天津市蓟州区第一中学2024-2025学年高三上学期第一次学情调研数学试题（PDF无答案）

2024---2025 第一学期第一次学情调研
高三数学
一、选择题（本大题 9 小题，每小题 5 分，共 45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题
目要求的，请将选项涂在答题卡上）
1. 已知集合M x 3 x 5 ， N x x 5或 x 5 ，则M N （ ）
A. x x 5或 x 3 B. x 5 x 5 C. x 3 x 5 D. x x 3或 x 5
2. 设 a,b是两条直线， , 是两个平面，则 a b的一个充分条件是
A． a ,b // , B. a ,b , // C. a ,b , // D. a ,b // ,
3. 下列结论错误的是（ ）
A. 若随机变量 ， 满足 2 1，则。
B. 数据1,3,5,7,9,11,13的第 60 百分位数为 9。
1
C.用简单随机抽样的方法从 51个个体中抽取 2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 。
51
D. 根据分类变量 X与 Y的成对样本数据，计算得到 2 4.712．依据 0.05的独立性检验（ x0.05 3.841），
可判断 X与 Y有关。
4. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家
x e x ex
万事休.”函数 f x 的部分图象大致为（ ）
2 cos x
A. B. C. D.
5. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，三棱锥 A B1CD1的表面积为 4 3，则正方体外接球的体积为（ ）
A. 4 3 B. 6 C. 32 3 D. 8 6
0.2
6. 已知函数 f (x) ln( x2 1)，且 a f 0.2 ，b f log3 4 ， c f log1 3 ，则 a、b、c的大小
3
关系为（ ）
A. a b c B. c a b C. c b a D. b c a
1
{#{QQABKLYCAAg4ogAwAgAMIBTAAACRRh5CLQQw02n6eCkGqQskJAECgALAUYggsGwVxFCAPAOsAQAKAAwIBNNAABBI A=A}=#}#}
7. 已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 3，
AB 2， AC 1， BAC 60 ，则此球的表面积等于
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
8. 下列命题正确的个数为（ ）
10
①长方体 ABCD A1B1C1D1中, AB BC 1, AA1 2 ,则异面直线 AD1与 BD所成角的余弦值为 ，5
②对于命题 p： x0 R， x
2
0 x0 1 0，则命题 p的否定： x R， x
2 x 1 0
③若m,n R ，“ lnm lnn”是“ em en”的充分不必要条件
5 1
④已知 BAC , AB 3, AC 2 3 , BP BC ,且 AP BC 5,则 的值为 .
6 3
A.0 B. 1 C. 2 D.3
k cos b x
9. 设 an 表示集合 1,2,3, ,n 的子集个数，bn log2 an， fk x i a ，其中 k N
*.给出下列命题：
i 1 i
7π π
①当 k 1

时， ,0

8 是函数
f1 2x 4 的一个对称中心；
f 2x π π π ② k 1时，函数 1 在 ,
4 4 4
上单调递增；

③函数 f2 x
3 3
的值域是 , ； 8 4
④对任意的实数 x，任意的正整数 k， fk x 1恒成立.
其中是真命题的为（ ）
A.①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题 6 小题，每题 5分，共 30 分，将答案写在答题纸相应位置上）
a 2i
10. 已知 a R，且复数 是纯虚数，则 a ________.
1 i
6
1
11. 二项式 2x 的展开式中常数项为_________.
x
12. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的
合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中
随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________.
13.已知函数 f x sin x 0, π 的最小正周期为 π π2 ，其图像向左平移 6个单位长度后所得图
像关于 y轴对称，则 f x ________．
2
{#{QQABLKYCAAg4ogAwAgAMIBTAAACRRh5CLQQw02n6eCkGqQskJAECgALAUYggsGwVxFCAPAOsAQAKAAwIBNNAABBI A=A}=#}#}
y x
14. 若 4x y 0，则 4x 的最小值为________. y y
15. 已知a R函数 f (x)＝ ．若对任意 x∈[﹣3，+∞）， f (x) x 恒成立，则a的
取值范围是 ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （本小题满分 14 分）
3
在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 bcos A a c
2
(1)求 B 的大小；
(2)若 c 3,a b 2，求△ABC 的面积.
π
(3)已知 sin
π

4
3

5，且 为锐角，求
sin 的值. 6
17.（本小题满分 15 分）
如图，PD 平面 ABCD， AD CD， AB / /CD，PQ //CD，
AD CD DP 2PQ 2AB 2，点 E，F，M分别为 AP，CD，BQ的中点.
（1）求证：EF / /平面 CPM；
（2）求平面 QPM与平面 CPM夹角的正弦值；
π
（3）若 N为线段 CQ上的点，且直线 DN与平面 QPM所成的角为 ，求 N到平面 CPM的距离.
6
18.（本小题满分 15 分）
已知在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，△PAD 是正三
角形，CD⊥平面 PAD，E，F，G，O 分别是 PC，PD，BC，AD 的中点．
(1)求证：PO⊥平面 ABCD；
(2)求平面 EFG 与平面 ABCD 夹角的大小；

(3)线段 PA 上是否存在点 M，使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为 ，若存在，
6
求线段 PM 的长度；若不存在，说明理由．
3
{#{QQABLKYCAAg4ogAwAgAMIBTAAACRRh5CLQQw02n6eCkGqQskJAECgALAUYggsGwVxFCAPAOsAQAKAAwIBNNAABBI A=A}=#}#}
19.（本小题满分 15 分）
f (x) ln(1 ax) 2x已知常数a 0，函数 。
x 2
（Ⅰ）讨论 f（x）在区间 0, 上的单调性；
（Ⅱ）若 f (x)存在两个极值点 x1、 x2，且 f (x1) f (x2 ) 0，求 a的取值范围。
20.（本小题满分 16 分）
已知函数 f x aex sinx a．（注： e 2.718281 是自然对数的底数）．
(1)当a 2时，求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
π
(2)当a 0 时，函数 f x 在区间 0, 2 内有唯一的极值点x1．
①求实数 a的取值范围；
②求证： f x 在区间 0, π 内有唯一的零点 x0，且 x0 2x1．
4
{#{QQABKLYCAAg4ogAwAgAMIBTAAACRRh5CLQQw02n6eCkGqQskJAECgALAUYggswGVxFCAPAOsAQAKAAwIBNNAABBI A=A}=#}#}