15.4角的平分线第3课时角平分线的判定课件（共19张PPT）2024-2025学年度八年级上册沪科版数学
文档属性
| 名称 | 15.4角的平分线第3课时角平分线的判定课件（共19张PPT）2024-2025学年度八年级上册沪科版数学 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 477.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-04 13:00:08 | ||
图片预览
文档简介
(共19张PPT)
沪科版
15.4.3 角平分线的判定
八年级上
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
目录
1. 探索并证明角平分线的判定：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
3. 会用角平分线的判定解决实际问题.
学习目标
难点
难点
写出角平分线的性质定理.
定理 角平分线上的点到角两边的距离相等.
新课引入
写出角平分线的性质定理的逆命题.
思考
这逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并指出证明.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
一 角平分线的判定
新知学习
证明
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
┐
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，
PE=PD，
PO=PO， ∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.
∴∠AOC=∠BOC. ∴点P在∠AOB的平分线OC上.
归纳
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
使用定理时这样书写：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
┐
例1 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E.BE，CD相交于点O，且OB=OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°.
又∵OB=OC，∠BOD=∠COE，
∴△BOD≌△COE（AAS）
∴OD=OE.
∴点O在∠BAC的平分线上.
（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
二 三角形的内角平分线
探究1
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？
三角形的三条角平分线相交于一点，且交点位于三角形的内部.
A
B
C
┐
A
B
C
A
B
C
探究2
过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段的长度，你发现了什么？
A
B
C
A
B
B
C
A
C
过三角形三条角平分线交点作三角形三边的垂线段相等.
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
例2 已知：如图，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.
求证：AP平分∠BAC.
证明：过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC， PQ⊥ AB,垂足分别为点M,N,Q.
∵BE是∠B的平分线，点P在BE上，（已知）
∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理，PN=PM.
∴PN=PQ.(等量代换）
∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
通过上面的例题可以得到什么结论？
1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
D
针对训练
随堂练习
1.如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 ( )
A. 110° B. 120° C. 130° D. 140°
解析：由于 O 到△ABC 三边的距离相等，
故 O 是三条内角平分线的交点，
即 BO，CO 都是内角的平分线，
则∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB.
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－40°＝140°，
∴∠OBC＋∠OCB＝70°.
∴∠BOC＝180°－70°＝110°.
答案：A
证明：如图，过点F作FG⊥AE于点G，FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M.
2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
求证：点F在∠BAC的平分线上．
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG=FM.
同理可得∴FM=FH.
∴FG=FH，
∴点F在∠BAC的平分线上．
3.如图，在直角△ABC 中，AC＝BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，若 OM＝4.
(1) 求点 O 到△ABC 三边的距离和；
M
E
N
A
B
C
P
O
D
解：如图，过点 O 作 ON⊥BC 于点 N,过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,
∵OM＝4.
∴OM+ON+OE=4+4+4=12.
(2) 若△ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
解：连接 OC.
E
N
A
B
C
P
O
D
M
三角形三
条内角平
分线性质
定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边
的距离相等.
角平分线
的判定
角平分线
的判定定理
课堂小结
沪科版
15.4.3 角平分线的判定
八年级上
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
目录
1. 探索并证明角平分线的判定：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
3. 会用角平分线的判定解决实际问题.
学习目标
难点
难点
写出角平分线的性质定理.
定理 角平分线上的点到角两边的距离相等.
新课引入
写出角平分线的性质定理的逆命题.
思考
这逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并指出证明.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
一 角平分线的判定
新知学习
证明
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
┐
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，
PE=PD，
PO=PO， ∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.
∴∠AOC=∠BOC. ∴点P在∠AOB的平分线OC上.
归纳
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
使用定理时这样书写：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
┐
例1 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E.BE，CD相交于点O，且OB=OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°.
又∵OB=OC，∠BOD=∠COE，
∴△BOD≌△COE（AAS）
∴OD=OE.
∴点O在∠BAC的平分线上.
（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
二 三角形的内角平分线
探究1
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？
三角形的三条角平分线相交于一点，且交点位于三角形的内部.
A
B
C
┐
A
B
C
A
B
C
探究2
过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段的长度，你发现了什么？
A
B
C
A
B
B
C
A
C
过三角形三条角平分线交点作三角形三边的垂线段相等.
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
例2 已知：如图，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.
求证：AP平分∠BAC.
证明：过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC， PQ⊥ AB,垂足分别为点M,N,Q.
∵BE是∠B的平分线，点P在BE上，（已知）
∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理，PN=PM.
∴PN=PQ.(等量代换）
∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
通过上面的例题可以得到什么结论？
1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
D
针对训练
随堂练习
1.如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 ( )
A. 110° B. 120° C. 130° D. 140°
解析：由于 O 到△ABC 三边的距离相等，
故 O 是三条内角平分线的交点，
即 BO，CO 都是内角的平分线，
则∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB.
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－40°＝140°，
∴∠OBC＋∠OCB＝70°.
∴∠BOC＝180°－70°＝110°.
答案：A
证明：如图，过点F作FG⊥AE于点G，FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M.
2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
求证：点F在∠BAC的平分线上．
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG=FM.
同理可得∴FM=FH.
∴FG=FH，
∴点F在∠BAC的平分线上．
3.如图，在直角△ABC 中，AC＝BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，若 OM＝4.
(1) 求点 O 到△ABC 三边的距离和；
M
E
N
A
B
C
P
O
D
解：如图，过点 O 作 ON⊥BC 于点 N,过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,
∵OM＝4.
∴OM+ON+OE=4+4+4=12.
(2) 若△ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
解：连接 OC.
E
N
A
B
C
P
O
D
M
三角形三
条内角平
分线性质
定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边
的距离相等.
角平分线
的判定
角平分线
的判定定理
课堂小结