵树C,继续前行10 m到达D处;
③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走;
④测得DE的长为4.5 m.
(1)河流的宽度为 m;
(2)请你说明他们做法的正确性.
23.(12分)(2024·六盘水钟山区期末)如图,在△ABC中,D是AC边的中点,点E在BD上,点F在BD延长线上,连接AE,CF,且AE∥CF.
(1)求证:△ADE≌△CDF;
(2)若BF=15,DE=,延长BF至点M,当FM为多少时,AB∥CM.请补全图形并说明理由.
24.(12分)如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且AO平分∠BAC.
(1)求证:CO平分∠ACD;
(2)求证:OA⊥OC;
(3)求证:AB+CD=AC.
25.(12分)(1)如图①,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF.
(2)如图②,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F都在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF.
(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,求△ACF与△BDE的面积之和.第十二章 全等三角形
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
1.下列图形是全等图形的是(B)
2.(2024·遵义红花岗区期中)若△ABC≌△DEF,则根据图中提供的信息,可得出x的值为(A)
A.30 B.27 C.35 D.40
3.如图,OD平分∠AOB,DE⊥AO于点E,DE=4.2,F是射线OB上的任一点,则DF的长度不可能是(A)
A.3.9 B.4.2 C.4.7 D.5.84
4.(2024·遵义播州区期末)数学活动课上,小星制作了一个燕尾形的风筝.如图,AD=CD,∠ADB=∠CDB,他准备用刻度尺量AB和BC的长是否相等.
小英却说:“不用再测量,因为△ABD≌△CBD,所以AB=BC.”
小英用到的判定三角形全等的方法是(A)
A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA
5.(2024·贵州一模)如图,在△ABC和△BAD中,AC=BD,BC=AD,在不添加任何辅助线的条件下,可判断△ABC≌△BAD.判断这两个三角形全等的依据是(C)
A.ASA B.AAS C.SSS D.SAS
6.如图,下列四个条件,可以确定△ABC与△A1B1C1全等的是(D)
A.BC=B1C1,AC=A1C1,∠A=∠A1
B.∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1
C.AB=A1B1,∠C=∠C1,BC=B1C1
D.AB=A1B1,∠A=A1,∠C=∠C1
7.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是正方形,点A的坐标为(1,0),B点的坐标为(-1,4),点D在第一象限,则点C的坐标为(A)
A.(3,6) B.(4,6) C.(4,5) D.(5,2)
8.如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等,
∠A=50°,则∠BOC=(B)
A.95° B.115° C.125° D.130°
9.如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF交于点D,则下列结论中不正确的是(D)
A.△ABE≌△ACF B.点D在∠BAC的平分线上
C.△BDF≌△CDE D.点D是BE的中点
10.如图,已知AB=AD,BC=DE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,则∠EGF的度数为(C)
A.120° B.135° C.115° D.125°
11.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC =90°.爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是(D)
A.1 m B.1.6 m C.1.8 m D.1.4 m
12.如图,已知AC平分∠DAB,CE⊥AB于E,AB=AD+2BE,则下列结论:
①AB+AD=2AE;②∠DAB+∠DCB=180°;③CD=CB;④-2=.
其中正确结论的个数是(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·遵义红花岗区期中)如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,有下列条件:①∠A=∠D;②BC=EF;③∠ACB=∠F;④AC=DF.添加一个条件后能证明△ABC≌△DEF,这个条件不可以是 ④ .(填序号)
14.已知△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-5,0),C(-1,0).若△DBC与△ABC全等,则D点的坐标为 (-4,3)或(-2,-3)或(-4,-3) .
15.如图,OP平分∠AOB,PM⊥OA于M,点D在OB上,DH⊥OP于H.若OD=4,
OP=7,PM=3,则DH的长为 .
16.(2023·贵阳期中)如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=3 cm,BC=9 cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1 cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动 0或6或12或18 秒时,△BCA与以点P,N,B为顶点的三角形全等.
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图,已知∠AOB及直线MN,在直线MN上求作一点P,使点P到OA,OB的距离相等(不写作法,保留作图痕迹).
【解析】如图,点P即为所求作的点
18.(10分)(2023·泸州中考)如图,点B在线段AC上,BD∥CE,AB=EC,DB=BC.求证:AD=EB.
【证明】∵BD∥CE,∴∠ABD=∠C,
在△ABD和△ECB中,
∴△ABD≌△ECB(SAS),∴AD=EB.
19.(10分)如图,点A,E,F,B在直线l上,AE=BF,AC∥BD,且AC=BD,求证:CF=DE.
【证明】∵AE=BF,∴AE+EF=BF+EF,即AF=BE,
∵AC∥BD,∴∠CAF=∠DBE,
在△ACF和△BDE中,
∴△ACF≌△BDE(SAS),∴CF=DE.
20.(10分)(2023·衢州中考)已知:如图,在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同一条直线上.下面四个条件:
①AB=DE;②AC=DF;③BE=CF;④∠ABC=∠DEF.
(1)请选择其中的三个条件,使得△ABC≌△DEF(写出一种情况即可).
(2)在(1)的条件下,求证:△ABC≌△DEF.
【解析】(1)由题知,选择的三个条件是①②③;
或者选择的三个条件是①③④.
(2)当选择①②③时,
∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
当选择①③④时,
∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
21.(10分)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且满足BE=CD,∠1=∠2,求证:AB=AC.
【证明】∵∠1=∠2,
∴∠A+∠ACD=∠A+∠ABE,∴∠ACD=∠ABE,
在△ABE和△ACD中,,
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴AB=AC.
22.(12分)数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度(该段河流两岸是平行的),在数学老师带领下他们是这样做的:
①在河流的一条岸边点B,选对岸正对的一棵树A为参照点;
②沿河岸直走10 m有一棵树C,继续前行10 m到达D处;
③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走;
④测得DE的长为4.5 m.
(1)河流的宽度为 m;
(2)请你说明他们做法的正确性.
【解析】(1)河流的宽度为4.5 m.
答案:4.5
(2)如题图,由做法知:AB⊥BD,ED⊥BD,BC=DC=10 m,
∴∠ABC=∠EDC=90°.
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(ASA),∴AB=ED=4.5 m,
即他们的做法是正确的.
23.(12分)(2024·六盘水钟山区期末)如图,在△ABC中,D是AC边的中点,点E在BD上,点F在BD延长线上,连接AE,CF,且AE∥CF.
(1)求证:△ADE≌△CDF;
(2)若BF=15,DE=,延长BF至点M,当FM为多少时,AB∥CM.请补全图形并说明理由.
【解析】(1)∵D是AC边的中点,∴AD=CD,
又AE∥CF,∴∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD,
在△ADE和△CDF中,,
∴△ADE≌△CDF(AAS);
(2)当FM=6时,AB∥CM.
理由:延长BF至点M,连接CM.
由(1)得△ADE≌△CDF,∴AD=CD,DF=DE=,
∴BE=15-×2=6=FM,∴BD=DM,
又∵∠ADE=∠FDC,∴△ADB≌△CDM(SAS),
∴∠ABD=∠CMD,∴AB∥CM.
24.(12分)如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且AO平分∠BAC.
(1)求证:CO平分∠ACD;
(2)求证:OA⊥OC;
(3)求证:AB+CD=AC.
【解析】见全解全析
25.(12分)(1)如图①,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF.
(2)如图②,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F都在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF.
(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,求△ACF与△BDE的面积之和.
【解析】见全解全析
