人教A版（2019）必修第一册 3.3 幂函数 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
问题1:如果小明购买了价格为1元的石斛包装盒x个，那
么他支付的钱数y＝ ？(元)
问题2:如果一块正方形的石斛地边长为x，那么石斛地的 面积y＝ ？
问题3:如果正方体的石斛包装盒棱长为x，那么包装盒的 体积y＝ ？
问题4:如果正方形石斛地的面积为x，那么石斛地的
边长 y＝ ？
问题5:如果小丽去买石斛，x秒内骑车行进1千米，那么她骑车的平均速度y= ？（千米/秒）
创设情境，导入课题：
这五个函数可以统一写成个一般形式
思考：以上问题中的关系式有什么共同特征？
y=x
y=x2
y=x3
y=x1/2
y=x-1
（1）都是以自变量x为底数；
（2）指数为常数；
（3）自变量x前的系数为1;
（4）只有一项。
一般地，我们把形如 的函数叫做幂函数，其中x为自变量， 为常数。
幂函数
⑥
（1） 底数为自变量 ；
（2） 指数为常数；
（3） 幂的系数为1 .
请你在同一个直角坐标系中画出 ,
这两个幂函数的图象.
（要求：“五点法”作图)
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=x3 … …
y=x1/2 … …
-8
-1
0
1
8
27
0
1
0
x
y
1
2
3
4
-1
-2
-3
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
y=x3
/
/
64
y=
x
2
幂函数的图象与性质：
x
y
1
1
O
y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
奇
偶
奇
非奇
非偶
奇
图象都过点(1,1)
R
R
R
{x|x≠0}
［0,+∞）
R
R
{y|y≠0}
［0,+∞）
［0,+∞）
在R上增
在（-∞，0)上减
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:
在R上增
在［0，+∞）上增
在（-∞，0]上减
在［0，+∞）上增
在(0，+∞)上减
合作探究：学习小组合作讨论
请同学们根据五个特殊幂函数的图象和性质,总结归纳出一般的幂函数 图象的特点与性质，它的图象和性质与什么因素有关系？你发现了哪些规律？
问题3：这五个幂函数的图象位置有何特点？
奇偶性有何特点？
问题4：这五个幂函数的单调性有何特点？
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象 都通过点(1,1);
(2) 如果a＞０,则图象都过点（0,0）和（1,1）;
(3) 如果a＜０，则图象都只过点(1,1）， 在第一象限内，图象都向上无限接近y轴，向右 无限接近x轴；
(4)图象分布：
第Ⅰ象限都有图象；
第Ⅳ象限都没有图象；
二三象限可能有，
也可能没有图象；
幂函数的图象分布规律
幂函数的性质
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，
因解析式中指数a的不同而各异.
②如果a<0,则幂函数在(0,+∞)上为减函数.
a<0
1.单调性：
①如果a>0,则幂函数在(0,+∞)上为增函数;
a>1
02.奇偶性：
①当a为奇数时，幂函数为奇函数；
②当a为偶数时，幂函数为偶函数．
幂函数的图象与性质
（三字经）
定义域，根式求；一象限，都有图；
四象限，都没有；二和三，看奇偶；
正递增，负递减；都过1，正过0；
奇偶性，看指数；指奇奇，指偶偶。
例3：已知函数 是幂函数，
且图象不过原点，求 的解析式
例4. 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的图象，已知 k分别取 四个值，则相应图象依次为:________
解后反思：幂函数图象在直线x=1的右侧时:图象越高,指数越大;图象越低，指数越小。在Y轴与直线x =1之间正好相反。
C4
C2
C3
C1
1
归纳：幂函数图象在第一象限的分布情况
在上 任取一点作 轴的垂线，与幂函数的图象交点越高， 的值就越大。
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2;
(2). 作差 f(x1)－f(x2)，变形 ;
(3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号；
(4). 下结论.
例5.
证明:任取
所以幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
方法技巧:分子有理化
理论严格证明
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。
(2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出f(x1)即
所以
例6　比较下列各组数的大小；
构造幂函数
利用幂函数的增减性
比较两个数的大小.
课堂小结：
二.思想与方法
1.数形结合的思想：
2. 类比法：
一.幂函数的图象与性质
定义域，根式求；一象限，都有图；
四象限，都没有；二和三，看奇偶；
正递增，负递减；都过1，正过0；
奇偶性，看指数；指奇奇，指偶偶。
①图象过（０，０）， （１，１）；
②函数在（０，＋∞）上是增函数；
①图象过（１，１）；
②函数在（０，＋∞）上是减函数；
③在第一象限内，图象向上无限接近y轴，向右无限接近x轴；
a<0
a>1
00
x
y
1
1
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
a=1
理论
指数大于1,在第一象限为
抛物线型（凹）；
指数等于1,在第一象限为
上升的射线；
指数大于0小于1,在第一象
限为抛物线型（凸）；
指数等于0,在第一象限为
水平的射线；
指数小于0,在第一象限为
双曲线型；