选择必修 第二章 2.3.2 两点间的距离公式 课件(共24张PPT)

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选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
教学目标
学习目标 数学素养
1.会用向量的方法推导两点间的距离公式. 1.数形结合素养和数学运算素养.
2.理解平面直角坐标系两点间的距离公式的结构特点，并会求两点间的距离及其简单的应用. 2.数学运算素养和逻辑推理素养.
3.会用坐标法解决平面几何中的问题． 3.数形结合素养.
温故知新
1.求两条相交直线的交点坐标
②解方程组；
①联立方程组；
③得交点坐标.
2.判断两条直线的位置关系
线的位置关系 公共点的个数 方程组解的个数
相交
平行
重合
有且仅有1个
唯一解
0个
无解
无数个
无数组解
新知探究
我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的. 所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.
如下图, 已知平面内两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),
如何求P1、P2间的距离| P1P2|
在学习向量及其运算的坐标表示时，我们定义有向线段,利用向量的模求的长度（模）.
新知探究
如下图, 已知平面内两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),
如何求P1、P2间的距离| P1P2|
如图，由点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，得
,于是，
.
由此得到 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)两点间的距离公式
.
新知探究
特别的，原点O（0，0）与任一点P（x，y）间的距离
.
平面内两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，
.
新知探究
你能利用 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) 构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？
分类讨论：
① x1 = x2， y1 ≠ y2：|P1P2| = | y2 – y1 |；
x
y
O
P2 (x2，y2)
P1 (x1，y1)
①
② x1 ≠ x2， y1 = y2：|P1P2| = | x2 – x1 |；
x
y
O
P1 (x1，y1)
P2 (x2，y2)
②
x
y
O
P1 (x1，y1)
P2 (x2，y2)
③
Q (x2，y1)
③ x1 ≠ x2，y1 ≠ y2：
|P1Q| = | x2 – x1 |，|P2Q| = | y2 – y1 |，
|P1P2| = .
新知探究
1. 两点间的距离公式：
平面内两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，
.
① 原点 O (0，0) 与任一点 P (x，y) 间的距离：.
② 当直线P1P2垂直于x轴时：|| = ||；
③ 当直线P1P2垂直于y轴时：|| = ||.
2. 两点间的距离公式与两点的先后顺序无关：
.
知新探究
【例1】求下列两点间的距离：
⑴P (-6，0)，Q (0， 2)； ⑵A(3,-1),B(-1,3);
⑶M(-2,-3),N(-2,4).
解：
⑴代入两点间距离公式得：|PQ|=.
⑶∵M与N的横坐标都是-2，
⑵代入两点间距离公式得:|AB|=.
∴|MN|=|4-(-3)|=7.
初试身手
1.已知点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断此三角形的形状，并求其面积．
解：
∵|AB|＝，
|AC|=,
|BC|=,
∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴S△ABC=.
知新探究
【例2】已知点 A ( 1，2)，B (2，)，在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.
解：
方法1：设所求点为P (x，0)，则
|PA|,
|PB|=,
由|PA|=|PB|，得
2 + 2 + 5 = 2 4 + 11，
解得 x=1，
∴所求点为P (1，0)，且
|PA|.
知新探究
【例2】已知点 A ( 1，2)，B (2，)，在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.
解：
方法2：由|PA|=|PB|，得点P在AB的垂直平分线上，
而AB的斜率为，
,
则AB的垂直平分线的斜率,
∴AB的垂直平分线的方程为
由点P在x轴上，令y=0，解得x=1，
∴所求点为P (1，0)，且
|PA|.
初试身手
解：
⑴由题意可知，E为AB的中点，kAB＝=-1，
∴E(3,2)，且kCE＝=1,
∴CE所在直线方程为y－2＝x－3，
即x－y－1＝0．
⑵由,解得,
2.已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
⑴求AB边上的高CE所在直线的方程；
⑵求△ABC的面积．
所以C(4,3)．
初试身手
解：
又因为A(2,3)，B(4,1)，
∴|EC|＝,
|AB|＝，
∴S△ABC＝=2.
2.已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
⑴求AB边上的高CE所在直线的方程；
⑵求△ABC的面积．
新知探究
【例3】用坐标法证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把运算结果“翻译”成几何关系.
如右图,以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0).
由两点间的距离公式，得
证明：
y
x
O
A
B
D
C
(0,0)
(a,0)
(a+b,c)
(b,c)
设B(a,0),D(b,c),
由平行四边形的性质，得C(a+b,c).
如何由平行四边形的性质，得到点C的坐标为(a+b,c)？
|AC| =(a+b) +c ,
BD| =(b-a) +c ，
|AB| =a ，
|AD| =b +c ,|
∴|AC| +|BD| =2(a +b +c )，|AB| +|AD| =a +b +c ,|
∴|AC| +|BD| =2(|AB| +|AD| ).
即平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
初试身手
2.△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，已知A，B，C三点在同一直线上，用坐标法证明|AE|＝|CD|.
证明：
如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系．
设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，
则A(－a,0)，C(c,0)，D()，E()，
∴|AE|=,
|CD|=,
∴|AE|=|CD|.
新知探究
在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题.你能回忆一下证明过程吗 比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会
用向量表示问题中的 几何元素
把向量运算结果“翻 译”成几何结论
进行有关 向量运算
D C
A B
新知探究
建立坐标系，用坐标 表示有关的量
把代数运算结果“翻 译”成几何结论
进行有关 代数运算
用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为：
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译"成几何关系.
新知探究
根据例3的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法 你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗
用坐标法解决几何问题时，关键是要结合图形的特征,建立平面直角坐标系. 建立的坐标系是否合适，会直接影响问题能否方便解决. 建系的原则主要有两点:
⑴让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算;
⑵如果条件中有互相垂直的两条线, 要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果图形为轴对称图形，可考虑将对称轴作为坐标轴.
课堂小结
2.利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤：
1. 两点间的距离公式：
平面内两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，
.
① 原点 O (0，0) 与任一点 P (x，y) 间的距离：.
② 当直线P1P2垂直于x轴时：|| = ||；
③ 当直线P1P2垂直于y轴时：|| = ||.
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数运算
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论
作业布置
作业：
P79-80 习题2.3 第4,5,11，12题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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