13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 等腰三角形的性质1
1.(2023·宿迁中考)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是( )
A.70° B.45° C.35° D.50°
2.(2023·眉山中考)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
3.若等腰三角形的一个内角是50°,则这个等腰三角形的其他内角的度数为( )
A.50°,80°
B.65°,65°
C.50°,80°或65°,65°
D.以上都不对
4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,交AC于点D.则∠DBC=
,∠BDC= .
知识点2 等腰三角形的性质2
5.如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于( )
A.10 B.5 C.4 D.3
6.(2023·遵义汇川区期中)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是( )
A.∠B=∠C B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
7.(教材再开发·P82习题13.3第6题改编)如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠BCA,点D,E在BC边上,且PD∥AB,PE∥AC.求证:△PDE的周长等于BC.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,∠B=25°,则∠CAD的度数为( )
A.55° B.65° C.75° D.85°
9.(2024·遵义绥阳县期中)在等腰△ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分,则这个等腰三角形的底边长为( )
A.7 B.7或11
C.11 D.7或10
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D点,点E,F分别是AD的三等分点,若△ABC的面积为24 cm2,则图中阴影部分的面积为 cm2.
11.(2024·遵义绥阳县期末)在△ABC中,AB=AD=CD,且∠C=40°,则∠BAD的度数为 .
12.(易错警示题)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则这个等腰三角形的一个底角的度数为 .
13.如图,在△ABA1中,∠B=28°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得A1A2=A1C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,依次进行下去,
∠A1A2C的度数为 ;以An为顶点的锐角的度数为 .
14.(素养提升题)(2024·黔南长顺县质检)如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:∠ABF=∠ACF;
(2)若∠BAC=48°,求∠CFE的度数.
模型 等腰三角形“等边对等角”性质的应用模型
如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,求∠B的度数.
应用模型:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.13.3.1 等腰三角形
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 等腰三角形的判定
1.(2024·保定期中)在下面的三角形中,不可能是等腰三角形的是( )
A.有两个内角分别为70°,55°的三角形
B.有一个外角为100°,一个内角为50°的三角形
C.有一个外角为100°,一个内角为80°的三角形
D.有两个内角分别为110°和40°的三角形
2.如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,且AD∥BC,则△ABC一定是( )
A.任意三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
3.如图所示,共有等腰三角形( )
A.4个 B.5个 C.3个 D.2个
4.(教材再开发·P79练习T2改编)如图,已知长方形ABCD,把△ABC沿对角线AC折叠,交AD于点F,则△AFC是一个 三角形.
5.(2023·黔西南兴义市期末)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,过点D作DE⊥BC于点E,延长ED和CA相交于点F,求证:△ADF是等腰三角形.
知识点2 等腰三角形的性质与判定的综合运用
6.如图,AD为△ABC的角平分线,DE∥AB交AC于点E.若AC=6 cm,EC=4 cm,则DE= cm.
7.(2023·铜仁沿河县期末)上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°,求从海岛B到灯塔C的距离.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.如图,在下列三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A.(1)(2)(3) B.(1)(2)
C.(2)(3) D.(1)(3)
9.(教材再开发·P83T10变式)如图,已知在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F的直线DE交AB于点D,交AC于点E,且AB=10,BC=8,∠ABC=50°,∠ACB=80°,∠CBF=∠BFD.有下列结论:①DF∥BC;②△CEF是等腰三角形;
③△ADE的周长是18;④BF=CF;⑤∠BFC=105°;⑥DE=BD+CE.其中正确的有( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
10.在△ABC中,与∠A相邻的外角是110°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B的度数是( )
A.70° B.55°
C.70°或55° D.70°或55°或40°
11.如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为 .
12.(素养提升题)如图,在△ABC中,∠ACB的平分线交AB于点D,∠ADC的平分线交AC于点E,DE∥BC.
(1)证明:△DBC是等腰三角形;
(2)若BC=2CE,求∠ADE的度数.
模型 构造等腰三角形的方法
(1)“角平分线+平行线”构造等腰三角形,如图1,B,D分别在AC,CE上,AD是∠CAE的平分线,BD∥AE,则AB=BD.
图1
(2)“角平分线+垂线”构造等腰三角形,如图2,若∠BAD=∠CAD,AD⊥BC,则AB=AC.
图2
(3)应用“垂直平分线”构造等腰三角形.
如图3,若AD⊥BC,BD=CD,则AB=AC.
图3
(4)用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形.
如图4,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中的等腰三角形是△ABC(或△BDC或△DAB).
图413.3.1 等腰三角形
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 等腰三角形的判定
1.(2024·保定期中)在下面的三角形中,不可能是等腰三角形的是(D)
A.有两个内角分别为70°,55°的三角形
B.有一个外角为100°,一个内角为50°的三角形
C.有一个外角为100°,一个内角为80°的三角形
D.有两个内角分别为110°和40°的三角形
2.如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,且AD∥BC,则△ABC一定是(C)
A.任意三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
3.如图所示,共有等腰三角形(B)
A.4个 B.5个 C.3个 D.2个
4.(教材再开发·P79练习T2改编)如图,已知长方形ABCD,把△ABC沿对角线AC折叠,交AD于点F,则△AFC是一个 等腰 三角形.
5.(2023·黔西南兴义市期末)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,过点D作DE⊥BC于点E,延长ED和CA相交于点F,求证:△ADF是等腰三角形.
【证明】∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵FE⊥BC,
∴∠F+∠C=90°,∠2+∠B=90°,
∴∠F=∠2,
∵∠2=∠1,∴∠F=∠1,
∴AF=AD,∴△ADF是等腰三角形.
知识点2 等腰三角形的性质与判定的综合运用
6.如图,AD为△ABC的角平分线,DE∥AB交AC于点E.若AC=6 cm,EC=4 cm,则DE= 2 cm.
7.(2023·铜仁沿河县期末)上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°,求从海岛B到灯塔C的距离.
【解析】根据题意得,AB=2×15=30(海里),
∵∠NAC=42°,∠NBC=84°,
∴∠C=∠NBC-∠NAC=42°,
∴∠C=∠NAC,
∴BC=AB=30海里.
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.如图,在下列三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(D)
A.(1)(2)(3) B.(1)(2)
C.(2)(3) D.(1)(3)
9.(教材再开发·P83T10变式)如图,已知在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F的直线DE交AB于点D,交AC于点E,且AB=10,BC=8,∠ABC=50°,∠ACB=80°,∠CBF=∠BFD.有下列结论:①DF∥BC;②△CEF是等腰三角形;
③△ADE的周长是18;④BF=CF;⑤∠BFC=105°;⑥DE=BD+CE.其中正确的有(B)
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
10.在△ABC中,与∠A相邻的外角是110°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B的度数是(D)
A.70° B.55°
C.70°或55° D.70°或55°或40°
11.如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为 120°或75°或30° .
12.(素养提升题)如图,在△ABC中,∠ACB的平分线交AB于点D,∠ADC的平分线交AC于点E,DE∥BC.
(1)证明:△DBC是等腰三角形;
(2)若BC=2CE,求∠ADE的度数.
【解析】(1)∵CD平分∠ACB,ED平分∠ADC,
∴∠DCB=∠ECD,∠ADE=∠CDE.
∵DE∥BC,∴∠DCB=∠CDE,∠ADE=∠B,
∴∠DCB=∠B,∴DB=DC,∴△DBC是等腰三角形;
(2)见全解全析
模型 构造等腰三角形的方法
(1)“角平分线+平行线”构造等腰三角形,如图1,B,D分别在AC,CE上,AD是∠CAE的平分线,BD∥AE,则AB=BD.
图1
(2)“角平分线+垂线”构造等腰三角形,如图2,若∠BAD=∠CAD,AD⊥BC,则AB=AC.
图2
(3)应用“垂直平分线”构造等腰三角形.
如图3,若AD⊥BC,BD=CD,则AB=AC.
图3
(4)用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形.
如图4,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中的等腰三角形是△ABC(或△BDC或△DAB).
图413.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 等腰三角形的性质1
1.(2023·宿迁中考)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是(C)
A.70° B.45° C.35° D.50°
2.(2023·眉山中考)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为(C)
A.70° B.100° C.110° D.140°
3.若等腰三角形的一个内角是50°,则这个等腰三角形的其他内角的度数为(C)
A.50°,80°
B.65°,65°
C.50°,80°或65°,65°
D.以上都不对
4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,交AC于点D.则∠DBC=
36° ,∠BDC= 72° .
知识点2 等腰三角形的性质2
5.如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于(B)
A.10 B.5 C.4 D.3
6.(2023·遵义汇川区期中)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是(D)
A.∠B=∠C B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
7.(教材再开发·P82习题13.3第6题改编)如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠BCA,点D,E在BC边上,且PD∥AB,PE∥AC.求证:△PDE的周长等于BC.
【证明】∵BP平分∠ABC,CP平分∠BCA,
∴∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE,
又∵PD∥AB,PE∥AC,
∴∠ABP=∠BPD,∠ACP=∠CPE,
∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE,
∴BD=PD,CE=PE,
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,∠B=25°,则∠CAD的度数为(B)
A.55° B.65° C.75° D.85°
9.(2024·遵义绥阳县期中)在等腰△ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分,则这个等腰三角形的底边长为(B)
A.7 B.7或11
C.11 D.7或10
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D点,点E,F分别是AD的三等分点,若△ABC的面积为24 cm2,则图中阴影部分的面积为 12 cm2.
11.(2024·遵义绥阳县期末)在△ABC中,AB=AD=CD,且∠C=40°,则∠BAD的度数为 20° .
12.(易错警示题)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则这个等腰三角形的一个底角的度数为 20°或70° .
13.如图,在△ABA1中,∠B=28°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得A1A2=A1C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,依次进行下去,
∠A1A2C的度数为 38° ;以An为顶点的锐角的度数为 .
14.(素养提升题)(2024·黔南长顺县质检)如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:∠ABF=∠ACF;
(2)若∠BAC=48°,求∠CFE的度数.
【解析】(1)∵AD⊥BC,AB=AC,
∴CD=BD,∠ABC=∠ACB,
∴BF=CF,
∴∠CBF=∠BCF,
∴∠ABC-∠CBF=∠ACB-∠BCF,
∴∠ABF=∠ACF;
(2)∵AB=AC,∠BAC=48°,
∴∠ABC=∠ACB=66°,
∵BE⊥AC,
∴∠ABF=90°-∠BAC=42°,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=24°,
由(1)得:∠CBF=∠BCF,
∴∠CBF=∠BCF=24°,
∴∠CFE=∠CBF+∠BCF=48°.
模型 等腰三角形“等边对等角”性质的应用模型
如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,求∠B的度数.
【解析】见全解全析
应用模型:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.
