第十三章 轴对称
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
1.(2023·连云港中考)在美术字中,有些汉字可以看成是轴对称图形.下列汉字中,是轴对称图形的是(C)
2.(2023·怀化中考)在平面直角坐标系中,点P(2,-3)关于x轴对称的点P'的坐标是(D)
A.(-2,-3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(2,3)
3.(2024·遵义桐梓县期末)已知等腰三角形的一内角度数为40°,则它的顶角的度数为(D)
A.40° B.80° C.100° D.40°或100°
4.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,过点B作BD⊥BC,交AC于点D,若AD=1,则CD的长度为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图∠A=90°,BD是∠ABC的平分线,如果DE是BC的垂直平分线,则∠C的度数为(B)
A.40° B.30° C.60° D.45°
6.若点A(a,3)与B(2,b)关于x轴对称,则点M(a,b)所在的象限是(D)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.(2024·遵义绥阳县期末)如图,衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC,若AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∠ABC=30°,则AD的长为(C)
A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm
8.已知点M(1-2m,1-m)关于x轴的对称点在第四象限,则m的取值范围在数轴上表示正确的是(D)
9.(2024·黔东南期末)在△ABC的BC边上找一点P,使得PA+PC=BC.下面找法正确的是(D)
10.如图,DE,DF分别是线段AB,BC的垂直平分线,连接AD,CD,则下列结论正确的是(A)
A.AD=CD B.∠A=∠C
C.∠B=∠ADC D.DE=DF
11.如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=(D)
A.20° B.25° C.10° D.15°
12.(2024·遵义绥阳县期末)如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3…在射线ON上,点B1,B2,B3…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为(C)
A.6 B.12 C.32 D.64
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=5 cm.以点A为圆心,AB长为半径画弧,交BC边的延长线于点D,则AD长为 10 cm.
14.(2024·安顺关岭县期末)如图,线段AB,BC的垂直平分线相交于点O,连接OA,OC.若∠AOC=80°,则∠B的度数为 40° .
15.如图,已知点P是射线ON上一动点,∠AON=50°,若△AOP为等腰三角形,则
∠A= 50°或65°或80° .
16.(2024·遵义期末)如图,点N在等边△ABC的边BC上,CN=6,射线BD⊥BC,垂足为点B,点P是射线BD上一动点,点M是线段AC上一动点,当MP+NP的值最小时,CM=7,则AC的长为 10 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2024·六盘水钟山区期末)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标为A(4,-3),B(3,-1),C(1,-2),若△ABC关于x轴对称的图形为△A'B'C'.
(1)请作出△A'B'C';
(2)求△A'B'C'的面积.
【解析】(1)如图,△A'B'C'即为所求.
(2)S△A'B'C'=×(1+2)×3-×2×1-×1×2=-1-1=.
18.(10分)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=40°.
(1)尺规作图:①作边AB的垂直平分线交BC于点D;
②连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点E;(要求:保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数.
【解析】(1)如图,点D,射线AE即为所求.
(2)∵DF垂直平分线段AB,
∴DB=DA,
∴∠DAB=∠B=30°,
∵∠C=40°,∴∠BAC=180°-30°-40°=110°,
∴∠CAD=110°-30°=80°,
∵AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠DAC=40°.
19.(10分)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂足,求证:△DEF是等边三角形.
【证明】∵∠A=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=30°,
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°,
∴∠BDE=∠CDF=60°,∴∠EDF=60°,
∵D是BC的中点,∴BD=CD,
在△BDE与△CDF中,,
∴△BDE≌△CDF,∴DE=DF,∴△DEF是等边三角形.
20.(10分)(2024·安顺期末)如图,在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,AE平分∠BAC,∠B=30°.
(1)求∠C的度数;
(2)若DE=2,求BC的长.
【解析】(1)∵DE是边AB上的垂直平分线,
∴AE=BE,∴∠B=∠BAE=30°.
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠EAC=30°,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+30°=60°,
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°;
(2)∵AE平分∠BAC,∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴EC=ED=2,
∵DE垂直平分AB,∴∠BDE=90°.
在△BDE中,∵∠BDE=90°.∠B=30°.
∴BE=2DE=4.
∴BC=BE+EC=4+2=6.
21.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=40°,求∠BAD的度数;
(2)求证:FB=FE.
【证明】(1)∵AB=AC,∠C=40°,
∴∠ABC=∠C=40°,
∵BD=CD,AB=AC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-40°=50°.
(2)∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC,
∵EF∥BC,∴∠FEB=∠CBE,
∴∠FBE=∠FEB,
∴FB=FE.
22.(12分)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠BAC的平分线分别交BC,CD于点E,点F.
(1)试说明△CEF是等腰三角形.
(2)若点E恰好在线段AB的垂直平分线上,试说明线段AC与线段AB之间的数量关系.
【解析】(1)∵∠ACB=90°,
∴∠B+∠BAC=90°,∵CD⊥AB,∴∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠B,∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠EAB,∵∠EAB+∠B=∠CEA,∠CAE+∠ACD=∠CFE,
∴∠CFE=∠CEF,∴CF=CE,∴△CEF是等腰三角形;
(2)∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上,
∴AE=BE,∴∠EAB=∠B,∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠EAB,∴∠CAB=2∠B,∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠B=90°,∴∠B=30°,∴AC=AB.
23.(12分)如图,等边三角形ABC中,D为AC上一点,E为AB延长线上一点,DE⊥AC交BC于点F,且DF=EF.
(1)求证:CD=BE;
(2)若AB=12,试求BF的长.
【解析】见全解全析
24.(12分)如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD是BC边上的中线,点E是AB边上的一个动点,点P是AD边上的一个动点.
(1)若∠BAD=37°,求∠ACB的度数;
(2)若BC=6,AD=4,AB=5,且CE⊥AB时,求CE的长;
(3)在(2)的条件下,请直接写出BP+EP的最小值.
【解析】见全解全析
25.(12分)(2024·贵阳期末)如图,点O是等边△ABC内一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形
【解析】(1)∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC,
∵∠OCD=60°,∴△OCD是等边三角形.
(2)△AOD是直角三角形.
理由如下:
∵△OCD是等边三角形,∴∠ODC=60°,
∵△BOC≌△ADC,α=150°,
∴∠ADC=∠BOC=α=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,
∴△AOD是直角三角形.
(3)∵△OCD是等边三角形,∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°,
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°-α=α-60°,∴α=125°.
②当∠AOD=∠OAD时,190°-α=50°,∴α=140°.
③当∠ADO=∠OAD时,α-60°=50°,∴α=110°.
综上所述:当α=110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.第十三章 轴对称
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
1.(2023·连云港中考)在美术字中,有些汉字可以看成是轴对称图形.下列汉字中,是轴对称图形的是( )
2.(2023·怀化中考)在平面直角坐标系中,点P(2,-3)关于x轴对称的点P'的坐标是( )
A.(-2,-3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(2,3)
3.(2024·遵义桐梓县期末)已知等腰三角形的一内角度数为40°,则它的顶角的度数为( )
A.40° B.80° C.100° D.40°或100°
4.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,过点B作BD⊥BC,交AC于点D,若AD=1,则CD的长度为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图∠A=90°,BD是∠ABC的平分线,如果DE是BC的垂直平分线,则∠C的度数为( )
A.40° B.30° C.60° D.45°
6.若点A(a,3)与B(2,b)关于x轴对称,则点M(a,b)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.(2024·遵义绥阳县期末)如图,衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC,若AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∠ABC=30°,则AD的长为( )
A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm
8.已知点M(1-2m,1-m)关于x轴的对称点在第四象限,则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )
9.(2024·黔东南期末)在△ABC的BC边上找一点P,使得PA+PC=BC.下面找法正确的是( )
10.如图,DE,DF分别是线段AB,BC的垂直平分线,连接AD,CD,则下列结论正确的是( )
A.AD=CD B.∠A=∠C
C.∠B=∠ADC D.DE=DF
11.如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=( )
A.20° B.25° C.10° D.15°
12.(2024·遵义绥阳县期末)如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3…在射线ON上,点B1,B2,B3…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( )
A.6 B.12 C.32 D.64
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=5 cm.以点A为圆心,AB长为半径画弧,交BC边的延长线于点D,则AD长为 cm.
14.(2024·安顺关岭县期末)如图,线段AB,BC的垂直平分线相交于点O,连接OA,OC.若∠AOC=80°,则∠B的度数为 .
15.如图,已知点P是射线ON上一动点,∠AON=50°,若△AOP为等腰三角形,则
∠A= .
16.(2024·遵义期末)如图,点N在等边△ABC的边BC上,CN=6,射线BD⊥BC,垂足为点B,点P是射线BD上一动点,点M是线段AC上一动点,当MP+NP的值最小时,CM=7,则AC的长为 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2024·六盘水钟山区期末)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标为A(4,-3),B(3,-1),C(1,-2),若△ABC关于x轴对称的图形为△A'B'C'.
(1)请作出△A'B'C';
(2)求△A'B'C'的面积.
18.(10分)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=40°.
(1)尺规作图:①作边AB的垂直平分线交BC于点D;
②连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点E;(要求:保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数.
19.(10分)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂足,求证:△DEF是等边三角形.
20.(10分)(2024·安顺期末)如图,在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,AE平分∠BAC,∠B=30°.
(1)求∠C的度数;
(2)若DE=2,求BC的长.
21.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=40°,求∠BAD的度数;
(2)求证:FB=FE.
22.(12分)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠BAC的平分线分别交BC,CD于点E,点F.
(1)试说明△CEF是等腰三角形.
(2)若点E恰好在线段AB的垂直平分线上,试说明线段AC与线段AB之间的数量关系.
23.(12分)如图,等边三角形ABC中,D为AC上一点,E为AB延长线上一点,DE⊥AC交BC于点F,且DF=EF.
(1)求证:CD=BE;
(2)若AB=12,试求BF的长.
24.(12分)如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD是BC边上的中线,点E是AB边上的一个动点,点P是AD边上的一个动点.
(1)若∠BAD=37°,求∠ACB的度数;
(2)若BC=6,AD=4,AB=5,且CE⊥AB时,求CE的长;
(3)在(2)的条件下,请直接写出BP+EP的最小值.
25.(12分)(2024·贵阳期末)如图,点O是等边△ABC内一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形
