第十一章 三角形
一、选择题(每小题3分,共36分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
1.(2023·长沙中考)下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )
A.1,3,4 B.2,2,7 C.4,5,7 D.3,3,6
2.若一个多边形的内角和与外角和相加是1 800°,则此多边形是( )
A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形
3.(2024·遵义质检)如图,直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上,点B落在直线b上,若∠1=15°,∠2=25°,则∠ABC的大小为( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
4.如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD的度数是( )
A.145° B.150° C.155° D.160°
5.窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计,窗棂上雕刻有线槽和各种花纹,构成种类繁多的优美图案.如图是从某窗棂样式结构图案上摘取的部分.已知BC∥DE,∠3=85°,则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是( )
A.320° B.265° C.245° D.225°
6.如果一个三角形的三个外角之比为2∶3∶4,则分别与这三个外角相邻的三个内角的度数之比为( )
A.4∶3∶2 B.3∶2∶4 C.5∶3∶1 D.3∶1∶5
7.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AD的中点,△ABC的面积是4 cm2,那么△BEC的面积是( )
A.2.5 cm2 B.2 cm2 C.1.5 cm2 D.1 cm2
8.如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,如果
∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠P= °.( )
A.15 B.30 C.45 D.60
9.用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面,则“筝形”瓷砖中的内角∠BCD的度数为( )
A.120° B.135° C.144° D.150°
10.(2024·安顺关岭县期末)将一个五边形纸片,剪去一个角后得到另一个多边形,则得到的多边形的内角和是( )
A.360° B.540°
C.360°或540° D.360°或540°或720°
11.(2024·安顺关岭县期末)如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCED的外面时,此时测得∠1=112°,∠A=40°,则∠2的度数为( )
A.32° B.33° C.34° D.38°
12.如图,在△ABC中,∠A=80°,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,得∠A2,…,∠A3BC与∠A3CD的平分线相交于点A4,得∠A4,则∠A4的度数为( )
A.5° B.10° C.15° D.20°
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·吉林中考)如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,其数学道理是
.
14.△ABC的两条边的长度分别为3和5,若第三条边长为偶数,则△ABC的周长为
.
15.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1 260°,则从这个多边形一个顶点能引出对角线 条.
16.(2024·贵阳云岩区质检)如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,F在射线AD上,FE⊥BC于E,∠C=80°,∠B=36°,则∠F= 度.
三、解答题(共98分)
17.(10分)已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)化简代数式|a+b-c|-|b-a-c| .
(2)若∠B=∠A+18°,∠C=∠B+18°,求△ABC的各内角度数.
18.(10分)如图,AD为△ABC的中线,AB=12 cm,△ABD和△ADC的周长差是4 cm,求△ABC的边AC的长(AC
19.(10分)(2024·黔东南从江县期中)如图,AD是△ABC的角平分线,BE是△ABD的高,∠ABC=40°,∠C=80°.求∠EBD的度数.
20.(10分)(1)一个多边形的内角和是外角和的2倍,这个多边形是几边形
(2)小明求得一个多边形的内角和为1 180°,小强很快发现小明所得的度数有误,后来小明复查时发现他重复加了一个内角.你能求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数是多少吗
21.(10分)(2024·遵义绥阳县期中)如图,在△ABC中,已知AD是角平分线,∠B=62°,∠C=58°.
(1)求∠BAD的度数;
(2)若DE⊥AC于点E,求∠ADE的度数.
22.(12分)如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等,那么这样的多边形叫做正多边形,如正三角形就是等边三角形,正四边形就是正方形,如下图,就是一组正多边形,
(1)观察上面每个正多边形中的∠α,填写下表:
正多边形边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 _____ _____ _____ _____ … _____
(2)根据规律,计算正八边形中的∠α的度数;
(3)是否存在正n边形使得∠α=21° 若存在,请求出n的值,若不存在,请说明理由.
23.(12分)看图回答:
问题:
(1)内角和为2 021°,小明为什么说不可能
(2)小华求的是几边形的内角和
(3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求出吗 是多少度呢
24.(12分)在△ABC中,AD是角平分线,∠B<∠C.
(1)如图(1),AE是高,∠B=50°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
(2)如图(2),点E在AD上,EF⊥BC于点F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系,并证明你的结论.
(3)如图(3),点E在AD的延长线上,EF⊥BC于点F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系是 (直接写出结论,不需证明).
25.(12分)综合与探究:小明在学习中遇到这样一个问题:如图1,∠MON=90°,点A,B分别在OM,ON上运动(不与点O重合).
探究与发现:若BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D.
(1)①若∠BAO=70°,则∠D= °;
②猜想:∠D的度数是否随A,B的运动而发生变化 并说明理由;
(2)拓展延伸:如图2,若∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO,求∠D的度数.
(3)在图1的基础上,如果∠MON=α,其余条件不变,随着点A,B的运动(如图3),
∠D= (用含α的代数式表示). 第十一章 三角形
一、选择题(每小题3分,共36分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
1.(2023·长沙中考)下列长度的三条线段,能组成三角形的是(C)
A.1,3,4 B.2,2,7 C.4,5,7 D.3,3,6
2.若一个多边形的内角和与外角和相加是1 800°,则此多边形是(B)
A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形
3.(2024·遵义质检)如图,直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上,点B落在直线b上,若∠1=15°,∠2=25°,则∠ABC的大小为(C)
A.40° B.45° C.50° D.55°
4.如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD的度数是(B)
A.145° B.150° C.155° D.160°
5.窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计,窗棂上雕刻有线槽和各种花纹,构成种类繁多的优美图案.如图是从某窗棂样式结构图案上摘取的部分.已知BC∥DE,∠3=85°,则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是(B)
A.320° B.265° C.245° D.225°
6.如果一个三角形的三个外角之比为2∶3∶4,则分别与这三个外角相邻的三个内角的度数之比为(C)
A.4∶3∶2 B.3∶2∶4 C.5∶3∶1 D.3∶1∶5
7.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AD的中点,△ABC的面积是4 cm2,那么△BEC的面积是(B)
A.2.5 cm2 B.2 cm2 C.1.5 cm2 D.1 cm2
8.如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,如果
∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠P= °.(B)
A.15 B.30 C.45 D.60
9.用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面,则“筝形”瓷砖中的内角∠BCD的度数为(C)
A.120° B.135° C.144° D.150°
10.(2024·安顺关岭县期末)将一个五边形纸片,剪去一个角后得到另一个多边形,则得到的多边形的内角和是(D)
A.360° B.540°
C.360°或540° D.360°或540°或720°
11.(2024·安顺关岭县期末)如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCED的外面时,此时测得∠1=112°,∠A=40°,则∠2的度数为(A)
A.32° B.33° C.34° D.38°
12.如图,在△ABC中,∠A=80°,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,得∠A2,…,∠A3BC与∠A3CD的平分线相交于点A4,得∠A4,则∠A4的度数为(A)
A.5° B.10° C.15° D.20°
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·吉林中考)如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,其数学道理是
三角形具有稳定性 .
14.△ABC的两条边的长度分别为3和5,若第三条边长为偶数,则△ABC的周长为
12或14 .
15.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1 260°,则从这个多边形一个顶点能引出对角线 8 条.
16.(2024·贵阳云岩区质检)如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,F在射线AD上,FE⊥BC于E,∠C=80°,∠B=36°,则∠F= 22 度.
三、解答题(共98分)
17.(10分)已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)化简代数式|a+b-c|-|b-a-c| .
(2)若∠B=∠A+18°,∠C=∠B+18°,求△ABC的各内角度数.
【解析】(1)由题知a+b-c>0,b-a-c<0,
∴|a+b-c|-|b-a-c|=(a+b-c)-(-b+a+c)=a+b-c+b-a-c=2b-2c;
答案:2b-2c
(2)∵∠B=∠A+18°,∠C=∠B+18°,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+(∠A+18°)+(∠A+18°+18°)=180°,
∴∠A=42°,
∴∠B=∠A+18°=42°+18°=60°,∠C=∠B+18°=60°+18°=78°.
18.(10分)如图,AD为△ABC的中线,AB=12 cm,△ABD和△ADC的周长差是4 cm,求△ABC的边AC的长(AC【解析】∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD,
∵△ABD和△ADC的周长差是4 cm,
∴AB+AD+BD-(AC+AD+CD)=AB+AD+BD-AC-AD-BD=AB-AC=4(cm),
∵AB=12 cm,∴AC=AB-4=8(cm).
19.(10分)(2024·黔东南从江县期中)如图,AD是△ABC的角平分线,BE是△ABD的高,∠ABC=40°,∠C=80°.求∠EBD的度数.
【解析】∵∠ABC=40°,∠C=80°,∴∠BAC=180°-40°-80°=60°,
∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠BAC=30°,
∵BE是△ABD的高,∴∠ABE=90°-30°=60°,
∴∠EBD=60°-40°=20°.
20.(10分)(1)一个多边形的内角和是外角和的2倍,这个多边形是几边形
(2)小明求得一个多边形的内角和为1 180°,小强很快发现小明所得的度数有误,后来小明复查时发现他重复加了一个内角.你能求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数是多少吗
【解析】(1)设这个多边形的边数是n,
由题意得(n-2)×180°=360°×2,∴n=6.
答:这个多边形是六边形.
(2)设这个多边形的边数是m,重复加的那个角的度数是x°,
由题意得,(m-2)×180°+x°=1 180°,
∴(m-2)×180°=1 180°-x°,
∵1 180°÷180°=6……100°,
∴x=100,(m-2)×180°=1 080°,∴m=8.
答:这个多边形的边数是8,重复加的那个角的度数是100°.
21.(10分)(2024·遵义绥阳县期中)如图,在△ABC中,已知AD是角平分线,∠B=62°,∠C=58°.
(1)求∠BAD的度数;
(2)若DE⊥AC于点E,求∠ADE的度数.
【解析】(1)∵在△ABC中,∠B=62°,∠C=58°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠BAC=30°;
(2)∵∠CAD=∠BAC=30°,DE⊥AC,
∴在Rt△ADE中,∠EAD=30°,∴∠ADE=90°-∠EAD=60°.
22.(12分)如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等,那么这样的多边形叫做正多边形,如正三角形就是等边三角形,正四边形就是正方形,如下图,就是一组正多边形,
(1)观察上面每个正多边形中的∠α,填写下表:
正多边形边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 _____ _____ _____ _____ … _____
(2)根据规律,计算正八边形中的∠α的度数;
(3)是否存在正n边形使得∠α=21° 若存在,请求出n的值,若不存在,请说明理由.
【解析】(1)观察上面每个正多边形中的∠α,填写下表:
正多边形边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 60° 45° 36° 30° … ()°
(2)根据规律,计算正八边形中的∠α=()°=22.5°;
(3)不存在,理由如下:设存在正n边形使得∠α=21°,得∠α=21°=()°.
解得n=8,n是正整数,n=8(不符合题意要舍去),不存在正n边形使得∠α=21°.
23.(12分)看图回答:
问题:
(1)内角和为2 021°,小明为什么说不可能
(2)小华求的是几边形的内角和
(3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求出吗 是多少度呢
【解析】(1)因为凸多边形的内角和是:(边数-2)×180°,边数是整数,内角和一定是180°的整数倍,所以内角和个位数不可能是1. 所以小明说不可能.
(2)因为2 021÷180=11余41,所以11+2=13,即小华求的是十三边形的内角和.
(3)因为13边形的内角和是(13-2)×180°=1 980°,而2 021°-1 980°=41°,所以错把外角当内角的那个外角的度数是41°.
24.(12分)在△ABC中,AD是角平分线,∠B<∠C.
(1)如图(1),AE是高,∠B=50°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
(2)如图(2),点E在AD上,EF⊥BC于点F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系,并证明你的结论.
(3)如图(3),点E在AD的延长线上,EF⊥BC于点F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系是 (直接写出结论,不需证明).
【解析】见全解全析
25.(12分)综合与探究:小明在学习中遇到这样一个问题:如图1,∠MON=90°,点A,B分别在OM,ON上运动(不与点O重合).
探究与发现:若BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D.
(1)①若∠BAO=70°,则∠D= °;
②猜想:∠D的度数是否随A,B的运动而发生变化 并说明理由;
(2)拓展延伸:如图2,若∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO,求∠D的度数.
(3)在图1的基础上,如果∠MON=α,其余条件不变,随着点A,B的运动(如图3),
∠D= (用含α的代数式表示).
【解析】(1)①∵∠BAO=70°,AD平分∠BAO,∴∠BAD=35°,
∵∠MON=90°,∴∠ABN=70°+90°=160°,
∵BC平分∠ABN,∴∠ABC=80°,
∵∠D+∠BAD=∠CBA,∴∠D=45°;
答案:45
②不变化,
理由如下:
∵AD平分∠BAO,BC平分∠ABN,
∴∠BAD=∠BAO,∠CBA=∠NBA,
∵∠D+∠BAD=∠CBA,
∴∠D=∠CBA-∠BAD=∠NBA-∠BAO=(∠NBA-∠BAO)=∠MON,
∵∠MON=90°,∴∠D=45°,∴∠D的度数不发生变化;
(2)由(1)②知,∠D=∠CBA-∠BAD,
∵∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO,
∴∠D=∠ABN-∠BAO=(∠ABN-∠BAO)
=∠MON,∵∠MON=90°,∴∠D=30°;
(3)见全解全析