13.1.2 线段的垂直平分线的性质
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1.(2024·贵阳息烽县模拟)如图,OC是线段AB的垂直平分线,则下列结论一定正确的是(B)
A.AC=AO B.AC=BC
C.AC=OC D.OC=OA
2.(2023·青海中考)如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则△ABD的周长是 13 .
知识点2 线段垂直平分线的判定
3.如图,点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在线段(B)
A.AB的垂直平分线上
B.AC的垂直平分线上
C.BC的垂直平分线上
D.不能确定
知识点3 线段垂直平分线的作法
4.如图,在△ABC中,AB=8 cm.
(1)请你在图中作线段AB的垂直平分线DE,交AB于点D,交AC于点E(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接BE,若△BCE的周长为12 cm,求△ABC的周长.
【解析】(1)如图,DE为所作;
(2)∵DE垂直平分AB,
∴EB=EA,
∵△BCE的周长为12,
∴BE+BC+CE=12,
∴AE+CE+BC=12,
即AC+BC=12,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=8+12=20(cm).
知识点4 作对称轴
5.(教材再开发·P64练习T1改编)如图,先找出下列各图形中的轴对称图形,再画出它们的对称轴(有几条画几条).
【解析】(1)不是轴对称图形,没有对称轴.
(2)(3)(4)(5)是轴对称图形,对称轴如图所示:
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线交于点O,且OA=4,则OC的长为(B)
A.5 B.4 C.3 D.2
7.如图,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口,尽快抓住老鼠,应该蹲在(D)
A.△ABC三条角平分线的交点
B.△ABC三条边的中线的交点
C.△ABC三条高的交点
D.△ABC三条边的垂直平分线的交点
8.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,EF垂直平分AC,交BC于点E,交AC于点F,连接AE,若BD=DE,△ABC的周长为16,AF=3,则DC的长为(B)
A.4 B.5 C.6 D.7
9.(2023·铜仁德江县期末)如图,D是线段AC,AB的垂直平分线的交点,若∠CAD =32°,∠ABD=28°,则∠BCD的大小是(C)
A.32° B.28° C.30° D.60°
10.如图,在△ABC中,边BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,连接CE.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为
6 .
11.(素养提升题)如图,已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC交于点G.求证:
(1)BF=CG;
(2)AF=(AB+AC).
【证明】(1)连接BE和CE,
∵DE是BC的垂直平分线,∴BE=CE,
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,
∴∠BFE=∠EGC=90°,EF=EG,
在Rt△BFE和Rt△CGE中
∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL),∴BF=CG;
(2)见全解全析
模型 线段垂直平分线性质的应用模型
在△ABC中,AB的中垂线DE交AC于F,垂足为D,若AC=6,BC=4,求△BCF的周长.
【解析】∵AB的中垂线DE交AC于F,
∴AF=BF.
又∵AC=6,BC=4,
∴△BCF的周长=BC+CF+FB=BC+CF+FA=BC+AC=10.
应用模型:
如图,∵直线l⊥AB,垂足为点C,且AC=BC,点P在直线l上,∴PA=PB.13.1.2 线段的垂直平分线的性质
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1.(2024·贵阳息烽县模拟)如图,OC是线段AB的垂直平分线,则下列结论一定正确的是( )
A.AC=AO B.AC=BC
C.AC=OC D.OC=OA
2.(2023·青海中考)如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则△ABD的周长是 .
知识点2 线段垂直平分线的判定
3.如图,点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在线段( )
A.AB的垂直平分线上
B.AC的垂直平分线上
C.BC的垂直平分线上
D.不能确定
知识点3 线段垂直平分线的作法
4.如图,在△ABC中,AB=8 cm.
(1)请你在图中作线段AB的垂直平分线DE,交AB于点D,交AC于点E(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接BE,若△BCE的周长为12 cm,求△ABC的周长.
知识点4 作对称轴
5.(教材再开发·P64练习T1改编)如图,先找出下列各图形中的轴对称图形,再画出它们的对称轴(有几条画几条).
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线交于点O,且OA=4,则OC的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
7.如图,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口,尽快抓住老鼠,应该蹲在( )
A.△ABC三条角平分线的交点
B.△ABC三条边的中线的交点
C.△ABC三条高的交点
D.△ABC三条边的垂直平分线的交点
8.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,EF垂直平分AC,交BC于点E,交AC于点F,连接AE,若BD=DE,△ABC的周长为16,AF=3,则DC的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
9.(2023·铜仁德江县期末)如图,D是线段AC,AB的垂直平分线的交点,若∠CAD =32°,∠ABD=28°,则∠BCD的大小是( )
A.32° B.28° C.30° D.60°
10.如图,在△ABC中,边BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,连接CE.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为
.
11.(素养提升题)如图,已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC交于点G.求证:
(1)BF=CG;
(2)AF=(AB+AC).
模型 线段垂直平分线性质的应用模型
在△ABC中,AB的中垂线DE交AC于F,垂足为D,若AC=6,BC=4,求△BCF的周长.
应用模型:
如图,∵直线l⊥AB,垂足为点C,且AC=BC,点P在直线l上,∴PA=PB.
