2024-2025学年安徽省六安市独山中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省六安市独山中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知正三棱柱的体积为，且底面边长与高相等，则该正三棱柱一个侧面的对角线长为( )
A. B. C. D.
5.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为，体积为，则该球的表面积是( )
A. B. C. D.
7.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，一同学利用所学习的解三角形知识想测量河对岸的塔高时，他选取了塔底在同一水平面内的两个测量基点与，，，在点处塔顶的仰角为，则塔高为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数、在复平面内的对应点分别在一、二象限，则在复平面内的对应点可能在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为：：
11.对于，有如下判断，其中正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则为等腰或直角三角形
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，，则该平面图形的面积为______．
13.如果在一个边长为的正中，一个向量所对应的有向线段为其中在边上运动，则向量长度的最小值为______．
14.在中，在上，平分，若，，，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，为虚数单位．
求；
若，求的共轭复数；
若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，，与的夹角为．
求在方向上的投影向量；
求的值；
若向量与平行且方向相同，求实数．
17.本小题分
已知在长方体中，，，，为棱的中点．
Ⅰ求三棱锥的表面积；
Ⅱ求四棱锥的体积．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
试判断的形状；
若，求周长的最大值．
19.本小题分
某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到．
求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
则；
，，
，
．
在复平面上对应的点在第四象限，
，解得，
故实数的取值范围为
16.解：，，与的夹角为，
，
在方向上的投影向量为；
，，与的夹角为，
，
；
与平行，
，解得：或，
当时，
方向相同，
当时，方向相反，故舍去，
．
17.解：因为在长方体中，，，，为棱的中点，
所以，
；
．
18.解：由，利用余弦定理得，即，
所以，
所以是直角三角形；
由知是直角三角形，且，
可得，，
所以周长为，
所以当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为．
19.解：设一个棱长为的正四面体，将其放到一个正方体中，
则可知该正方体的棱长为，
该正四面体的体积为，
根据题意可得石凳的体积与原正四面体的体积之比为：
；
根据题意可得一个石凳的表面积为：
，
粉刷一个石凳需要的钱为：元．
第1页，共1页