5.1.2 弧度制 课件 （共 26张PPT）人教A版（2019）必修第一册

(共26张PPT)
问题一：
长度：可以用米、英尺、码等不同的单位度量，
物体的重量：可以用千克、斤、磅等不同的单位度量.
不同的单位制能给解决问题带来方便。
度量长度有哪些单位？度量重量又有哪些单位？
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？
周角的 为1度的角。
这种用1 角作单位来度量角的制度叫做角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
问题二：
一个周角=360
5.1.2 弧度制
30°、60°的圆心角，半径r为1，2，3，分别计算
对应的弧长L，再计算弧长与半径的比，你能发现什
么结论？
探究活动一：
r=1 r=2 r=3
L
L/r
r=1 r=2 r=3
L
L/r
30°
60°
结论：
一定大小的圆心角
所对应的弧长与半径
的比值是确定的，与
半径大小无关。
=定值，
设α=n ， 弧长为l，半径OA为r，
则
可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
结论：可以用圆的半径
作单位去度量角。
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
1弧度的角：
弧度制的单位符号是rad，读作：弧度
r
1rad
O
A
B
l=r
AOC的弧度数就是
l
r
2r
r
= = 2
rad
弧度制实质上是用弧长与其半径的比值来反映弧所对圆心角的大小．
C
l=r
注：今后在用弧度制
表示角的时候，
弧度二字或rad可以略去不写。
2、定义
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1 ；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
4.公式： ，
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角是αrad。
y
x
o
A
B
α
半径为r的圆的圆心与原点重合,角α的始边与x轴的非负半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请在下表格中填空.
探究活动二:
OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数
πr 逆时针方向
2πr 逆时针方向
r 1
2r -2
0
180°
360°
的长
逆时针方向
顺时针方向
顺时针方向
πr
0
逆时针方向
πr
逆时针方向
2πr
探究弧度制的性质
未旋转
思考：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是L,
那么α的弧度数是多少
(1)正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
(2)如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是L,
那么 角α的弧度数的绝对值是
探究结论：
这里， α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
既然角度制和弧度制都是角的度量制，那么它们之间
如何换算？
关键
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，而只写这个角所对应的弧度数.
5. 弧度制与角度制的换算
方法总结：
度化为弧度：
弧度化为度：
正角的弧度数是正数
负角的弧度数是负数
零角的弧度数是零
在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系．
正角
零角
负角
正实数
0
负实数
任意角的集合
实数集R
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.
① 弧长公式：
由公式：
比公式 简单.
② 扇形面积公式
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为n (αrad)，则
又 αR=l，所以
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 rad.
所以它的面积是
变1：将下列各角化成2kπ + α (k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限。
（1）
（2）
（3）-315°
说明：
在表示与角α终边相同的角时，两项所以的单
位制必须一致，绝对不能出现 或者
这一类的写法。
知识小结
1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
2、角α的弧度数的绝对值是
3、弧度制与角度制的转换
度化为弧度：
弧度化为度：
关键是记住
4.弧度制下，扇形的弧长公式：
面积公式：