11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
11.1.3 三角形的稳定性
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 三角形的高
1.(2024·遵义红花岗区期中)如图,△ABC的边BC上的高是(A)
A.线段AF B.线段DB
C.线段CF D.线段BE
2.(2024·贵阳花溪区质检)如图,在△ABC中,∠ACB>90°,AD⊥BD,BE⊥AE,CF⊥AB,垂足分别是点D,E,F,则下列说法错误的是(D)
A.AD是△ABD的高
B.CF是△ABC的高
C.BE是△ABC的高
D.BC是△BCF的高
3.下列说法错误的是(B)
A.锐角三角形的三条高交于一点
B.直角三角形只有一条高线
C.钝角三角形有两条高线在三角形的外部
D.任意三角形都有三条高线
知识点2 三角形的中线
4.如图,在△ABC中,AB=7,AC=4,AD为BC边上的中线,则△ABD与△ACD的周长之差为(B)
A.2 B.3 C.4 D.5
5.如图,已知△ABC中,AD是△ABC的中线,若△ABC的面积等于8,则△ABD的面积等于(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
知识点3 三角形的角平分线
6.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论中错误的是(D)
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
知识点4 三角形的稳定性
7.人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是(D)
A.两点之间,线段最短
B.垂线段最短
C.两直线平行,内错角相等
D.三角形具有稳定性
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.(2023·遵义红花岗区期中)下列说法错误的是(A)
A.三角形的三条高的交点一定在三角形内部
B.三角形的三条中线的交点一定在三角形内部
C.三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部
D.三角形的高、中线和角平分线都有三条
9.如图,用三角板作△ABC的边AB上的高线,下列三角板的摆放位置正确的是(B)
10.(2023·铜仁德江县期中)如图,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是(C)
A.AB=2BF
B.∠ACE=∠ACB
C.AE=BE
D.CD⊥BE
11.如图,△ABC中,点E是BC上的一点,EC=3BE,点D是AC中点,若S△ABC=36,则S△ADF-S△BEF的值为(A)
A.9 B.12 C.18 D.24
12.(易错警示题)AD是△ABC中BC边上的高,已知AD=5,BD=4,CD=2,则△ABC的面积等于 5或15 .
13.(素养提升题)如图,请你在△ABC上画三条线段,把这个三角形分成面积相等的四部分,看谁的方法多
【解析】因为“三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两部分”,所以可以从三角形的中线入手,利用“三角形等底等高必等积”进行分析.如图所示(答案不唯一):
三角形的中线分成的两个三角形的周长及面积的关系:
(1)周长关系:如图1所示,AD是△ABC的中线,
△ABD的周长=AB+BD+AD,△ACD的周长=AC+CD+AD,所以△ABD的周长-△ACD的周长=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.即△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差.
(2)面积关系:如图2所示,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的高.则S△ABD=BD·AE, S△ACD=CD·AE,因为BD=CD,
所以BD·AE=CD·AE,所以S△ABD=S△ACD.
即三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分.11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
11.1.3 三角形的稳定性
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 三角形的高
1.(2024·遵义红花岗区期中)如图,△ABC的边BC上的高是( )
A.线段AF B.线段DB
C.线段CF D.线段BE
2.(2024·贵阳花溪区质检)如图,在△ABC中,∠ACB>90°,AD⊥BD,BE⊥AE,CF⊥AB,垂足分别是点D,E,F,则下列说法错误的是( )
A.AD是△ABD的高
B.CF是△ABC的高
C.BE是△ABC的高
D.BC是△BCF的高
3.下列说法错误的是( )
A.锐角三角形的三条高交于一点
B.直角三角形只有一条高线
C.钝角三角形有两条高线在三角形的外部
D.任意三角形都有三条高线
知识点2 三角形的中线
4.如图,在△ABC中,AB=7,AC=4,AD为BC边上的中线,则△ABD与△ACD的周长之差为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.如图,已知△ABC中,AD是△ABC的中线,若△ABC的面积等于8,则△ABD的面积等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
知识点3 三角形的角平分线
6.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论中错误的是( )
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
知识点4 三角形的稳定性
7.人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是( )
A.两点之间,线段最短
B.垂线段最短
C.两直线平行,内错角相等
D.三角形具有稳定性
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.(2023·遵义红花岗区期中)下列说法错误的是( )
A.三角形的三条高的交点一定在三角形内部
B.三角形的三条中线的交点一定在三角形内部
C.三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部
D.三角形的高、中线和角平分线都有三条
9.如图,用三角板作△ABC的边AB上的高线,下列三角板的摆放位置正确的是( )
10.(2023·铜仁德江县期中)如图,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是( )
A.AB=2BF
B.∠ACE=∠ACB
C.AE=BE
D.CD⊥BE
11.如图,△ABC中,点E是BC上的一点,EC=3BE,点D是AC中点,若S△ABC=36,则S△ADF-S△BEF的值为( )
A.9 B.12 C.18 D.24
12.(易错警示题)AD是△ABC中BC边上的高,已知AD=5,BD=4,CD=2,则△ABC的面积等于 .
13.(素养提升题)如图,请你在△ABC上画三条线段,把这个三角形分成面积相等的四部分,看谁的方法多
三角形的中线分成的两个三角形的周长及面积的关系:
(1)周长关系:如图1所示,AD是△ABC的中线,
△ABD的周长=AB+BD+AD,△ACD的周长=AC+CD+AD,所以△ABD的周长-△ACD的周长=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.即△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差.
(2)面积关系:如图2所示,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的高.则S△ABD=BD·AE, S△ACD=CD·AE,因为BD=CD,
所以BD·AE=CD·AE,所以S△ABD=S△ACD.
即三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分.
