22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数y=ax2的图象的画法
1.(教材再开发·P30例1改编)在同一平面直角坐标系中,画出以下函数的图象:
(1)y=3x2;
(2)y=-3x2.
2.已知正方形周长为C cm,面积为S cm2.
(1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象;
(2)当S=1 cm2时,求出正方形的周长;
(3)根据图象,求出C取何值时,S≥4 cm2.
知识点2 二次函数y=ax2的图象与性质
3.已知二次函数y=-x2,下列说法正确的是 ( )
A.该抛物线的开口向上
B.顶点坐标是(0,0)
C.对称轴是x=-
D.当x<0时,y随x的增大而减小
4.(2024·安顺质检)抛物线y=2x2,y=-2x2,共有的性质是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.都有最低点
D.y随x的增大而减小
5.下列函数中,当x<0时,y值随x的增大而增大的是 ( )
A.y=5x2 B.y=-x2
C.y=x2 D.y=x2
6.下列抛物线的图象,开口最大的是 ( )
A.y=x2 B.y=4x2
C.y=-2x2 D.无法确定
7.(2023·安顺西秀区质检)已知二次函数y=x2,在-1≤x≤4内,函数的最小值为 .
8.已知两个二次函数的图象如图所示,那么a1 a2(填“>”“=”或“<”).
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·遵义绥阳县质检)对于抛物线y=x2与y=-x2,下列命题中错误的是 ( )
A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线各自关于y轴对称
D.两条抛物线没有公共点
10.(2024·杭州期中)下列图象中,当ab>0时,函数y=ax2与y=ax+b的图象是 ( )
11.(易错警示题)已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则 ( )
A.y1C.y312.(2024·遵义红花岗区质检)如图,Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的 ( )
13.对于二次函数y=ax2,已知当x由1增加到2时,函数值减少4,则常数a的值是 .
14.如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=x2与y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 .
15.(素养提升题)已知函数y=(m+2)是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m的值.
(2)m为何值时,抛物线有最低点 求出这个最低点的坐标,这时x为何值时y随x的增大而增大
(3)m为何值时,抛物线有最大值 最大值是多少 这时x为何值时,y随x的增大而减小
易错点 二次函数增减性的理解不正确
【典例1】已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2,对任意给定一个x值都有y甲≥y乙,关于m,n的关系正确的是 (填序号).
①m0,n<0;③m<0,n>0;
④m>n>0.
【典例2】已知二次函数y=x2,当a≤x≤b时,m≤y≤n,则下列说法正确的是 ( )
A.当n-m=1时,b-a有最小值
B.当n-m=1时,b-a有最大值
C.当b-a=1时,n-m无最小值
D.当b-a=1时,n-m有最大值22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数y=ax2的图象的画法
1.(教材再开发·P30例1改编)在同一平面直角坐标系中,画出以下函数的图象:
(1)y=3x2;
(2)y=-3x2.
【解析】列表得:
x -1 - 0 1
y=3x2 3 0 3
y=-3x2 -3 - 0 - -3
描点、连线可得函数图象如图所示:
2.已知正方形周长为C cm,面积为S cm2.
(1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象;
(2)当S=1 cm2时,求出正方形的周长;
(3)根据图象,求出C取何值时,S≥4 cm2.
【解析】(1)由题意,得S=C2(C>0).
图象如图:
(2)当S=1 cm2时,正方形的周长是4 cm.
(3)根据图象得,当C≥8 cm时,S≥4 cm2.
知识点2 二次函数y=ax2的图象与性质
3.已知二次函数y=-x2,下列说法正确的是 (B)
A.该抛物线的开口向上
B.顶点坐标是(0,0)
C.对称轴是x=-
D.当x<0时,y随x的增大而减小
4.(2024·安顺质检)抛物线y=2x2,y=-2x2,共有的性质是 (B)
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.都有最低点
D.y随x的增大而减小
5.下列函数中,当x<0时,y值随x的增大而增大的是 (B)
A.y=5x2 B.y=-x2
C.y=x2 D.y=x2
6.下列抛物线的图象,开口最大的是 (A)
A.y=x2 B.y=4x2
C.y=-2x2 D.无法确定
7.(2023·安顺西秀区质检)已知二次函数y=x2,在-1≤x≤4内,函数的最小值为 0 .
8.已知两个二次函数的图象如图所示,那么a1 > a2(填“>”“=”或“<”).
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·遵义绥阳县质检)对于抛物线y=x2与y=-x2,下列命题中错误的是 (D)
A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线各自关于y轴对称
D.两条抛物线没有公共点
10.(2024·杭州期中)下列图象中,当ab>0时,函数y=ax2与y=ax+b的图象是 (C)
11.(易错警示题)已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则 (C)
A.y1C.y312.(2024·遵义红花岗区质检)如图,Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的 (D)
13.对于二次函数y=ax2,已知当x由1增加到2时,函数值减少4,则常数a的值是 - .
14.如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=x2与y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 8 .
15.(素养提升题)已知函数y=(m+2)是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m的值.
(2)m为何值时,抛物线有最低点 求出这个最低点的坐标,这时x为何值时y随x的增大而增大
(3)m为何值时,抛物线有最大值 最大值是多少 这时x为何值时,y随x的增大而减小
【解析】(1)根据题意得m+2≠0且m2+m-4=2,解得m1=2,m2=-3,所以满足条件的m的值为2或-3;
(2)当m+2>0时,抛物线有最低点,所以m=2,抛物线解析式为y=4x2,所以抛物线的最低点为(0,0),当x≥0时,y随x的增大而增大;
(3)当m=-3时,抛物线开口向下,函数有最大值;抛物线解析式为y=-x2,所以二次函数的最大值是0,这时,当x≥0时,y随x的增大而减小.
易错点 二次函数增减性的理解不正确
【典例1】已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2,对任意给定一个x值都有y甲≥y乙,关于m,n的关系正确的是 ②④ (填序号).
①m0,n<0;③m<0,n>0;
④m>n>0.
【典例2】已知二次函数y=x2,当a≤x≤b时,m≤y≤n,则下列说法正确的是 (B)
A.当n-m=1时,b-a有最小值
B.当n-m=1时,b-a有最大值
C.当b-a=1时,n-m无最小值
D.当b-a=1时,n-m有最大值
