高二理上 夹角的计算学案

§2.5夹角的计算
学习目标
理解直线与平面所成角的概念．
能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．
学习重难点
向量法求解线线、线面、面面的夹角．(重点)
线线、线面、面面的夹角与向量的应用．(难点)
学习内容
直线间夹角的求法
空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定，如图.
事实上，设直线l1与l2的夹角为θ，则cos＝
直线和平面夹角角的求法
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如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为，两向量与的夹角为θ，则有sin ＝|cos θ|＝
平面间的夹角的求法
事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ，法向量，则cos＝
求二面角的大小
二面角的平面角定义
从空间一直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角
如图在二面角α l β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫作二面角的平面角．
二面角的求法
如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角cos＝ ．
如图②③，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角cos＝ ．
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辨析感悟
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．( )
(2)已知＝(－2，－3,1)，＝(2,0,4)，＝(－4，－6,2)，则.( )
2.空间角
(3)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．( )
(4)(2014·济南调研改编 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )已知向量 QUOTE 分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈〉＝－，则l与α所成的角为150°.( )
(5)已知两平面的法向量分别为＝(0,1,0)，＝(0,1,1)，
则两平面所成的二面角的大小为45°.( )
(6)在如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°.( )
典型题型
题型一　求异面直线的夹角
正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
[思路探索] 可考虑建立空间直角坐标系，求出，的坐标，利用坐标运算求所求角的余弦值．
题型二　求直线平面的夹角
正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
[思路探索] 利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．利用平面A1ABB1的法向量
求解．
题型三　求二面角
如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，
求二面角A- A1D-B的余弦值．
思考题
如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱 ( http: / / www.21cnjy.com )A1A⊥底面ABC，ACB=90°，E是棱CC1上的动点，F是棱AB的中点，AC=1，BC=2，AA1=4
(1)若E为棱CC1的中点．求证：CF//平面AEB1；
(2)在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A-EB1-B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由。
梳理总结
知识点
题型
方法
易错点
§2.5夹角的计算
——课堂环节
课前预习总结
角的分类 向量求法 范围
异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为，则cos θ＝_____________
直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝_____________
二面角 设二面角α- l- β的平面角为θ，平面α、β的法向量为，则|cos θ|＝_______________ [0，π]
课前自主探究自我反思：
课堂合作探究
探究一、利用向量计算线面夹角
如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，
AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
探究二、利用向量解决二面角
如图，在三棱柱ABC A1B1C1中， ( http: / / www.21cnjy.com )侧棱A1A⊥底面ABC，ACB=90°，E是棱CC1上的动点，F是棱AB的中点，AC=1，BC=2，AA1=4
(1)若E为棱CC1的中点．求证：CF//平面AEB1；
(2)在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A-EB1-B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由。
课堂反馈总结
1、本节知识总结：夹角的概念及其向量求法
2、用空间向量解决立体几何问题的三步曲
§2.5夹角的计算课前预习答案
三、学习内容答案
1、 2、 3、4、<> 5、,
四、辨析感悟
错、错、对、对、错、错、对
五、课前自主探究
题型一、解　不妨设正方体棱长为2，分别取 ( http: / / www.21cnjy.com )DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2，0，0)、C(0，2，0)、E(1，0，2)、F(1，1，2)，
则＝(－1，0，2)，＝(1，－1，2)
∴||＝，||＝.·＝－1＋0＋4＝3.
又·＝||||cos〈，〉＝cos〈，〉
∴cos〈，〉＝，∴所求值为.
题型二、解　建立如图所示的空间直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1(－a，，a)，　＝(0，a，0)，＝(0，0，a)，
＝(－a，，a)．设侧面ABB1A1的法向量n＝(x，y，z)，
∴n=(1，0，0)∵＝(－a，，a)，
∴cos〈，n〉＝＝－.∴|cos〈，n〉|＝.
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
题型三、解：取B1C1中点为O1，以O为原点，，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0).2分
设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)．
得得所以
令z＝1，得n＝(－，0，1)为平面A1AD的一个法向量．
又因为＝(1，2，－)，＝(－2，1，0)，＝(－1，2，)，
所以·＝－2＋2＋0＝0，
·＝－1＋4－3＝0，
所以⊥，⊥，所以AB1⊥平面A1BD，
所以是平面A1BD的一个法向量，
所以cos〈n，〉＝＝＝－，
所以二面角A A1D B的余弦值为.