第十四章 整式的乘法与因式分解
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
1.(2023·贵阳观山湖区期中)老师在黑板上书写了一个正确的算式,随后用手掌遮住了一个单项式,形式如下:a·=a3,则处应为( )
A.3 B.a C.a2 D.a3
2.下列从左到右的变形中,属于因式分解的是( )
A.4x2-1=(2x+1)(2x-1) B.2xy2=2x·y
C.(-x-1)2=x2+2x+1 D.x2+2x+2=x(x+2)+2
3.下列各式中,计算结果等于a6的是( )
A.a3·a3 B.(a2)4
C.a8-a2 D.a12÷a2
4.(2023·益阳中考)下列因式分解正确的是( )
A.2a2-4a+2=2(a-1)2
B.a2+ab+a=a(a+b)
C.4a2-b2=(4a+b)(4a-b)
D.a3b-ab3=ab(a-b)2
5.化简:20a7b6c÷(-4a3b2)÷(ab)的值为( )
A.-5a5b2c B.-5a5b5c
C.5a5b2c D.-5a3b3c
6.(2023·黑龙江中考)下列运算正确的是( )
A.(-2a)2=-4a2
B.(a-b)2=a2-b2
C.(-m+2)(-m-2)=m2-4
D.(a5)2=a7
7.若a+b=3,则a2-b2+6b的值为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
8.如果(x-3)(2x+4)=2x2-mx+n,那么m,n的值分别是( )
A.2,12 B.-2,12 C.2,-12 D.-2,-12
9.若x2+(m-1)x+1可以用完全平方公式进行因式分解,则m的值为( )
A.-3 B.1 C.-3,1 D.-1,3
10.已知a2+2ab+b2=0,那么代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值为( )
A.0 B.2 C.4 D.6
11.如图,由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案,该图案的面积为49,小正方形的面积为4,若分别用x,y(x>y)表示小长方形的长和宽,则下列关系式中不正确的是( )
A.x2+2xy+y2=49 B.x2-2xy+y2=4
C.x2+y2=25 D.x2-y2=14
12.已知长方形的周长为16 cm,它两邻边长分别为x cm,y cm,且满足(x-y)2-2x+
2y+1=0,则该长方形的面积为( )
A. cm2 B. cm2 C.15 cm2 D.16 cm2
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.计算:(π-3)0+|-2 023|= .
14.如果(m2+n2+1)与(m2+n2-1)的乘积为15,那么m2+n2的值为 .
15.把一根20 cm长的铁丝分成两段,将每一段围成一个正方形,若这两个正方形的面积之差是5 cm2,则这两段铁丝的长分别为 .
16.已知x-y=1,x2+y2=25,则xy= .
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2023·黔南福泉市质检)分解因式:
(1)8a3b2+12ab3c;
(2)4ab2-4a2b-b3;
(3)2a(x-y)-6b(y-x);
(4)(y2-1)2-6(y2-1)+9.
18.(10分)计算:
(1)(x+2)(x-3);
(2)(x+2y)(x-y)-(x+y)2;
(3)(a+2b+c)2;
(4)(x-2y+3z)(x+2y-3z).
19.(10分)(2024·六盘水钟山区质检)如果xn=y,那么我们规定(x,y)=n,例如:因为32=9,所以(3,9)=2.
(1)[理解]根据上述规定,填空:(2,8)= ,(2,4)= ;
(2)[应用]若(4,12)=a,(4,5)=b,(4,60)=c,试求a,b,c之间的等量关系.
20.(10分)某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误,解答过程如下:
原式=a2+2ab-(a2-b2) (第一步)
=a2+2ab-a2-b2(第二步)
=2ab-b2 (第三步)
(1)该同学解答过程从第 步开始出错,错误的原因是 ;
(2)写出此题正确的解答过程.
21.(10分)甲、乙两位同学在对mx2+ax+b分解因式时,甲仅看错了a,分解结果为2(x-1)(x-9);乙仅看错了b,分解结果为2(x-2)(x-4),求m,a,b的正确值,并将mx2+ax+b因式分解.
22.(12分)(2024·贵阳期中)某学校分为初中部和小学部,初中部的学生人数比小学部多.做广播操时,初中部排成的是一个规范的长方形方阵,每排(3a-b)人,站有(3a+2b)排;小学部站的方阵,排数和每排人数都是2(a+b).
(1)试求该学校初中部比小学部多多少名学生;
(2)当a=10,b=2时,试求该学校一共有多少名学生.
23.(12分)阅读下面的用配方法分解因式的过程,然后完成下列问题:
x2+6x+8=x2+2·x·3+32-32+8=(x+3)2-12=[(x+3)+1][(x+3)-1]=(x+4)(x+2).
(1)模仿:根据材料运用配方法分解因式x2-12x-28;
(2)应用:已知a,b是一个等腰三角形的两边长,且满足a2+b2-6a-8b+25=0,求这个等腰三角形的周长.
24.(12分)乘法公式的探究及应用.
(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,它的宽是 ,长是 ,面积是 .(写成多项式乘法的形式)
(3)比较1,2两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式 .(用式子表达)
(4)运用你所得到的公式,计算下列各题:
①104×96;
②(3m+2n-p)(3m-2n+p).
25.(12分)【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究:
①(x+2)(x+3)=x2+5x+6;
②(x-4)(x+1)=x2-3x-4;
③(y-5)(y-3)=y2-8y+15.
通过以上计算发现,形如(x+p)(x+q)的两个多项式相乘,其结果一定为x2+(p+q)x
+pq(p,q为整数).
因为因式分解与整式乘法是方向相反的变形,所以一定有x2+(p+q)x+pq
=(x+p)(x+q),即可将形如x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解成(x+p)(x+q)(p,q为整数).
例如:x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2).
【初步应用】(1)用上面的方法分解因式:x2+6x+8= ;
【类比应用】(2)规律应用:若x2+mx+8可用以上方法进行因式分解,则整数m的所有可能值是 ;
【拓展应用】(3)分解因式:(x2-4x)2-2(x2-4x)-15.第十四章 整式的乘法与因式分解
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
1.(2023·贵阳观山湖区期中)老师在黑板上书写了一个正确的算式,随后用手掌遮住了一个单项式,形式如下:a·=a3,则处应为(C)
A.3 B.a C.a2 D.a3
2.下列从左到右的变形中,属于因式分解的是(A)
A.4x2-1=(2x+1)(2x-1) B.2xy2=2x·y
C.(-x-1)2=x2+2x+1 D.x2+2x+2=x(x+2)+2
3.下列各式中,计算结果等于a6的是(A)
A.a3·a3 B.(a2)4
C.a8-a2 D.a12÷a2
4.(2023·益阳中考)下列因式分解正确的是(A)
A.2a2-4a+2=2(a-1)2
B.a2+ab+a=a(a+b)
C.4a2-b2=(4a+b)(4a-b)
D.a3b-ab3=ab(a-b)2
5.化简:20a7b6c÷(-4a3b2)÷(ab)的值为(D)
A.-5a5b2c B.-5a5b5c
C.5a5b2c D.-5a3b3c
6.(2023·黑龙江中考)下列运算正确的是(C)
A.(-2a)2=-4a2
B.(a-b)2=a2-b2
C.(-m+2)(-m-2)=m2-4
D.(a5)2=a7
7.若a+b=3,则a2-b2+6b的值为(C)
A.3 B.6 C.9 D.12
8.如果(x-3)(2x+4)=2x2-mx+n,那么m,n的值分别是(C)
A.2,12 B.-2,12 C.2,-12 D.-2,-12
9.若x2+(m-1)x+1可以用完全平方公式进行因式分解,则m的值为(D)
A.-3 B.1 C.-3,1 D.-1,3
10.已知a2+2ab+b2=0,那么代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值为(A)
A.0 B.2 C.4 D.6
11.如图,由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案,该图案的面积为49,小正方形的面积为4,若分别用x,y(x>y)表示小长方形的长和宽,则下列关系式中不正确的是(C)
A.x2+2xy+y2=49 B.x2-2xy+y2=4
C.x2+y2=25 D.x2-y2=14
12.已知长方形的周长为16 cm,它两邻边长分别为x cm,y cm,且满足(x-y)2-2x+
2y+1=0,则该长方形的面积为(A)
A. cm2 B. cm2 C.15 cm2 D.16 cm2
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.计算:(π-3)0+|-2 023|= 2 024 .
14.如果(m2+n2+1)与(m2+n2-1)的乘积为15,那么m2+n2的值为 4 .
15.把一根20 cm长的铁丝分成两段,将每一段围成一个正方形,若这两个正方形的面积之差是5 cm2,则这两段铁丝的长分别为 12 cm和8 cm .
16.已知x-y=1,x2+y2=25,则xy= 12 ,x+y= ±7 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2023·黔南福泉市质检)分解因式:
(1)8a3b2+12ab3c;
(2)4ab2-4a2b-b3;
(3)2a(x-y)-6b(y-x);
(4)(y2-1)2-6(y2-1)+9.
【解析】(1)原式=4ab2(2a2+3bc);
(2)原式=-b(-4ab+4a2+b2)=-b(2a-b)2;
(3)原式=2a(x-y)+6b(x-y)=2(x-y)(a+3b);
(4)原式=(y2-1-3)2=(y2-4)2=(y+2)2(y-2)2.
18.(10分)计算:
(1)(x+2)(x-3);
(2)(x+2y)(x-y)-(x+y)2;
(3)(a+2b+c)2;
(4)(x-2y+3z)(x+2y-3z).
【解析】(1)原式=x2-3x+2x-6=x2-x-6;
(2)原式=x2-xy+2xy-2y2-(x2+2xy+y2)=x2-xy+2xy-2y2-x2-2xy-y2=-xy-3y2;
(3)(a+2b+c)2=[(a+2b)+c]2=(a+2b)2+2(a+2b)c+c2=a2+4ab+4b2+2ac+4bc+c2;
(4)(x-2y+3z)(x+2y-3z)=[x-(2y-3z)][x+(2y-3z)]=x2-(2y-3z)2=x2-(4y2-12yz+9z2)=x2-4y2+12yz-9z2.
19.(10分)(2024·六盘水钟山区质检)如果xn=y,那么我们规定(x,y)=n,例如:因为32=9,所以(3,9)=2.
(1)[理解]根据上述规定,填空:(2,8)= ,(2,4)= ;
(2)[应用]若(4,12)=a,(4,5)=b,(4,60)=c,试求a,b,c之间的等量关系.
【解析】(1)由题意知,∵23=8,22=4,
∴(2,8)=3,(2,4)=2.
答案:3 2
(2)由题意知,4a=12,4b=5,4c=60,
∵12×5=60,
∴4a·4b=4c,
∴4a+b=4c,即a+b=c.
20.(10分)某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误,解答过程如下:
原式=a2+2ab-(a2-b2) (第一步)
=a2+2ab-a2-b2(第二步)
=2ab-b2 (第三步)
(1)该同学解答过程从第 步开始出错,错误的原因是 ;
(2)写出此题正确的解答过程.
【解析】(1)该同学解答过程从第二步开始出错,错误的原因是去括号时没有变号.
答案:二 去括号时没有变号
(2)原式=a2+2ab-(a2-b2)=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2.
21.(10分)甲、乙两位同学在对mx2+ax+b分解因式时,甲仅看错了a,分解结果为2(x-1)(x-9);乙仅看错了b,分解结果为2(x-2)(x-4),求m,a,b的正确值,并将mx2+ax+b因式分解.
【解析】∵2(x-1)(x-9)=2x2-20x+18,2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16,
∴m=2,a=-12,b=18,
则2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.
22.(12分)(2024·贵阳期中)某学校分为初中部和小学部,初中部的学生人数比小学部多.做广播操时,初中部排成的是一个规范的长方形方阵,每排(3a-b)人,站有(3a+2b)排;小学部站的方阵,排数和每排人数都是2(a+b).
(1)试求该学校初中部比小学部多多少名学生;
(2)当a=10,b=2时,试求该学校一共有多少名学生.
【解析】(1)该学校初中部学生人数为(3a-b)(3a+2b)=9a2+3ab-2b2,
小学部学生人数为2(a+b)×2(a+b)=4(a+b)2=4×(a2+2ab+b2)=4a2+8ab+4b2,
该学校初中部比小学部多的学生数为9a2+3ab-2b2-(4a2+8ab+4b2)=5a2-5ab-6b2,
答:该学校初中部比小学部多(5a2-5ab-6b2)名学生.
(2)该学校初中部和小学部一共的学生数为9a2+3ab-2b2+(4a2+8ab+4b2)=13a2+11ab+2b2,
当a=10,b=2时,原式=13×102+11×10×2+2×22=1 528(名).
答:该学校一共有1 528名学生.
23.(12分)阅读下面的用配方法分解因式的过程,然后完成下列问题:
x2+6x+8=x2+2·x·3+32-32+8=(x+3)2-12=[(x+3)+1][(x+3)-1]=(x+4)(x+2).
(1)模仿:根据材料运用配方法分解因式x2-12x-28;
(2)应用:已知a,b是一个等腰三角形的两边长,且满足a2+b2-6a-8b+25=0,求这个等腰三角形的周长.
【解析】(1)原式=x2-2·x·6+62-62-28
=(x-6)2-82
=(x-6+8)(x-6-8)
=(x+2)(x-14).
(2)∵a2+b2-6a-8b+25=0,
∴a2-6a+9+b2-8b+16=0.
∴(a-3)2+(b-4)2=0,
∴a-3=0,b-4=0.
∴a=3,b=4.
∵△ABC是等腰三角形,设第三边是c,
∴c=3或c=4.
当c=3时,周长为3+3+4=10;
当c=4时,周长为3+4+4=11.
∴等腰三角形的周长为10或11.
24.(12分)乘法公式的探究及应用.
(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,它的宽是 ,长是 ,面积是 .(写成多项式乘法的形式)
(3)比较1,2两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式 .(用式子表达)
(4)运用你所得到的公式,计算下列各题:
①104×96;
②(3m+2n-p)(3m-2n+p).
【解析】(1)由题意得,题图1中阴影部分的面积是a2-b2.
答案:a2-b2
(2)由题意得,题图2中长方形的宽是a-b,长是a+b,面积是(a+b)(a-b).
答案:a-b a+b (a+b)(a-b)
(3)由题意可得公式:a2-b2=(a+b)(a-b).
答案:a2-b2=(a+b)(a-b)
(4)①104×96
=(100+4)(100-4)
=1002-42
=10 000-16
=9 984;
②(3m+2n-p)(3m-2n+p)
=[3m+(2n-p)][3m-(2n-p)]
=(3m)2-(2n-p)2
=9m2+4np-4n2-p2.
25.(12分)【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究:
①(x+2)(x+3)=x2+5x+6;
②(x-4)(x+1)=x2-3x-4;
③(y-5)(y-3)=y2-8y+15.
通过以上计算发现,形如(x+p)(x+q)的两个多项式相乘,其结果一定为x2+(p+q)x
+pq(p,q为整数).
因为因式分解与整式乘法是方向相反的变形,所以一定有x2+(p+q)x+pq
=(x+p)(x+q),即可将形如x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解成(x+p)(x+q)(p,q为整数).
例如:x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2).
【初步应用】(1)用上面的方法分解因式:x2+6x+8= ;
【类比应用】(2)规律应用:若x2+mx+8可用以上方法进行因式分解,则整数m的所有可能值是 ;
【拓展应用】(3)分解因式:(x2-4x)2-2(x2-4x)-15.
【解析】(1)x2+6x+8
=x2+(2+4)x+2×4
=(x+2)(x+4).
答案:(x+2)(x+4)
(2)∵8=1×8=2×4=(-1)×(-8)=(-2)×(-4),
∴x2+(8+1)x+8=(x+8)(x+1),
x2+(2+4)x+8=(x+2)(x+4),
x2+(-1-8)x+8=(x-1)(x-8),
x2+(-2-4)x+8=(x-2)(x-4),
∴m=8+1=9或2+4=6或-1-8=-9或-2-4=-6,
∴整数m的值可能是±6或±9.
答案:±6或±9
(3)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15
=(x2-4x)2+(-5+3)(x2-4x)+(-5)×3
=(x2-4x-5)(x2-4x+3)
=[x2+(-5+1)x+(-5)×1][x2+(-3-1)x+(-3)×(-1)]
=(x-5)(x+1)(x-3)(x-1).
