5.3.2 函数的极值 课件 （共25张PPT) 2024-2025学年 人教A版（2019）必修第一册

(共25张PPT)
5.3.2-1
函 数 的 极 值
1.函数单调性与导数的关系
复习引入
问题 1：观察图象，说说函数 h(t) 在 t = a 处时的导数是多少？
此点附近的函数图象有什么特点？导数的正负有什么变化规律
O
a
b
t
h
h (a) = 0
单调递增
h (t) > 0
单调递减
h (t) < 0
归纳：（1）在 t = a 附近，函数值先增后减；
（2）当 t 在 a 的附近从小到大经过 a 时，h′(t) 先正后负，且 h′(t) 连续变化，于是有 h (a) = 0.
o
a
c
b
x
y
d
e
问题2：对于一般的函数y=f(x)呢？
课堂探究
在x=a附近
左侧f ′(x)<0,
右侧f ′(x)>0
在x=b附近
左侧f ′(x)>0,
右侧f ′(x)<0
函数f(x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小.
函数f(x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大.
如图，函数 f (x) 在点 x = a 的函数值 f (a) 比它在点 x = a 附近其它点的函数值都小，且 f (a) = 0；在点 x = a 附近的左侧 f (x) < 0，右侧 f (x) > 0；
类似地，函数 f (x) 在点 x = b 的函数值 f (b) 比它在点 x = b 附近其它点的函数值都大，且 f (b) = 0；在点 x = b 附近的左侧 f (x) > 0，右侧 f (x) < 0.
x = b
x = a
O
a
b
x
y
c
e
d
y = f (x)
极值点与极值
（1）函数 y = f (x) 极值点：a 叫做极小值点，b 叫做极大值点；
（2）函数 y = f (x) 极值：f (a) 叫做极小值，f (b) 叫做极大值；
（3）极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
O
a
b
x
y
c
e
d
y = f (x)
极大值
极大值
追问1：极值点是一个点吗？
概念讲解
追问2：函数f(x)有哪些极值点？
学案练2： 函数y=f ′(x)的图象如图所示,试找出函数f (x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
问题3：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
x0是函数 f(x) 的极值点
f ′(x0)=0
x0是函数 f(x) 的极值点
x0左右两侧导数异号
f ′(x0)=0
结论：f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.

x
y
O
y＝x3
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．
极小值
极大值
O
a
x1
x2
x3
x4
b
x
y
y=f(x)
问题4：极大值一定大于极小值吗？
1、极值点与极值的定义：
若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, 且在点x=a附近的左侧f′(x)<0 (单减), 右侧f′(x)>0 (单增), f′(a)=0, 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 如图(1).
若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, 且在点x=b附近的左侧f′(x)>0 (单增), 右侧f′(x)<0 (单减), f′(b)=0, 我们把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 如图(2).
(1)
b
(2)
概念形成
(3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
注意：
(1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；
(2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.
(4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
O
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
O
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
增
f′(x) >0
f′(x) =0
f′(x) <0
极大值
减
f′(x) <0
f′(x) =0
增
减
极小值
f′(x) >0
2.判断f (x0)是极大值或是极小值的方法：
左正右负为极大，左负右正为极小
左增右减为极大，左减右增为极小
例2.
例题解析
解:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
因此,当x=-2时有极大值
例2.
当x=2时有极小值,
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
例题解析
(1)求函数的定义域；
左正右负极大值;
左负右正极小值.
3.求函数的极值(点)
已知函数极值情况，逆向确定函数的解析式，注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
方法归纳
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
课堂小结
y=f(x) 的单调性
y=f ′(x) 的正负性
y=f(x) 的极值点
导数的工具性作用
y=f ′(x) 的零点
左正右负（左增右减），取得极大值；
左负右正（左减右增），取得极小值；