14.2.2 完全平方公式
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 完全平方公式的几何意义
1.如图所示的四边形均为长方形或正方形,下列等式能够正确表示该图形面积关系的是( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a+b)2=a2+2ab-b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.(a-b)2=a2-2ab-b2
2.(2023·毕节威宁县期末)如图1是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图2那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积为( )
A.ab B.(a+b)2
C.(a-b)2 D.a2-b2
知识点2 运用完全平方公式进行计算
3.运用乘法公式计算(a-3)2的结果是( )
A.a2-6a+9 B.a2-3a+9
C.a2-9 D.a2-6a-9
4.计算:(x+2y)2= .
5.计算:1012= .
6.(2023·贵阳乌当区期末)下列是小红化简整式的过程,仔细阅读并解析所提出的问题.
解:(xy+2)2-x2y2-4
=x2y2+4-x2y2-4第一步
=0第二步
(1)小红的化简过程从第 步开始出现错误;
(2)写出正确化简的过程.
知识点3 完全平方公式的变形
7.(2024·铜仁思南县质检)已知(m-n)2=10,(m+n)2=2,则mn的值为( )
A.10 B.-6 C.-2 D.2
知识点4 完全平方公式的实际应用
8.正方形的边长增加了2 cm,面积相应增加了24 cm2,则这个正方形原来的面积是( )
A.15 cm2 B.25 cm2
C.36 cm2 D.49 cm2
9.若正方形边长由a(cm)减小到(a-2) cm,则面积减小了 cm2(用含a的式子表示).
综合能力练 巩固提升 迁移运用
10.已知a+=3,则a2+的值是( )
A.1 B.7 C.9 D.11
11.若(ax+3y)2=4x2+12xy+by2,则a,b的值分别为( )
A.a=4,b=3 B.a=2,b=3
C.a=4,b=9 D.a=2,b=9
12.多项式4x2+1加上一个数或单项式后,使它成为一个多项式的完全平方,若加上的数或单项式从①-1,②4x,③-4x,④-4x2,⑤4x4中选取,则可以选取的是( )
A.① B.③
C.②③⑤ D.①②③④⑤
13.(2024·六盘水水城区质检)如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0).剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则矩形的面积为( )
A.(2a2+5a)cm2 B.(3a+15)cm2
C.(6a+9)cm2 D.(6a+15)cm2
14.设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P= .
15.如图,两个正方形的边长分别为a,b,若a+b=10,ab=20,则四边形ABCD的面积为
.
16.计算:
(1)(2x-3)(-2x+3);
(2)(2x-3y)2-(4y-3x)(4y+3x).
17.(素养提升题)(2024·安顺关岭县期末)数学活动课上,张老师用如图1中的1张边长为a的正方形纸片A,1张边长为b的正方形纸片B和2张宽和长分别为a,b的长方形纸片C拼成了如图2所示的大正方形.观察图形并解答下列问题.
(1)由图1和图2可以得到的等式为 .(用含a,b的式子表示)
(2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)的大长方形,需要A,B,C三种纸片各多少张
(3)如图3,已知点C为线段AB上的动点,分别以AC,BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG.若AB=6,且两正方形的面积之和S1+S2=20,求图中阴影部分的面积.14.2.2 完全平方公式
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 添括号法则
1.(2023·安顺平坝区期质检)对多项式2x-m+n添括号,正确的是( )
A.2x-m+n=2x-(m-n)
B.2x-m+n=2x-(m+n)
C.2x-m+n=2x+(-m-n)
D.2x-m+n=2x+(m-n)
2.下列各式中,去括号或添括号正确的是( )
A.a2-(2a-b+c)=a2-2a-b+c
B.a-3x+2y-1=a+(-3x-2y-1)
C.-2x-y-a+1=-(2x+y)-(a-1)
D.3x-[5x-(2x-1)]=3x-5x-2x+1
3.在下列各式的括号里,填上适当的项:
(1)(a-b-c)(a-b+c)
=[a-( b+c )][a+( c-b )];
(2)(-a+b+c)(a-b-c)
=[b-( a-c )][-b+( a-c )].
知识点2 运用添括号法则进行计算
4.(2024·毕节织金县期末)计算(x-y+3)(x+y-3)时,下列各变形中正确的是( )
A.[(x-y)+3][(x+y)-3]
B.[(x+3)-y][(x-3)+y]
C.[x-(y+3)][x+(y-3)]
D.[x-(y-3)][x+(y-3)]
5.对式子(a-b-c)2进行计算,变形不正确的是( )
A.[a-(b+c)]2 B.[(a-b)-c]2
C.[(b+c)-a]2 D.[a-(b-c)]2
6.当x=1时,ax+b+1的值为-2,则(a+b-1)(1-a-b)的值为( )
A.16 B.8 C.-8 D.-16
7.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,则a+b= .
8.(教材再开发·P111例5改编)计算:
(1)(a+b+c)(a+b-c);
(2)(x-y-z)2;
(3)(a+b-3)(a-b+3).
9.计算:(a-2b+5)(a+2b-5)+(a+2b+5)·(2b-a-5).
综合能力练 巩固提升 迁移运用
10.(易错警示题)下列添括号错误的是( )
A.3-4x=-(4x-3)
B.(a+b)-2a-b=(a+b)-(2a+b)
C.-x2+5x-4=-(x2-5x+4)
D.-a2+4a+a3-5=-(a2-4a)-(a3+5)
11.(2024·遵义正安县质检)下列各式中既要用平方差公式计算也要用完全平方公式计算的是( )
A.(2x+y-1)(2x-y-1)
B.(x-y)(y+x)
C.(xy+1)2-(xy-1)2
D.(x+2)(x+1)
12.(2024·遵义红花岗区期末)我们知道,多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性,如(a+b)2=a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证.那么,能利用图2的面积进行验证的含x,y,z的等式为 .
13.计算:(1)(a-b-3)2-(a+b-2)2;
(2)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2.
14.下列图形是由四块完全相同、底角为45°的等腰梯形拼接而成的平行四边形和正方形,如图(1)(2)所示.
(1)设图(1)中的阴影部分面积为S1,图(2)中阴影部分面积为S2,请你用含a,b的代数式表示S1,S2;
(2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式;
(3)当a=-2,b=1,c=3时,试利用这个公式计算(2a-3b+c)(2a-3b-c)的值.
易错点 不能正确的找出平方差公式中的相同项与相反项而出错
【案例】计算:(3x-2y+m)(2y-3x+m).14.2.2 完全平方公式
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 添括号法则
1.(2023·安顺平坝区期质检)对多项式2x-m+n添括号,正确的是(A)
A.2x-m+n=2x-(m-n)
B.2x-m+n=2x-(m+n)
C.2x-m+n=2x+(-m-n)
D.2x-m+n=2x+(m-n)
2.下列各式中,去括号或添括号正确的是(C)
A.a2-(2a-b+c)=a2-2a-b+c
B.a-3x+2y-1=a+(-3x-2y-1)
C.-2x-y-a+1=-(2x+y)-(a-1)
D.3x-[5x-(2x-1)]=3x-5x-2x+1
3.在下列各式的括号里,填上适当的项:
(1)(a-b-c)(a-b+c)
=[a-( b+c )][a+( c-b )];
(2)(-a+b+c)(a-b-c)
=[b-( a-c )][-b+( a-c )].
知识点2 运用添括号法则进行计算
4.(2024·毕节织金县期末)计算(x-y+3)(x+y-3)时,下列各变形中正确的是(D)
A.[(x-y)+3][(x+y)-3]
B.[(x+3)-y][(x-3)+y]
C.[x-(y+3)][x+(y-3)]
D.[x-(y-3)][x+(y-3)]
5.对式子(a-b-c)2进行计算,变形不正确的是(D)
A.[a-(b+c)]2 B.[(a-b)-c]2
C.[(b+c)-a]2 D.[a-(b-c)]2
6.当x=1时,ax+b+1的值为-2,则(a+b-1)(1-a-b)的值为(D)
A.16 B.8 C.-8 D.-16
7.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,则a+b= ±4 .
8.(教材再开发·P111例5改编)计算:
(1)(a+b+c)(a+b-c);
(2)(x-y-z)2;
(3)(a+b-3)(a-b+3).
【解析】(1)(a+b+c)(a+b-c)
=[(a+b)+c][(a+b)-c]
=(a+b)2-c2
=a2+2ab+b2-c2.
(2)(x-y-z)2
=[x-(y+z)]2
=x2-2·x·(y+z)+(y+z)2
=x2-2xy-2xz+y2+2yz+z2
=x2+y2+z2-2xy+2yz-2xz.
(3)(a+b-3)(a-b+3)
=[a+(b-3)][a-(b-3)]
=a2-(b-3)2
=a2-(b2-6b+9)
=a2-b2+6b-9.
9.计算:(a-2b+5)(a+2b-5)+(a+2b+5)·(2b-a-5).
【解析】原式=[a-(2b-5)][a+(2b-5)]+[2b+(a+5)][2b-(a+5)]
=a2-(2b-5)2+(2b)2-(a+5)2
=a2-4b2+20b-25+4b2-a2-10a-25
=-10a+20b-50.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
10.(易错警示题)下列添括号错误的是(D)
A.3-4x=-(4x-3)
B.(a+b)-2a-b=(a+b)-(2a+b)
C.-x2+5x-4=-(x2-5x+4)
D.-a2+4a+a3-5=-(a2-4a)-(a3+5)
11.(2024·遵义正安县质检)下列各式中既要用平方差公式计算也要用完全平方公式计算的是(A)
A.(2x+y-1)(2x-y-1)
B.(x-y)(y+x)
C.(xy+1)2-(xy-1)2
D.(x+2)(x+1)
12.(2024·遵义红花岗区期末)我们知道,多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性,如(a+b)2=a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证.那么,能利用图2的面积进行验证的含x,y,z的等式为 (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+ 2yz+2xz .
13.计算:(1)(a-b-3)2-(a+b-2)2;
(2)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2.
【解析】(1)原式=(a2+b2-2ab-6a-6b+9)-(a2+b2+2ab-4a-4b+4)
=a2+b2-2ab-6a-6b+9-a2-b2-2ab+4a+4b-4=-4ab-2a-2b+5;
(2)原式=[(x-z)+2y][ (x-z)-2y]-[(x+y)-z]2=(x-z)2-(2y)2-[(x+y)2-2(x+y)z+z2]
=x2-2xz+z2-4y2-[x2+2xy+y2-2xz-2yz+z2]=x2-2xz+z2-4y2-x2-2xy-y2+2xz+2yz-z2=-5y2-2xy+2yz.
14.下列图形是由四块完全相同、底角为45°的等腰梯形拼接而成的平行四边形和正方形,如图(1)(2)所示.
(1)设图(1)中的阴影部分面积为S1,图(2)中阴影部分面积为S2,请你用含a,b的代数式表示S1,S2;
(2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式;
(3)当a=-2,b=1,c=3时,试利用这个公式计算(2a-3b+c)(2a-3b-c)的值.
【解析】(1)如图,作AM⊥BC于M,DN⊥BC于N,∵∠B=∠C=45°,
∴△ABM,△DNC是等腰直角三角形,
∴AM=BM=(a-b),
∴S等腰梯形=(a+b)(a-b),∴S1=4×(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b),S2=a2-b2;
(2)以上结果可以验证平方差公式;
(3)(2a-3b+c)(2a-3b-c)=(2a-3b)2-c2=(-2×2-3×1)2-32=49-9=40.
易错点 不能正确的找出平方差公式中的相同项与相反项而出错
【案例】计算:(3x-2y+m)(2y-3x+m).
【解析】(3x-2y+m)(2y-3x+m)=[m+(3x-2y)][m-(3x-2y)]
=m2-(3x-2y)2=m2-(9x2-12xy+4y2)=m2-9x2+12xy-4y2.
周末小练 适时巩固 请完成 “周周测(八)”14.2.2 完全平方公式
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 完全平方公式的几何意义
1.如图所示的四边形均为长方形或正方形,下列等式能够正确表示该图形面积关系的是(A)
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a+b)2=a2+2ab-b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.(a-b)2=a2-2ab-b2
2.(2023·毕节威宁县期末)如图1是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图2那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积为(C)
A.ab B.(a+b)2
C.(a-b)2 D.a2-b2
知识点2 运用完全平方公式进行计算
3.运用乘法公式计算(a-3)2的结果是(A)
A.a2-6a+9 B.a2-3a+9
C.a2-9 D.a2-6a-9
4.计算:(x+2y)2= x2+4xy+4y2 .
5.计算:1012= 10 201 .
6.(2023·贵阳乌当区期末)下列是小红化简整式的过程,仔细阅读并解析所提出的问题.
解:(xy+2)2-x2y2-4
=x2y2+4-x2y2-4第一步
=0第二步
(1)小红的化简过程从第 步开始出现错误;
(2)写出正确化简的过程.
【解析】(1)(xy+2)2-x2y2-4第一步化简应为x2y2+4xy+4-x2y2-4,
故小红的化简过程从第一步开始出现错误.
答案:一
(2)(xy+2)2-x2y2-4=x2y2+4xy+4-x2y2-4=4xy.
知识点3 完全平方公式的变形
7.(2024·铜仁思南县质检)已知(m-n)2=10,(m+n)2=2,则mn的值为(C)
A.10 B.-6 C.-2 D.2
知识点4 完全平方公式的实际应用
8.正方形的边长增加了2 cm,面积相应增加了24 cm2,则这个正方形原来的面积是(B)
A.15 cm2 B.25 cm2
C.36 cm2 D.49 cm2
9.若正方形边长由a(cm)减小到(a-2) cm,则面积减小了 (4a-4) cm2(用含a的式子表示).
综合能力练 巩固提升 迁移运用
10.已知a+=3,则a2+的值是(B)
A.1 B.7 C.9 D.11
11.若(ax+3y)2=4x2+12xy+by2,则a,b的值分别为(D)
A.a=4,b=3 B.a=2,b=3
C.a=4,b=9 D.a=2,b=9
12.多项式4x2+1加上一个数或单项式后,使它成为一个多项式的完全平方,若加上的数或单项式从①-1,②4x,③-4x,④-4x2,⑤4x4中选取,则可以选取的是(C)
A.① B.③
C.②③⑤ D.①②③④⑤
13.(2024·六盘水水城区质检)如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0).剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则矩形的面积为(D)
A.(2a2+5a)cm2 B.(3a+15)cm2
C.(6a+9)cm2 D.(6a+15)cm2
14.设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P= - .
15.如图,两个正方形的边长分别为a,b,若a+b=10,ab=20,则四边形ABCD的面积为
20 .
16.计算:
(1)(2x-3)(-2x+3);
(2)(2x-3y)2-(4y-3x)(4y+3x).
【解析】(1)原式=-(2x-3)(2x-3)=-(2x-3)2=-(4x2-12x+9)=-4x2+12x-9.
(2)(2x-3y)2-(4y-3x)(4y+3x)=4x2-12xy+9y2-16y2+9x2=13x2-12xy-7y2.
17.(素养提升题)(2024·安顺关岭县期末)数学活动课上,张老师用如图1中的1张边长为a的正方形纸片A,1张边长为b的正方形纸片B和2张宽和长分别为a,b的长方形纸片C拼成了如图2所示的大正方形.观察图形并解答下列问题.
(1)由图1和图2可以得到的等式为 .(用含a,b的式子表示)
(2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)的大长方形,需要A,B,C三种纸片各多少张
(3)如图3,已知点C为线段AB上的动点,分别以AC,BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG.若AB=6,且两正方形的面积之和S1+S2=20,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)由题图可得(a+b)2=a2+2ab+b2.
答案:(a+b)2=a2+2ab+b2
(2)(2a+b)(a+2b)
=2a2+4ab+ab+2b2
=2a2+5ab+2b2,
即需要A,B两种纸片各2张,C种纸片5张;
(3)设AC=m,BC=CF=n,则m+n=6,
∵S1+S2=20,
∴m2+n2=20,
∵(m+n)2=m2+2mn+n2,
∴m2+n2=(m+n)2-2mn
∴20=62-2mn
∴mn=8,
∴S阴影=2×AC·CF=mn=8.
