13.2命题与证明第2课时定理与证明课件（共24张PPT）2024-2025学年度八年级上册沪科版数学

(共24张PPT)
沪科版
13.2.2 定理与证明
八年级上
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
目录
1.通过具体实例，了解定理、推论的意义；
2.知道证明的意义和证明的必要性，可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式.
学习目标
重点
难点
几位小朋友在交流“如何证实一个命题是真命题”时产生了困惑，我们一起来看看吧 ~
新课引入
一 定理、演绎推理和证明
论证几何,源于希腊数学家欧几里得的《原本》,这部著作可以说是数学史上第一座理论丰碑,它确立了数学中公理化的演绎范式.这种范式要求学科中每个真命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论,而所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实.
新知学习
有些命题，如“对顶角相等”“同角的补角相等”等，是从基本事实或其他真命题出发,用推理方法判断为正确的,并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
归纳
从已知条件出发,依据定义、基本事实、已证定理,并按照逻辑规则,推导出结论,这一方法称为演绎推理(或演绎法).
演绎推理的过程,就是演绎证明,简称证明 .
下面,通过证明“内错角相等,两直线平行”等几个例题来说明证明的具体步骤.
例1 已知：如图，直线c与直线a，b相交,且∠1 =∠2.
求证: a // b.
证明∵ ∠1 = ∠2,(已知)
又∵ ∠1 = ∠3 ,(对顶角相等)
∴∠2 = ∠3.(等量代换)
∴ a // b.(同位角相等,两直线平行)
符号“∵”读作“因为”,
符号“∴”读作“所以”.
例2 已知:如图，∠AOB+∠BOC = 180°,OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证:OE⊥ OF.
分析：要证明OE⊥ OF,只要计算出∠1+∠2 =90°就可以了.
证明∵ OE平分∠AOB，OF平分∠BOC,(已知)
∴∠1= ∠AOB，∠2= ∠BOC.(角平分线的定义)
又∵∠AOB+∠BOC=180°,(已知)
∴∠1+∠2= (∠AOB+∠BOC)=90°.(等式性质)
∴OE⊥OF.(垂直的定义)
在证明命题时,要分清命题的条件和结论.
如果问题与图形有关：
首先,根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号；
再结合图形,写出已知、求证;
然后,分析因果关系,找出证明途径;
最后有条理地写出证明过程.
归纳
证明的具体步骤：
下面，就来证明三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
已知:△ABC,如图
求证:∠A＋∠B+∠C = 180°.
A
B
C
有些几何题目，已经 画好了图形，写出了已知、求证，这时只要写出证明过程.
分析:以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角,这不是证明,但它却给我们以启发.现在我们通过作图来实现这种转化,给出证明.
A
B
C
证明：如图,延长BC到D,以点C为顶点、CD为一边作∠2 = ∠B，
则CE // BA.(同位角相等,两直线平行)
∴∠A =∠1.(两直线平行,内错角相等)
∵B，C，D在同一条直线上,(所作)
∴∠1 +∠2 +∠ACB = 180°,
∴∠A +∠B+∠ACB
= ∠1+∠2 + ∠ACB
= 180°.
A
B
C
1
2
D
E
在上面的证明过程中,为了证明的需要,在原来图形添画的线(如CD，CE)叫做辅助线.
辅助线通常画成虚线.
A
B
C
1
2
D
E
还有其他的证明方法吗？
这些方法都是借助平行线的性质，将三角形三个角转化成一个平角.
都运用到转化思想.
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
A
B
C
1
2
D
E
1.已知：如图，点B,A,E在一条直线上，∠1=∠B.
求证：∠2=∠C.
∴AE∥BC（ ）,
证明：∵∠1=∠B（ ）,
∴∠2=∠C（ ）.
随堂练习
已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
2.已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD.
∴ ∠AOB与∠COD都是平角( ),
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°,
∴ ∠AOC =∠BOD ( ).
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O ( ),
∠BOD＋∠AOD＝180°,( )
由上面的例题，我们可以得到定理：对顶角相等.
已知
平角的定义
补角的定义
同角的补角相等
3.已知：如图，DC//AB，DF平分∠CDB，BE平分∠ABD.
求证：∠1 = ∠2.
A
B
C
D
E
F
1
2
证明 ∵DC//AB（ ）
∴∠ABD=∠CDB.（ ）
又 ∵DF平分∠CDB，（ ）
BE平分∠ABD，（ ）
∴∠1= ∠ ，（ ）
∠2= ∠_____.（ ）
∴∠1=∠2.（ ）
A
B
C
D
E
F
1
2
已知
两直线平行，内错角相等
已知
已知
CDB
角平分线的定义
ABD
角平分线的定义
等量代换
4.补充完成下列证明，并填上推理的依据：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
证明 过点A作DE//BC，
则 ∠DAB= ，（ ）
∠EAC= ，（ ）
∵ ∠DAB+∠BAC+∠EAC= ，（所作）
∴ ∠B+∠BAC+∠C= +________+________（ ）
=180°.（ ）
180°
两直线平行内错角相等
∠C
两直线平行内错角相等
∠B
∠DAB
∠BAC
∠EAC
等量代换
A
B
C
E
D
平角的定义
5.补充完成下列证明：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明 D是BC边上一点，过点D作DE//AB，DF//AC，分别交AC，AB于 点E，F.
∵ DE//AB，（所作）
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
∴∠A=∠4
∠B=∠3
又∵DF//AC
∴∠C=∠1
∠2=∠4
∴∠A=∠2
又∵∠1+∠2+∠3=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
A
B
C
D
E
F
1
2
3
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定理与证明
定理：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫做定理.
证明：从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理（或演绎法）.
演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.
课堂小结