11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 三角形内角和定理
1.已知,在△ABC中,∠A=60°,∠C=80°,则∠B=(D)
A.60° B.30° C.20° D.40°
2.已知,在△ABC中,∠B是∠A的3倍,∠C比∠A大30°,则∠A的度数是(A)
A.30° B.50° C.70° D.90°
3.(教材再开发·P12例1变式)如图,△ABC中,CD平分∠ACB,若∠A=68°,∠BCD= 31°,则∠B= 50° .
4.(教材再开发·P16习题T4变式)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE平分
∠BAC, ∠B=60°,∠C=70°.求∠DAC和∠DAE的度数.
【解析】∵AD是BC边上的高,∠C=70°,
∴∠DAC=180°-90°-∠C=20°.
又∵∠B=60°,∴∠BAC=180°-70°-60°=50°,∵AE平分∠BAC,
∴∠EAC=∠BAC=25°,
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=5°.
知识点2 直角三角形的性质和判定
5.(2023·黔西南兴义市质检)已知直角三角形ABC中,有一个锐角等于50°,则另一个锐角的度数是(C)
A.50° B.45° C.40° D.30°
6.具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是(C)
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A=∠B=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4
7.(2024·铜仁万山区期中)Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,则∠A=(C)
A.60° B.30° C.50° D.40°
8.如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,则
∠ADE的度数是 60° .
9.如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为点D.若∠1=
∠2,则△ABC是直角三角形吗 为什么
【解析】△ABC是直角三角形.理由如下:
∵ED⊥AB,
∴∠ADE=90°,△ADE是直角三角形.
∴∠1+∠A=90°.
又∵∠1=∠2,
∴∠2+∠A=90°.
∴△ABC是直角三角形.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
10.(2023·聊城中考)如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,
∠EBC=80°,则∠ACB的度数为(B)
A.65° B.75° C.85° D.95°
11.(2024·六盘水钟山区期末)如图,在△ABC中,点D为BC边延长线上的一点,DF⊥AB于点F,交AC于点E,若∠A=40°,∠D=50°,则∠ACB的度数为(C)
A.80° B.90° C.100° D.105°
12.(2023·株洲中考)《周礼·考工记》中记载有:“……半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)……”.意思是:“……直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘……”即:1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
问题:图(1)为中国古代一种强弩图,图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图,若
∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C= 22.5 度.
13.(教材再开发·P12例2变形题)轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则∠A= 45 °.
14.(素养提升题)已知:线段AB,CD相交于点O,连接AD,CB.
(1)如图1,求证:∠A+∠D=∠B+∠C;
(2)如图2,∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E,并且与AB,CD分别相交于点M,N,∠A=28°,∠C=32°,求∠E的度数;
(3)如图3,∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E,并且与AB,CD分别相交于点M,N,∠CDE=∠ADC,∠CBE=∠ABC,试探究∠A,∠C,∠E三者之间存在的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,
∴∠A+∠D=∠C+∠B;
(2)∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E,∴∠ADE=∠CDE,∠ABE=∠CBE,由(1)可得∠A+∠ADE=∠E+∠ABE,∠C+∠CBE=∠E+∠CDE,
∴∠A+∠C=2∠E,∵∠A=28°,∠C=32°,
∴∠E=30°;
(3)∠A+2∠C=3∠E.
理由:∵∠CDE=∠ADC,∠CBE=∠ABC,
∴∠ADE=2∠CDE,∠ABE=2∠CBE,
由(1)可得∠A+∠ADE=∠E+∠ABE,∠C+∠CBE=∠E+∠CDE,
∴2∠C+2∠CBE=2∠E+2∠CDE,
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE=3∠E+∠ABE+2∠CDE,即∠A+2∠C=3∠E.11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 三角形内角和定理
1.已知,在△ABC中,∠A=60°,∠C=80°,则∠B=( )
A.60° B.30° C.20° D.40°
2.已知,在△ABC中,∠B是∠A的3倍,∠C比∠A大30°,则∠A的度数是( )
A.30° B.50° C.70° D.90°
3.(教材再开发·P12例1变式)如图,△ABC中,CD平分∠ACB,若∠A=68°,∠BCD= 31°,则∠B= .
4.(教材再开发·P16习题T4变式)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE平分
∠BAC, ∠B=60°,∠C=70°.求∠DAC和∠DAE的度数.
知识点2 直角三角形的性质和判定
5.(2023·黔西南兴义市质检)已知直角三角形ABC中,有一个锐角等于50°,则另一个锐角的度数是( )
A.50° B.45° C.40° D.30°
6.具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A=∠B=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4
7.(2024·铜仁万山区期中)Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,则∠A=( )
A.60° B.30° C.50° D.40°
8.如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,则
∠ADE的度数是 .
9.如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为点D.若∠1=
∠2,则△ABC是直角三角形吗 为什么
综合能力练 巩固提升 迁移运用
10.(2023·聊城中考)如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,
∠EBC=80°,则∠ACB的度数为( )
A.65° B.75° C.85° D.95°
11.(2024·六盘水钟山区期末)如图,在△ABC中,点D为BC边延长线上的一点,DF⊥AB于点F,交AC于点E,若∠A=40°,∠D=50°,则∠ACB的度数为( )
A.80° B.90° C.100° D.105°
12.(2023·株洲中考)《周礼·考工记》中记载有:“……半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)……”.意思是:“……直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘……”即:1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
问题:图(1)为中国古代一种强弩图,图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图,若
∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C= 度.
13.(教材再开发·P12例2变形题)轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则∠A= °.
14.(素养提升题)已知:线段AB,CD相交于点O,连接AD,CB.
(1)如图1,求证:∠A+∠D=∠B+∠C;
(2)如图2,∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E,并且与AB,CD分别相交于点M,N,∠A=28°,∠C=32°,求∠E的度数;
(3)如图3,∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E,并且与AB,CD分别相交于点M,N,∠CDE=∠ADC,∠CBE=∠ABC,试探究∠A,∠C,∠E三者之间存在的数量关系,并说明理由.
