13.3.2 等边三角形
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 等边三角形的性质
1.如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为(D)
A.25° B.60° C.85° D.95°
2.(2023·黔东南剑河县期中)如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,AB=6,则DC的长为
3 .
知识点2 等边三角形的判定
3.(2023·毕节威宁县期末)下列条件中,不能得到等边三角形的是(B)
A.有两个角等于60°的三角形
B.一边上的中线也是这条边上的高的三角形
C.有一个角等于60°的等腰三角形
D.三个外角都相等的三角形
4.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且DE=DF.
求证:(1)∠B=∠C;
(2)△ABC是等边三角形.
【证明】(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C;
(2)∵D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴AD=CD,∠AED=∠CFD=90°,
在Rt△AED和Rt△CFD中,,
∴Rt△AED≌Rt△CFD(HL),
∴∠A=∠C,
由(1)知,∠B=∠C,
∴∠A=∠B=∠C,
∴△ABC是等边三角形.
5.如图,点D在线段BC上,∠B=∠C=∠ADE=60°,AB=DC.求证:△ADE为等边三角形.
【解析】见全解全析
知识点3 含30°角的直角三角形的性质
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=3,则AB的长为(D)
A. B.1
C.3 D.6
7.(2024·贵阳期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E.若CE=2,则AE的长是(A)
A.4 B.4 C.3 D.2
8.有一轮船由东向西航行,在A处测得西偏北15°有一灯塔P.继续航行20海里后到B处,又测得灯塔P在西偏北30°.如果轮船航向不变,则灯塔与船之间的最近距离是 10 海里.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于(A)
A.15° B.30° C.45° D.60°
10.(2023·贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是(B)
A.4 m B.6 m
C.10 m D.12 m
11.如图,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=38°,则∠β=(A)
A.22° B.17° C.27° D.32°
12.(生活情境题)某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要(B)
A.300a元 B.150a元
C.450a元 D.225a元
13.(2023·江西中考)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为 2 cm.
14.(素养提升题)如图,已知△ABC和△CDE均为等边三角形,且点B,C,D在同一条直线上,连接AD,BE,交CE和AC分别于G,H点,连接GH.
(1)试证明AD=BE;
(2)试证明△BCH≌△ACG;
(3)试猜想:△CGH是什么特殊的三角形,并加以说明.
【解析】(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形,
∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°.
∴∠ACD=∠ECB,∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
(2)∵△ACD≌△BCE,∴∠CBH=∠CAG.
∵∠ACB=∠ECD=60°,点B,C,D在同一条直线上,∴∠ACB=∠ECD=∠ACG=60°.
又∵AC=BC,∴△ACG≌△BCH.
(3)△CGH是等边三角形,理由如下:
∵△ACG≌△BCH,∴CG=CH,
又∵∠ACG=60°,
∴△CGH是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形).
模型 等边三角形判定定理1的应用模型
如图,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC,AE⊥AB.求证:△ADE是等边三角形.
【解析】见全解全析
应用模型:
在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C,∴AB=BC=CA.
周末小练 适时巩固 请完成 “周周测(五)”13.3.2 等边三角形
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 等边三角形的性质
1.如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为( )
A.25° B.60° C.85° D.95°
2.(2023·黔东南剑河县期中)如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,AB=6,则DC的长为
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知识点2 等边三角形的判定
3.(2023·毕节威宁县期末)下列条件中,不能得到等边三角形的是( )
A.有两个角等于60°的三角形
B.一边上的中线也是这条边上的高的三角形
C.有一个角等于60°的等腰三角形
D.三个外角都相等的三角形
4.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且DE=DF.
求证:(1)∠B=∠C;
(2)△ABC是等边三角形.
5.如图,点D在线段BC上,∠B=∠C=∠ADE=60°,AB=DC.求证:△ADE为等边三角形.
知识点3 含30°角的直角三角形的性质
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=3,则AB的长为( )
A. B.1
C.3 D.6
7.(2024·贵阳期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E.若CE=2,则AE的长是( )
A.4 B.4 C.3 D.2
8.有一轮船由东向西航行,在A处测得西偏北15°有一灯塔P.继续航行20海里后到B处,又测得灯塔P在西偏北30°.如果轮船航向不变,则灯塔与船之间的最近距离是 海里.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
10.(2023·贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是( )
A.4 m B.6 m
C.10 m D.12 m
11.如图,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=38°,则∠β=( )
A.22° B.17° C.27° D.32°
12.(生活情境题)某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要( )
A.300a元 B.150a元
C.450a元 D.225a元
13.(2023·江西中考)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为 cm.
14.(素养提升题)如图,已知△ABC和△CDE均为等边三角形,且点B,C,D在同一条直线上,连接AD,BE,交CE和AC分别于G,H点,连接GH.
(1)试证明AD=BE;
(2)试证明△BCH≌△ACG;
(3)试猜想:△CGH是什么特殊的三角形,并加以说明.
模型 等边三角形判定定理1的应用模型
如图,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC,AE⊥AB.求证:△ADE是等边三角形.
应用模型:
在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C,∴AB=BC=CA.
