5.3.1 函数的单调性 课件 （共25张PPT） 人教A版（2019）必修第一册

(共25张PPT)
引 入
在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.
微积分中重要的思想方法——以直代曲
h(t)=-4.9t2+4.8t+11
能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢
本节我们就来讨论这个问题.
利用导数研究函数的单调性.
5.3.1函数的单调（一）
引 入
在必修第一册中， 我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.
复习巩固：函数单调性的定义
一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(1)若f(x1)(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
探究新知
问题1: 判断函数单调性的方法有哪些
①.定义法：
②.图像法：
③.性质法:增+增→增，减+减→减， －增→减，
复合函数单调性同增异减
探 究
跳水问题：某运动员的重心相对于水面的高度h与起跳后的时间t
存在函数关系 .
观察函数h(t)和导函数h’(t)的图象，
你能得出哪些结论？
探 究
探 究
问题1：观察下列函数图象，思考函数单调性与导数正负的关系.
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
问题2：为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？
导数f ′(x0)
在区间上， f ′(x)>0
函数y=f (x)的图象在点(x0, f(x0))处切线的斜率
在x=x0处f ′(x0)>0
函数y=f (x)的图象上升，在x=x0附近单调递增
切线“左下右上”上升
在区间上，f (x) 单调递增
f (x0)>0
f (x)在x0附近↗
切线“左下右上”
x
y
O
(x0, f(x0))
(x1, f(x1))
问题2：为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？
导数f ′(x1)
在区间上， f ′(x)<0
函数y=f (x)的图象在点(x1, f(x1))处切线的斜率
在x=x1处f ′(x1)<0
函数y=f (x)的图象下降，在x=x1附近单调递减
切线“左上右下”下降
在区间上，f (x) 单调递减
f (x1)<0
f (x)在x1附近↘
切线“左上右下”
x
y
O
(x0, f(x0))
(x1, f(x1))
探 究
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
新知讲解
函数f(x)为常数函数，
函数图象平行于x轴或与x轴重合.
函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
f(x)仍为增函数.
例如: 对于函数y=x3，y′=3x2.
当x=0时，y′=0，当x>0时，y′>0，而函数y=x3在R上单调递增.
x
y
O
问题3：如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性
问题4：存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性
f'(x)≥0且f'(x)不恒为0
例 题
例 题
例 题
例 题
※※定义域
① 求出函数的定义域；
② 求出函数的导数f (x)；
③ 判定导数f (x)的符号；
④ 确定函数f(x)的单调性.
判定函数单调性的步骤：
例 题
例 题
例 题
解：
x∈R,
总结归纳
1. 函数单调性与导数符号的关系是：
2.判定函数单调性的步骤：
① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)；
③ 判定导数f (x)的符号；④ 确定函数f(x)的单调性.
在某个区间(a, b)内