第二十二章 二次函数 单元测试（含答案）2024-2025学年数学人教版（2012）九年级上册

二次函数
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.当函数是二次函数时，a的取值为( )
A. B. C. D.
2.已知A、B是抛物线上关于对称轴对称的两点，若点A的横坐标是，则点B横坐标为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.二次函数的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
4.慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒.已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为( )
A. B.
C. D.
5.若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是( )
A.点P B.点Q C.点M D.点N
6.已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线：（a、b、c为常数，且），则代数式与0的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定
7.已知二次函数，则下列表述正确的是( )
A.若，抛物线的开口向下 B.当时，y随x的增大而增大
C.图象与x轴一定有两个交点 D.图象与y轴的交点坐标为
8.如图所示，是一座抛物线型的拱桥，当桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，当水面下降后，水面的宽度是( )m.
A.6 B. C. D.
9.如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是( )
A.二次函数图象的对称轴是直线
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当时，y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
10.已知二次函数图象的对称轴为直线,部分图象如图所示,下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数,则有；⑤当图象经过点时,方程的两根为,,则,其中正确的结论是( )
A.②③⑤ B.①③④⑤ C.②③④⑤ D.①③④
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.将抛物线向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为______.
12.如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，要使，则x满足的条件是_____.
13.如图是函数的部分图像，关于x的方程时，符合条件的方程的解有________个.
14.如图为二次函数（）的图象，则下列说法正确的有_______.（填序号）
①；
②；
③；
④当时，.
15.如图,抛物线经过点,点B在抛物线上,轴,且AB平分.则此抛物线的解析式是___________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）已知抛物线.
（1）求它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）说明它是由抛物线如何平移得到.
17.（8分）已知二次函数(m为常数)
(1)二次函数图像经过某定点,求出定点坐标：
(2)求证：不论m取何值,该二次函数图像与x轴总有两个交点.
18.（10分）赛龙舟是中国端午节的习俗之一,也是一项广受欢迎的民俗体育运动.某地计划进行一场划龙舟比赛,图1是比赛途中经过的一座拱桥,图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图,可看作抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,桥拱上的点到水面的竖直高度y(单位：m)与到点O的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系,据调查,龙舟最高处距离水面,为保障安全,通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少.
(1)水面的宽度_______；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案,若每条龙舟赛道宽度为,求最多可设计龙舟赛道的数量.
19.（10分）如图，，是一次函数与二次函数的图象的两个交点.
（1）求m，n的值和二次函数的解析式.
（2）请结合图象直接写出不等式的解集.
20.（12分）为满足市场需求，郴州某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价提高1元，每天要少卖出20盒
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式：
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于57元，如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售月饼多少盒？
21.（12分）如图.已知抛物线经过点和点,点C为抛物线与y轴的交点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点E为直线上方抛物线上的一点,请求出面积的最大值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：函数是二次函数，
，，
，，，
故选D.
2.答案：A
解析：A、B是抛物线上关于对称轴对称的两点，
抛物线对称轴为，
点A的横坐标是，点B横坐标为：2，
故选：A.
3.答案：B
解析：∵
∴顶点坐标为.
故选：B.
4.答案：D
解析：由题意得：，
故选：D.
5.答案：B
解析：因为抛物线的顶点坐标为，所以坐标原点在抛物线顶点的左侧，
又因为该抛物线的顶点在平面直角坐标系的横轴上，所以坐标原点可能是点Q.
6.答案：C
解析：抛物线的对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，
抛物线的对称轴为直线，，
，
由图知抛物线的顶点在x轴上方，
抛物线的顶点在x轴上方，
，
.
故选：C.
7.答案：D
解析：对于，
A、当，即时，抛物线的开口向下，所以A选项不符合题意；
B、当，即，则时，y随x的增大而增大，所以B选项不符合题意；
C、抛物线的顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，此时抛物线与x轴没有公共点，，所以C选项不符合题意；
D、当时，，则抛物线与y轴的交点坐标为，所以D选项符合题意.
故选：D.
8.答案：C
解析：以水面所在的直线为x轴，以这座抛物线型拱桥的对称轴为y轴，建立直角坐标系，
设抛物线的函数关系式为：,
∵抛物线过点，∴
又∵当桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，
∴抛物线经过点，∴，
解得
当水面下降后，
解得：，
∴水面的宽度是米，
故选：C.
9.答案：D
解析：二次函数的顶点坐标为，
二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；
二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，
二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为，
把代入，得，
解得，，
当时，，
二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故选D.
10.答案：C
解析：抛物线的开口向上,,
抛物线的对称轴为：,,
抛物线与y轴的交点在x轴的下方,,
,故①错误；
抛物线与x轴有两个交点,,故②正确；
时,,,且,
,
又,,故③正确；
时,y有最小值,
(t为任意实数),即,故④正确；
图象经过点时,方程的两根为,,
二次函数与直线的一个交点为：,
抛物线的对称轴为：,
二次函数与直线的另一个交点为：,
即,,
,故⑤正确,
正确的结论是②③④⑤,
故选C.
11.答案：
解析：将抛物线向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,得到的新的抛物线的解析式为：.
故答案为：.
12.答案：
解析：∵二次函数的对称轴为直线，其与x轴一交点为，
∴二次函数与x轴的另一个交点为，
∴由函数图象可知，当时，，
∴要使，则x满足的条件是，
故答案为：.
13.答案：4
解析：如图，
当时，，顶点为，
当时，，顶点为，
关于x的方程时，
即和的交点的横坐标，
观察函数图象可知，交点有4个，即符合条件的方程的解有4个.
故答案为：4.
14.答案：②④
解析：①图象开口向下，可知，故①错误；
②对称轴在y轴右侧，，则有，即，故②正确；
③当时，，则，
根据，可得：，
，
，
故③错误；
④由图可知，当，，故④正确.
综上可知正确的有②④，
故答案为：②④.
15.答案：
解析：∵抛物线与y轴交于点C,
∴,∴,
∵,∴,
∴,
∵AB平分,
∴,
∵轴,
∴,
∴,
∴,
∴.
把、代入,
得,解得,
∴抛物线解析式为.
故答案为.
16.答案：（1）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
（2）向右平移4个单位，向下平移3个单位得到的.
解析：（1），
抛物线开口向上，对称轴直线，顶点坐标为；
（2），
是由抛物线向右平移4个单位，向下平移3个单位得到的.
17.答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)
令,即,解得
即二次函数过定点
(2)将代入可得
判别式,
一元二次方程有两个不相等的实数根
则不论m取何值,该二次函数图像与x轴总有两个交点.
18.答案：(1)60
(2)4条
解析：(1)令,则,
∴,
解得或,
∴,
∴,
故答案为：60；
(2)令,得,
∴
解得,.
可设计赛道的宽度为,
∵每条龙舟赛道宽度为,
最多可设计赛道4条.
19.答案：（1）；；二次函数的解析式
（2）或
解析：（1）把的坐标代入，
得，
，
一次函数解析式为.
当时，，即，
.
把，的坐标分别代入，
得解得
.
（2）结合图象可知，不等式的解集为或.
20.答案：（1）
（2）每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元
（3）460盒
解析：（1）由题意得：；
（2），
，，
当时，元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得，
解得，，
抛物线的开口向下，
当时，每天销售糕点的利润不低于6000元的利润，
又，.
在中，，
随x的增大而减小，
当时，，
即超市每天至少销售糕点460盒.
21.答案：(1)
(2)面积的最大值为
解析：(1)抛物线经过点和点,
将点和点代入抛物线解析式得：,
解得：,
抛物线解析式为；
(2)在抛物线中,令,则,
,
设直线的解析式为：,
将和代入直线的解析式得：,
解得：,
直线的解析式为,
如图,过点E作轴,交于点D,
,
设,则,
,
,
当时,最大,为,面积的最大值为.