14.3.2 公式法
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 完全平方式
1.若a2-6ab+k是一个用完全平方公式得到的结果,则k=(B)
A.3b2 B.9b2 C.36b2 D.-9b2
2.因式分解:1-4m+4m2= (1-2m)2 .
知识点2 用完全平方公式分解因式
3.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是(D)
A.x2+1 B.x2+2x-1
C.x2+x+1 D.x2+4x+4
4.将下列多项式分解因式,结果中不含有因式(x+2)的是(C)
A.x2-4
B.(x-2)2+8(x-2)+16
C.x3-4x2+4x
D.x2+2x
5.分解因式:(1)9a2-12a+4;
(2)-x2+4xy-4y2.
【解析】(1)9a2-12a+4=(3a-2)2;
(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.
知识点3 提公因式后,再用完全平方公式分解因式
6.因式分解:(1)(2023·怀化中考)2x2-4x+2= 2(x-1)2 .
(2)a3+2a2+a= a(a+1)2 .
(3)(2023·东营中考)3ma2-6mab+3mb2= 3m(a-b)2 .
7.利用因式分解计算:8002-2×800×799+7992.
【解析】原式=(800-799)2=12=1.
8.(教材再开发·P119练习T2(5)(6)改编)
分解因式:(1) 2a3-4a2+2a;
(2)(a2+4)2-16a2.
【解析】(1) 原式=2a(a2-2a+1)=2a(a-1)2.
(2)原式=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2 (a-2)2.
知识点4 用完全平方公式分解因式的应用
9.若x+y=2,则多项式x2+2xy+2y2的值为(C)
A.2 B.4 C.8 D.16
10.(2023·毕节黔西市期中)已知a+b=5,ab=10,求a3b+a2b2+ab3的值.
【解析】a3b+a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,
将a+b=5,ab=10代入ab(a+b)2中,得ab(a+b)2=×10×25=125.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
11.(2024·黔西南期末)若4y2+my+9是完全平方式,则m的值是(D)
A.-12 B.12
C.-12或11 D.-12或12
12.已知正方形的面积是(16-8x+x2) cm2(x>4 cm),则正方形的周长是(D)
A.(4-x) cm B.(x-4) cm
C.(16-4x) cm D.(4x-16) cm
13.若x2+ax+16是完全平方公式,则|a-2|的值是(B)
A.6 B.6或10 C.2 D.2或6
14.(2024·毕节威宁县期中)若a=b+1,则代数式a2-2ab+b2+2的值为 3 .
15.因式分解:(x-2y)2+8xy.
【解析】(x-2y)2+8xy=x2-4xy+4y2+8xy=x2+4xy+4y2=(x+2y)2.
16.(2024·遵义绥阳县期末)定义:任意两个数a,b,按规则c=b2+a+b-4,扩充得到一个新数c,称所得的新数c为a,b的“吉祥数”.
(1)若a=1,b=-1,则a,b的“吉祥数”为 ;
(2)如果a=3+m,b=m-2,试说明“吉祥数”c为非负数.
【解析】(1)当a=1,b=-1时,
c=(-1)2+1+(-1)-4=-3;
答案:-3
(2)当a=3+m,b=m-2时,
c=(m-2)2+3+m+m-2-4
=m2-4m+4+2m-3
=m2-2m+1
=(m-1)2,
∵不论m为何值,(m-1)2≥0,
∴c为非负数.
17.(素养提升题)(2024·遵义期末)阅读:换元法是一种重要的数学方法,是解决数学问题的重要工具.下面是对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解的解题思路:将“x2-2x”看成一个整体,令x2-2x=m,则原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2,再将“m”还原为“x2-2x”即可.
解题过程如下:
解:设x2-2x=m,则原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2-2x+1)2.
问题:
(1)以上解答过程并未彻底分解因式,请你直接写出最后的结果: ;
(2)请你模仿以上方法,将多项式(x2+6x)(x2+6x+18)+81进行因式分解;
(3)换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用,请你模仿以上方法尝试计算: (1+++…+)×(++…+)-(1+++…+)×(++…+).
【解析】(1)(x2-2x+1)2=(x-1)4.
答案:(x-1)4
(2)设x2+6x=y,
原式=y(y+18)+81=y2+18y+81
=(y+9)2=(x2+6x+9)2=(x+3)4.
(3)设1+++…+=n,则++…+=n-1,
则原式=n(n-1+)-(n+)(n-1)
=n(n-)-(n+)(n-1)
=n2-n-n2+n-n+=.
周末小练 适时巩固 请完成 “周周测(九)”14.3.2 公式法
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 用平方差公式分解因式
1.(2023·贵阳白云区期中)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是(C)
A.a2+b2 B.2a-b2
C.-a2+b2 D.-a2-b2
2.(2023·杭州中考)分解因式:4a2-1=(A)
A.(2a-1)(2a+1)
B.(a-2)(a+2)
C.(a-4)(a+1)
D.(4a-1)(a+1)
3.分解因式4a2-b2,结果是(C)
A.4(a+b)(a-b)
B.(4a+b)(4a-b)
C.(2a+b)(2a-b)
D.2(a+b)(a-b)
4.分解因式:(1)(2023·贵州中考)x2-4= (x+2)(x-2) .
(2)9x2-1= (3x+1)(3x-1) .
知识点2 提公因式后,再用平方差公式分解因式
5.因式分解:(1)a3-a= a(a+1)(a-1) .
(2)x3-4x= x(x+2)(x-2) .
(3)x3-xy2= x(x+y)(x-y) .
6.分解因式:(a+b)3-4(a+b)= (a+b)(a+b+2)(a+b-2) .
知识点3 用平方差公式分解因式的应用
7.若a,b,c是三角形的三边,则代数式(a-b)2-c2的值是(B)
A.正数 B.负数
C.等于零 D.不能确定
8.(教材再开发·P119习题T4(2)变式)利用因式分解计算:5032-4972.
【解析】原式=(503+497)×(503-497)
=1 000×6=6 000.
9.如图,在一块边长为a的正方形纸板四周,各剪去一个边长为b(b>0)的正方形.
(1)用代数式表示阴影部分的面积.
(2)利用因式分解的方法计算当a=15.4,b=3.7时,阴影部分的面积.
【解析】(1)由题意得阴影部分的面积为a2-4b2.
(2)∵a2-4b2=(a+2b)(a-2b),
当a=15.4,b=3.7时,
原式=(15.4+7.4)(15.4-7.4)=22.8×8=182.4.
10.(2023·铜仁碧江区期末)已知n为整数,试说明(n+7)2-(n-3)2一定能被20整除.
【解析】∵(n+7)2-(n-3)2=[(n+7)+(n+3)][(n+7)-(n-3)]=20(n+5),
∴(n+7)2-(n-3)2一定能被20整除.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
11.某同学粗心大意,分解因式时,把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了,则式子中的■,▲对应的一组数字是(B)
A.8,1 B.16,2 C.24,3 D.64,8
12.计算:101×1022-101×982=(D)
A.404 B.808 C.40 400 D.80 800
13.(2024·六盘水期中)已知a-b=5,则a2-b2-10b的值为(D)
A.5 B.10 C.15 D.25
14.(2024·贵阳南明区期中)已知a,b,c是△ABC的三条边长,且满足a2-b2=c(a-b),则△ABC是(D)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
15.因式分解:(1)m3n2-m= m(mn+1)(mn-1) .
(2)-2ax2+2ay2= -2a(x-y)(x+y) .
16.观察下列各式:32-12=8=8×1;52-32=16=8×2;72-52=24=8×3……把你发现的规律用含n的等式表示出来 (2n+1)2-(2n-1)2=8n .
17.把下列各式因式分解:
(1)2x3-8x;(2)36(a+b)2-25;
(3)a4-16;(4)9(a+b)2-4(a-b)2.
【解析】(1)原式=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2).
(2) 36(a+b)2-25=[6(a+b)]2-52
=(6a+6b+5)(6a+6b-5).
(3)a4-16
=(a2+4)(a2-4)
=(a2+4)(a+2)(a-2).
(4)9(a+b)2-4(a-b)2
=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)]
=(3a+3b+2a-2b)(3a+3b-2a+2b)
=(5a+b)(a+5b).
18.(素养提升题)【知识再现】在研究平方差公式时,我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图1),把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2),根据图1、图2阴影部分的面积关系,可以得到一个关于a,b的等式① ;
【知识迁移】在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b的小正方体后,余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4).根据它们的体积关系得到关于a,b的等式②a3-b3= (结果写成整式的积的形式);
【知识运用】已知a-b=4,ab=3,求a3-b3的值.
【解析】【知识再现】①a2-b2=(a+b)(a-b).
答案:a2-b2=(a+b)(a-b)
【知识迁移】②a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
答案:(a-b)(a2+ab+b2)
【知识运用】∵a-b=4,ab=3,
∴a2+b2=(a-b)2+2ab=16+6=22,
∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=4×(22+3)=100.
易错点 因式分解不彻底
【案例】分解因式:am2-an2= a(m+n)(m-n) . 14.3.2 公式法
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 用平方差公式分解因式
1.(2023·贵阳白云区期中)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+b2 B.2a-b2
C.-a2+b2 D.-a2-b2
2.(2023·杭州中考)分解因式:4a2-1=( )
A.(2a-1)(2a+1)
B.(a-2)(a+2)
C.(a-4)(a+1)
D.(4a-1)(a+1)
3.分解因式4a2-b2,结果是( )
A.4(a+b)(a-b)
B.(4a+b)(4a-b)
C.(2a+b)(2a-b)
D.2(a+b)(a-b)
4.分解因式:(1)(2023·贵州中考)x2-4= .
(2)9x2-1= .
知识点2 提公因式后,再用平方差公式分解因式
5.因式分解:(1)a3-a= .
(2)x3-4x= .
(3)x3-xy2= .
6.分解因式:(a+b)3-4(a+b)= .
知识点3 用平方差公式分解因式的应用
7.若a,b,c是三角形的三边,则代数式(a-b)2-c2的值是( )
A.正数 B.负数
C.等于零 D.不能确定
8.(教材再开发·P119习题T4(2)变式)利用因式分解计算:5032-4972.
9.如图,在一块边长为a的正方形纸板四周,各剪去一个边长为b(b>0)的正方形.
(1)用代数式表示阴影部分的面积.
(2)利用因式分解的方法计算当a=15.4,b=3.7时,阴影部分的面积.
10.(2023·铜仁碧江区期末)已知n为整数,试说明(n+7)2-(n-3)2一定能被20整除.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
11.某同学粗心大意,分解因式时,把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了,则式子中的■,▲对应的一组数字是( )
A.8,1 B.16,2 C.24,3 D.64,8
12.计算:101×1022-101×982=( )
A.404 B.808 C.40 400 D.80 800
13.(2024·六盘水期中)已知a-b=5,则a2-b2-10b的值为( )
A.5 B.10 C.15 D.25
14.(2024·贵阳南明区期中)已知a,b,c是△ABC的三条边长,且满足a2-b2=c(a-b),则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
15.因式分解:(1)m3n2-m= .
(2)-2ax2+2ay2= .
16.观察下列各式:32-12=8=8×1;52-32=16=8×2;72-52=24=8×3……把你发现的规律用含n的等式表示出来 .
17.把下列各式因式分解:
(1)2x3-8x;(2)36(a+b)2-25;
(3)a4-16;(4)9(a+b)2-4(a-b)2.
18.(素养提升题)【知识再现】在研究平方差公式时,我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图1),把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2),根据图1、图2阴影部分的面积关系,可以得到一个关于a,b的等式① ;
【知识迁移】在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b的小正方体后,余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4).根据它们的体积关系得到关于a,b的等式②a3-b3= (结果写成整式的积的形式);
【知识运用】已知a-b=4,ab=3,求a3-b3的值.
易错点 因式分解不彻底
【案例】分解因式:am2-an2= . 14.3.2 公式法
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 完全平方式
1.若a2-6ab+k是一个用完全平方公式得到的结果,则k=( )
A.3b2 B.9b2 C.36b2 D.-9b2
2.因式分解:1-4m+4m2= .
知识点2 用完全平方公式分解因式
3.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A.x2+1 B.x2+2x-1
C.x2+x+1 D.x2+4x+4
4.将下列多项式分解因式,结果中不含有因式(x+2)的是( )
A.x2-4
B.(x-2)2+8(x-2)+16
C.x3-4x2+4x
D.x2+2x
5.分解因式:(1)9a2-12a+4;
(2)-x2+4xy-4y2.
知识点3 提公因式后,再用完全平方公式分解因式
6.因式分解:(1)(2023·怀化中考)2x2-4x+2= .
(2)a3+2a2+a= .
(3)(2023·东营中考)3ma2-6mab+3mb2= .
7.利用因式分解计算:8002-2×800×799+7992.
8.(教材再开发·P119练习T2(5)(6)改编)
分解因式:(1) 2a3-4a2+2a;
(2)(a2+4)2-16a2.
知识点4 用完全平方公式分解因式的应用
9.若x+y=2,则多项式x2+2xy+2y2的值为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
10.(2023·毕节黔西市期中)已知a+b=5,ab=10,求a3b+a2b2+ab3的值.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
11.(2024·黔西南期末)若4y2+my+9是完全平方式,则m的值是( )
A.-12 B.12
C.-12或11 D.-12或12
12.已知正方形的面积是(16-8x+x2) cm2(x>4 cm),则正方形的周长是( )
A.(4-x) cm B.(x-4) cm
C.(16-4x) cm D.(4x-16) cm
13.若x2+ax+16是完全平方公式,则|a-2|的值是( )
A.6 B.6或10 C.2 D.2或6
14.(2024·毕节威宁县期中)若a=b+1,则代数式a2-2ab+b2+2的值为 .
15.因式分解:(x-2y)2+8xy.
16.(2024·遵义绥阳县期末)定义:任意两个数a,b,按规则c=b2+a+b-4,扩充得到一个新数c,称所得的新数c为a,b的“吉祥数”.
(1)若a=1,b=-1,则a,b的“吉祥数”为 ;
(2)如果a=3+m,b=m-2,试说明“吉祥数”c为非负数.
17.(素养提升题)(2024·遵义期末)阅读:换元法是一种重要的数学方法,是解决数学问题的重要工具.下面是对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解的解题思路:将“x2-2x”看成一个整体,令x2-2x=m,则原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2,再将“m”还原为“x2-2x”即可.
解题过程如下:
解:设x2-2x=m,则原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2-2x+1)2.
问题:
(1)以上解答过程并未彻底分解因式,请你直接写出最后的结果: ;
(2)请你模仿以上方法,将多项式(x2+6x)(x2+6x+18)+81进行因式分解;
(3)换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用,请你模仿以上方法尝试计算: (1+++…+)×(++…+)-(1+++…+)×(++…+).
