人教A版（2019）必修第一册 4.2.1 指数函数的概念 教案

4.2.1 指数函数的概念
一、学习目标
1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．
2．结合指数函数概念的形成过程，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升数学抽象素养.
二、教学重点
理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．
三、教学难点
理解指数函数增长变化迅速的特点.
四、教学过程设计
（一）创设情境，引入新知
问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．下表给出了A,B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
时间/年 A地景区 B地景区
人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次
2001 600 278
2002 609 9 309 31
2003 620 11 344 35
2004 631 11 383 39
2005 641 10 427 44
2006 650 9 475 48
2007 661 11 528 53
2008 671 10 588 60
2009 681 10 655 67
2010 691 10 729 74
2011 702 11 811 82
2012 711 9 903 92
2013 721 10 1005 102
2014 732 11 1118 113
2015 743 11 1244 126
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
学生直观感知：两地游客人数逐年增加，但A地增加相对缓慢，B地增加要快.
【设计意图】让学生直观感知数据的变化情况.
追问：（1）能否作出A，B两地景区游客人次变化的图象，根据图象并结合年增加量，说明两地景区游客人次的变化情况？
师生通过信息技术手段完成两地景区数据散点图的制作.如上图，基于图形学生可以非常直观地发现A地景区数据散点图趋近于一条直线，B地景区数据散点图趋近于一条曲线.
A地景区数据散点图散落在一条直线周围，你能用数量关系解释这一直观现象吗？B地景区数据散点图散落在一条曲线周围，它又应该用什么数量关系进行合理的解释？
A地景区数据散点图散落在一条直线周围，即说明每经过一年，A地增加的旅游人次大致相等，也就是说旅游人次的年增加量大致相等. 而B地景区数据散点图散落在一条曲线周围，也就是说B地景区旅游人次的年增加量与A地景区数据将会出现不同的变化规律.
师生借助信息技术手段快速计算A，B两地景区数据的年增加量（如下表），发现A地景区数据的年增加量大致相等（约为10万次），而B地景区数据的年增加量相差较大.
我们发现，用“增加量”不能刻画B地景区人次的变化规律，能不能换一个量来刻画？例如用“增长率”，即从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否发现什么规律？
如下表，对于B地景区数据，从2002年起将每年的旅游人次除以上一年的
旅游人次，可以发现.结果标明B地景区旅游人次的年增长率约为0.11，为常数.像这样，增长率为常数的变化形式，我们称为指数增长.
（4）能否求出两地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的函数解析式，并根据解析式说明两地景区游客人次的变化情况？
对于A地景区数据的年增加量大致相等，引导学生用函数解析式表示，并写出经过x年后，A地景区旅游人次y的函数y=10x+600.；B地景区的旅游人次近似于指数增长，引导学生用函数解析式表示，并写出经过x年后，B地景区旅游人次y的函数.
【师生活动】教师给出问题，并通过追问引导学生对问题进行分析，首先通过画出图象直观感受A，B两地景区游客增长的情况；为进一步刻画和比较两地游客人次的变化规律，需要通过对相邻两年游客人次进行运算，得到B地景区游客人次年增长率为常数，进而将其用函数来描述.
【设计意图】通过寻求A，B两地景区游客人次增加的规律，引出用函数刻画指数增长的问题，为抽象出指数函数作准备.
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率（简称为衰减率）衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
追问：（1）能否求出生物体内碳14含量随死亡年数变化的函数解析式？
若记衰减率为.
生物死亡后体内碳14含量每年衰减的比例是什么？
根据条件，得，因此
【师生活动】教师提出问题，并让学生类比问题1对提出的问题进行思考，通过对问题的分析，引导学生用函数刻画碳14衰减的规律.
【设计意图】通过描述碳14衰减的规律，引出用函数刻画指数衰减的问题，为抽象得到指数函数作准备.
（二）归纳特征，生成概念
问题3：比较问题1,2中的两个实例：B地景区游客人次增长与碳14衰减，它们所反映的变化规律有什么共同特征？
追问：（1）B地景区游客人次增长规律和碳14衰减的数据看，它们的变化有什么共同特征？
当 自 变 量（年数）增加1时，因变量都以一个确定的比例增加或减少，即： (当>1时，为指数增长；当时，为指数衰减).
（2）B地景区游客人次增长的函数解析式与碳14衰减的函数解析式有什么共同特征？
可以写出统一的形式.
底数a小于0可以吗？如果底数a等于1呢？
底数a小于0时，自变量x不能为偶数分之1.如果底数a等于 1，y恒为1，没有研究的意义.
（4）自变量x可以取负数吗？
可以，因为，所以自变量x可以取负数.
【师生活动】教师引导学生从数据、解析式等角度进行归纳概括，发现刻画问题1中的指数增长和问题2中的指数衰减的函数的共同特征.从解析式上来看，如果用字母a代替底数1.11和，那么上述函数和就都可以表示为的形式，其中指数是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常量.从而引出指数函数的概念：
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域为 R.
在指数函数中，当时，函数还可以表示为，其中)表示增长率；函数还可以表示为，其中表示衰减率.因此，指数函数是刻画呈指数增长或指数衰减变化规律的函数模型．
【设计意图】通过分析、比较两个实例，概括它们的共同本质特征，从而得到指数函数概念的本质属性，得出指数函数的概念.
（三）应用概念，解决问题
例1. 已知函数，且，求 f(0)，f(1)，f(-3)的值.
解：因为，且，则，解得. 于是，所以，，.
【师生活动】教师引导学生，要求出f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出的解析式，即先求a的值．而已知，可由此求出a的值.
【设计意图】通过求函数解析式，并根据解析式求不同的函数值，从指数函数的对应关系和变化规律的角度理解指数函数的概念 .
练习1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（）.
【答案】C　（由指数函数的增长速度及定义，可知C正确）
练习2. 已知函数，，且 ，求函数的一个解析式.
解：因为，
则，故.
【设计意图】利用函数的三种表示形式，从不同角度推动学生对指数函数概念的理解，进一步明确概念，学会表示指数函数，体会指数增长或衰减.
例2. 若函数是指数函数，求a的值.
解：因为是指数函数，所以，解得.
例3. （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为 150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.
在问题2中，某生物死亡后，过了10000年，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
解：（1）设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f（x）和g（x），则，.
当时，.
当时，．
结合图可知：当时，，
当时，．
当时，347303.
（2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x).如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么.当x=10000时，利用图形计算器求得h(10000)≈0.30.
【设计意图】在引入概念的两个实例基础上，利用指数函数概念进一步解决与两个实例有关的问题，从而巩固对概念的理解．
练习3. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25％的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）
解：设现在的蓝藻量为a，经过30天后蓝藻的量为y，则，所以，所以经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍.
【设计意图】熟悉不同的指数增长的函数模型，并利用指数函数的概念解决实际问题，进一步巩固对概念的理解.
练习4. 放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A，B，开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A的半衰期为7.5小时，则物质B的半衰期为（）
A.10小时 B.8小时 C.12小时 D.15小时
解：由题意得.又不妨设，则.
设物质B的半衰期为t，由题意可得：，解得，
故选B.
练习5. 已知，则_________.
解：，
因为，所以，.
练习6. 已知的图象过点(-2,16).
求函数的解析式；
若，求m的取值范围.
解：（1）因为的图象过点(-2,16)，
所以，，即.
（2）因为为减函数，，
所以>，解得.
（四）课堂小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答如下问题：
指数函数的概念是什么？
指数函数的概念是如何抽象出来的？简单描述抽象课程.
本节课多次用到数形结合思想，你能否举例说明？