2024--2025学年北京四中初三（上）数学开学考试题（图片版、无答案）

数学练习
班级 __________ 姓名 ___________ 学号 ___________
学生 1．本练习卷共 8 页，共 29 道小题，满分 100+10 分。练习时间 100 分钟。
2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。
须知
3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效。
一、选择题（共 20分，每小题 2分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）．
1
A． 4 B． 7 C． 20 D．
2
2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．
A．2，3，4 B． 2 ， 4 ， 7 C．5，6，7 D．5，12，13
3．如图，在平行四边形 ABCD中，由尺规作图的痕迹，下列结论中不一定成立
的是（ ）．
A． DAE = BAE B． AD = DE
C．DE = BE D． BC = DE
4．某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款 T 恤衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43 44 45
平均每天销售数量 / 件 10 23 30 35 28 21 8
该店主决定本周进货时，增加一些 42 码的 T 恤衫，影响该店主决策的统计量是
（ ）．
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
5．已知关于 x 的一次函数 y = (m 2)x +3， y 随 x 的增大而增大，则m 的取值范
围是（ ）．
A
A．m 2 B．m 2 C．m 0 D．m 0
6．如图所示，DE 为 ABC的中位线，点F 在DE 上，且 D E
F
AFB = 90 ，若 AB = 6，BC = 8，则 EF 的长为（ ）．
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5 B C
k
7．如图，正比例函数 y1 = k1x和反比例函数 y =
2
2 的图象交
x
于 A( 1,2)、B(1, 2)两点，若 y1 y2 ，则 x 的取值范围是
（ ）．
A． x 1，或 x 1
B． x 1，或0 x 1
C． 1 x 0，或 x 1
D． 1 x 0，或0 x 1
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8．若关于 x 的一元二次方程 kx2 6x+9 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）．
A． k 1 B． k 1
C． k 1，且 k 0 D． k 1，且 k 0
9．保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实
验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基
地两年前有 81 种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有 100 种
农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为 x ，则根据题意列出的
方程是（ ）．
A．100(1 2x) = 81 B．100(1+ 2x) = 81
C．81(1 x)2 =100 D．81(1+ x)2 =100
10．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源
线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一
定时，插线板电源线中的电流 I 与使用电器的总功率 P 的函数图象（如图 1），
插线板电源线产生的热量 Q 与 I 的函数图象（如图 2）．下列结论中错误的是
（ ）．
A．当 P＝440W 时，I＝2A
B．Q随 I的增大而增大
C．I每增加 1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量 Q越多
二、填空题（共 16分，每小题 2分）
11．一次函数 y = kx +b(k 0)中两个变量 x ， y 的部分对应值如下表所示：
x 4 3 2 1 0
y 9 7 5 3 1
那么关于 x 的不等式 kx +b 7的解集是 ．
k
12．若反比例函数 y = (k 0) 的图象经过点 A(a, 2) 和 B(b, 2) ，则 a + b 的值
x
为 ．
13．某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占80%，面试成绩占20% 计算
应聘者的总成绩．小明笔试成绩为 80 分，面试成绩为 85 分，那么小明的总成绩
为 分．
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14．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角
坐标系中，边长为 4 的正方形 ABCD的边 AB 在 x 轴上，
AB 的中点是坐标原点O，固定点 A，B ，把正方形沿箭
头方向推，使点D落在 y 轴正半轴上点D 处，则点C 的对
应点C 的坐标为 ．
15．如图，正方形 ABCD的中心在原点O上，且正方形
3
ABCD 的四个顶点分别位于两个反比例函数 y = 和
x
n
y = 的图象上的四个分支上，则 n = ．
x
16．已知实数 x ， y 满足 x2 +3x + y 3 = 0 ．则 x + y 的最
大值为 ．
A C P D B
17．如图，四边形 ABHK 是边长为 12 的正方形，点C 、
D在边 AB 上，且 AC = DB = 2，点 P 是线段CD上的动 E
M N
点，分别以 AP 、 PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 G
AMNP 和正方形 BRQP， E 、 F 分别为MN 、QR 的中 Q RF
点，连接EF ，设 EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动
K H
到点D时，点G 移动的路径长等于 ．
18．甲乙两人玩一个游戏：将 n(n为奇数）个数排成一列，记作[a1，a2， ，an ]，
甲，乙轮流从这一列数中删除两个相邻的数，剩余的数成为一列新的数．甲先开
始操作，直至这列数被删到只剩下一个数．每次操作时，甲的原则是使最后剩下
的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化．
（1）对于[1，2，3，4，5]，被删除一次后可以成为[3，4，5]或[1，4，5]以及一
些其他情况，写出未列举的其他情况 ；（写出一种即可）
（2）对于[2，9，1，7，3，4，5，8，6]，最后剩下的数为 ．
三、解答题（共 64 分，第 19、20题每题 6分，第 21、22、24、26、27题每题
8分，第 23题 7分，第 25题 5分）
19．解方程：
（1） x2 6x +1= 0； （2） (x 2)2 = 3(x 2)．
20．某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其
中他们发现，任意一个 ABC（三边均不相等），以一边的端点B 为顶点在三角形
外作角 CBF ，使其等于这条边另一端点C 为顶点的三角形的内角 ACB ，射线
BF 与这条边上的中线 AD的延长线相交于一点 E ，则以 A、B 、C 、 E 四个点
为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等、平行四边形以及
平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空．
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如图，在 ABC中，点D为BC 边上的中点，连接 AD．
（1）尺规作图：在 BC 下方作射线BF ，使得 CBF = ACB ，且射线BF 交 AD
的延长线于点E （不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接CE，求证：四边形 ABEC 是平行四边形．（请补
全下面的证明过程）
证明： 点D为 BC 边上的中点，
DC = DB .
在 ADC 和 EDB 中，
ACD = EBD

DC = DB

ADC = EDB
ADC≌ (ASA)，
AC = ．
CBF = ACB，
．
四边形 ABEC是平行四边形．
兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，
必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题：
以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上
中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形
是 ．
21．如图，在 ABC中， CAB = 90 ，点D，E 分别是BC ， AC 的中点．连接
DE 并延长至点 F ，使得EF = DE．连接 AF ，CF ， AD．
（1）求证：四边形 ADCF 是菱形；
（2）连接BF ，若 ACB = 60 ， AF = 2，求BF 的长．
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22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y = kx +b的图象与 x 轴交于点 A( 3,0) ，
4
与 y 轴交于点 B ，且与正比例函数 y = x的图象交点为C(a, 4)．
3
（1）求 a的值与一次函数 y = kx +b的解析式；
（2）在 y 轴上求一点 P ，使 POC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的
点P 的坐标．
23．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = kx +b(k 0) 的图象经过点 A(1,3) 和
B( 1, 1)，与过点 ( 2,0) 且平行于 y 轴的直线交于点C ．
（1）求该函数的表达式及点C 的坐标；
（2）当 x 2时，对于 x 的每一个值，函数 y = nx(n 0)的值大于函数 y = kx +b
(k 0)的值且小于 2，直接写出 n的取值范围．
24．如图，利用一面墙（墙EF 最长可利用 28 米），围成一个矩形花园 ABCD．与
墙平行的一边 BC 上要预留 2 米宽的入口（如图中MN 所示，不用砌墙）．用
砌 60 米长的墙的材料．
（1）当矩形花园的面积为 300 平方米时，求 AB的长；
（2）能否围成 500 平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）
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25．商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的
涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：
a．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：
当周售价 前周售价
售价涨跌幅= 100%，
前周售价
当周成本 前周成本
成本涨跌幅= 100%；
前周成本
b ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；
c．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：
甲商品的成本与售价信息表
第一周 第二周 第三周 第四周 第五周
成本 25 50 25 40 20
售价 40 m 45 n p
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲商品这五周成本的平均数为 ，中位数为 ；
（2）表中m 的值为 ，从第三周到第五周，甲商品第 周的售价最高；
（3）记乙商品这 40 周售价的方差为 s2 ，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本1
涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新
计算每周售价，记这 40 周新售价的方差为 s22 ，则 s
2
1 s
2
2（填“ ”，“ =”，
或“ ” ) ．
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26．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这
种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，
谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公
道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的
水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清
水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同
时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：
时间 (t / s) 1 2 3 4 5 6 7 8
水位高度 (h / cm) 2 4 6 5.75 5.5 3
根据以上信息，解决下列问题：
（1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点；
（2）当 t = s 时，杯中水位最高，是 cm ；
（3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为 cm / s ；
（4）求停止注水时 t的值；
（5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s ．
27．如图，在 Rt△ABC中，∠B=90°，∠BCA=α，点 D为线段 BC的延长线上一
点，将线段 BD绕点 D顺时针旋转 2α得到线段 ED．
E E
A
A
B C D B C D
图 1 图 2
（1） 如图 1，当 α=30°，且点 B与点 D关于点 C对称时，求证：EC⊥BD；
（2） 如图 2，若点 C关于点 D的对称点为点 F，连结 EF，依题意补全图形，
求证：AE⊥EF．
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附加题（共 10 分）
28．（3 分）有如下的一列等式：
T = a ， ， 2 ， 3 2 ，……， 0 0 T1 = a1x a0 T2 = a2x a1x + a0 T3 = a3x a2x + a1x a0
若将T n0 +T1 +T2 +T3 + +Tn 记为 An ，其中 为正整数，T 的各项系数均不为 0．那n
么以下说法正确的是 ．
①若 x =1，则 A4 = a4 + a2 + a ； 0
②若T = (2x 1)4 ，那么T4 的所有系数之和为 1； 4
1+310
③若 A2n A = (2x 1)
2n，那么当 n = 5时， a10 + a8 + a6 + a2n 1 4 + a2 + a0 = ．
2
29．（7 分）对于平面直角坐标系 xOy中的点 P(x1，y1)和Q(x2，y2 ) ，我们称
d0 (P,Q) =| x1 x2 | + | y1 y2 |为P 和Q两点的“亚距离”．进一步，对于平面中的
点R 和图形 Ф，Ψ，我们给出如下定义：点R 到图形 Ф 上各点的最短亚距离为
d，点 R 到图形 Ψ 上各点的最短亚距离为 d ，若 d= d ，则称点R 为图形 Ф，Ψ 的
一个“亚等距点”．
如图，已知 A( 4,4), B( 8,0),C( 4, 4), D( 2,0)，点 A、C、D关于 y轴的对称点
分别为点 A 、C 、D ，将正方形 OABC 向上平移 4 个单位得到正方形 AEFG．
（1）① d0 (A, B) = ；
②在点P1(2,2), P2 ( 2,2), P3(7,8), P4 ( 5, 1)中，哪个点是点 A 和点C 的亚等
距点____________；
（2）在坐标系中，画出正方形 OABC 和正方形 AEFG 的亚等距点所组成的图形；
（3）已知线段 y = kx +b(0 y 4)上恰好存在 3 个线段 AA 和线段DD 的亚等距
点，直接写出 k的取值范围．
y y
F F
G E G E
A A' A A'
B D D' B D D'
O x O x
C C' C C'
备用图
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