22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的平移
1.(2024·遵义红花岗区质检)将抛物线y=-3x2先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式为 ( )
A.y=-3(x+1)2+2
B.y=-3(x-1)2+2
C.y=-3(x+1)2-2
D.y=-3(x-1)2-2
2.将抛物线y=2x2平移,得到抛物线y=2(x+4)2+1,下列平移正确的是 ( )
A.先向左平移4个单位,再向上平移1个单位
B.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位
C.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位
D.先向右平移4个单位,再向下平移1个单位
3.(2024·六盘水盘州市期中)将抛物线y=(x-1)2+2向下平移2个单位长度后,得到的抛物线所对应的函数解析式为 .
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
4.(2023·兰州中考)已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是 ( )
A.对称轴为x=-2
B.顶点坐标为(2,3)
C.函数的最大值是-3
D.函数的最小值是-3
5.(易错警示题)A,B(1,y2),C(4,y3)三点都在二次函数y=-(x-2)2+k的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 ( )
A.y1C.y36.已知一个二次函数图象的形状与抛物线y=4x2-3相同,开口相反,且它的顶点坐标是(-2,5),则这个二次函数的解析式为 .
7.已知抛物线y=-x2向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到抛物线y=a(x-h)2+k;
(1)求出a,h,k的值;
(2)在同一直角坐标系中,画出y=a(x-h)2+k与y=-x2的图象;
(3)观察y=a(x-h)2+k的图象,当x 时,y随x的增大而增大;当x______时,函数
y有最______值,最______值是y=______;
(4)观察y=a(x-h)2+k的图象,你能说出对于一切x的值,函数y的取值范围吗
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.(2023·贵阳息烽县模拟)如图,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,解析式中的h,k,m,n都是常数,则下列关系不正确的是 ( )
A.h<0,k>0 B.m<0,n>0
C.h=m D.k=n
9.已知抛物线y=a(x-2)2+1经过点A(m,y1),B(m+2,y2),若点A在抛物线对称轴的左侧,且1A.0C.110.已知二次函数y=a(x-3)2+c(a,c为常数,a<0),当自变量x分别取,0,4时,所对应的函数值分别为y1,y2,y3,则y1,y2,y3的大小关系为 (用“<”连接).
11.(2023·安顺平坝区质检)如图,将函数y=(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A',B'.若曲线段AB扫过的面积为12(图中的阴影部分),则新图象的函数解析式是
12.(易错警示题)下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是 .
13.(素养提升题)已知函数
y1=,探究其图象和性质的过程如下:
(1)函数图象探究:
①下表是y1与x的部分对应值,则表格中的a=______,b=______.
x … -3 -2 -1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
y1 … 0 1 2 3 2.25 a 2.25 3 b 6 …
②根据上表中的数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出函数图象;
(2)观察函数的图象,请描述该函数的一条性质____________ .
易错点 混淆抛物线平移和坐标轴平移而出错
【典例】在平面直角坐标系中,如果抛物线y=4x2+3不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是 . 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.函数y=-x2+1的图象大致为 ( )
2.关于二次函数y=2x2+4,下列说法错误的是 ( )
A.它的开口方向向上
B.当x=0时,y有最大值4
C.它的对称轴是y轴
D.顶点坐标为(0,4)
3.(2024·遵义红花岗区期中)二次函数y=-3x2+5的图象开口方向是 (填“向上”或“向下”).
4.若点A(-2,y1)和B(1,y2)是二次函数y=-x2-k图象上的两点,则y1 y2(填“<”“=”或“>”).
5.把y=-x2 的图象向上平移2个单位.
(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴;
(2)画出平移后的函数图象;
(3)求平移后的函数的最大值或最小值,并求对应的x的值.
知识点2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
6.(2024·黔东南州剑河县质检)抛物线y=-2(x-3)2的顶点坐标和对称轴分别为( )
A.(-3,0),直线x=-3
B.(3,0),直线x=3
C.(0,-3),直线x=-3
D.(0,3),直线x=-3
7.(易错警示题)将抛物线y=3x2平移得到抛物线y=3(x+2)2,则这个平移过程正确的是 ( )
A.向上平移2个单位
B.向下平移2个单位
C.向左平移2个单位
D.向右平移2个单位
8.对于函数y=3(x-2)2,下列说法正确的是 ( )
A.当x>0时,y随x的增大而减小
B.当x<0时,y随x的增大而增大
C.当x>2时,y随x的增大而增大
D.当x>-2时,y随x的增大而减小
9.(2023·铜仁碧江区期中)已知二次函数y=3(x-a)2的图象上,当x>2时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是 .
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.一次函数y=x+a与二次函数y=ax2-a在同一坐标系中的大致图象可能是 ( )
11.(2023·南充中考)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是 ( )
A.(m,n+1) B.(m+1,n)
C.(m,n-1) D.(m-1,n)
12.(2024·黔东南州质检)关于二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2,以下说法:
①它们的图象都是开口向上;
②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0);
③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大;
④它们的开口的大小是一样的.
其中正确的说法有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.若函数y=,则当函数值y=12时,自变量x的值是
14.若二次函数y=(x+1)2在m≤x≤m+1(m为常数)的范围内有最小值1,则m的值为
.
15.(2023·毕节七星关区模拟)已知抛物线y=x2-k的顶点为P,与x轴交于点A,B,且△ABP是以AB为底的等腰直角三角形,则k的值是 .
16.(素养提升题)(教材再开发·P35练习变式)已知函数y=x2,y=(x+3)2和y=(x-3)2.
(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象;
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)讨论各个函数的性质.
易错点 忽视抛物线的开口方向和对称轴去判断大小
【典例】设点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)是抛物线y=-x2+b上的三点,则y1、y2、y3从小到大排列为 . 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的平移
1.(2024·遵义红花岗区质检)将抛物线y=-3x2先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式为 (A)
A.y=-3(x+1)2+2
B.y=-3(x-1)2+2
C.y=-3(x+1)2-2
D.y=-3(x-1)2-2
2.将抛物线y=2x2平移,得到抛物线y=2(x+4)2+1,下列平移正确的是 (A)
A.先向左平移4个单位,再向上平移1个单位
B.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位
C.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位
D.先向右平移4个单位,再向下平移1个单位
3.(2024·六盘水盘州市期中)将抛物线y=(x-1)2+2向下平移2个单位长度后,得到的抛物线所对应的函数解析式为 y=(x-1)2 .
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
4.(2023·兰州中考)已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是 (C)
A.对称轴为x=-2
B.顶点坐标为(2,3)
C.函数的最大值是-3
D.函数的最小值是-3
5.(易错警示题)A,B(1,y2),C(4,y3)三点都在二次函数y=-(x-2)2+k的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 (B)
A.y1C.y36.已知一个二次函数图象的形状与抛物线y=4x2-3相同,开口相反,且它的顶点坐标是(-2,5),则这个二次函数的解析式为 y=-4(x+2)2+5 .
7.已知抛物线y=-x2向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到抛物线y=a(x-h)2+k;
(1)求出a,h,k的值;
(2)在同一直角坐标系中,画出y=a(x-h)2+k与y=-x2的图象;
(3)观察y=a(x-h)2+k的图象,当x 时,y随x的增大而增大;当x______时,函数
y有最______值,最______值是y=______;
(4)观察y=a(x-h)2+k的图象,你能说出对于一切x的值,函数y的取值范围吗
【解析】(1)由y=-x2向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度所得到的抛物线是y=-(x-1)2+2.∴a=-,h=1,k=2.
(2)函数y=-(x-1)2+2与y=-x2的图象如图所示.
(3)观察y=a(x-h)2+k的图象,当x<1时,y随x的增大而增大;当x=1时,函数y有最大值,最大值是y=2.
(4)由图象知,对于一切x的值,总有函数值y≤2.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.(2023·贵阳息烽县模拟)如图,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,解析式中的h,k,m,n都是常数,则下列关系不正确的是 (D)
A.h<0,k>0 B.m<0,n>0
C.h=m D.k=n
9.已知抛物线y=a(x-2)2+1经过点A(m,y1),B(m+2,y2),若点A在抛物线对称轴的左侧,且1A.0C.110.已知二次函数y=a(x-3)2+c(a,c为常数,a<0),当自变量x分别取,0,4时,所对应的函数值分别为y1,y2,y3,则y1,y2,y3的大小关系为 y211.(2023·安顺平坝区质检)如图,将函数y=(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A',B'.若曲线段AB扫过的面积为12(图中的阴影部分),则新图象的函数解析式是y=(x-2)2+5 .
12.(易错警示题)下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是 ①②④ .
13.(素养提升题)已知函数
y1=,探究其图象和性质的过程如下:
(1)函数图象探究:
①下表是y1与x的部分对应值,则表格中的a=______,b=______.
x … -3 -2 -1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
y1 … 0 1 2 3 2.25 a 2.25 3 b 6 …
②根据上表中的数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出函数图象;
(2)观察函数的图象,请描述该函数的一条性质____________ .
【解析】见全解全析
易错点 混淆抛物线平移和坐标轴平移而出错
【典例】在平面直角坐标系中,如果抛物线y=4x2+3不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是 y=4(x+2)2+1 .
周末小练 适时巩固 请完成 “周周测(三)”22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.函数y=-x2+1的图象大致为 (B)
2.关于二次函数y=2x2+4,下列说法错误的是 (B)
A.它的开口方向向上
B.当x=0时,y有最大值4
C.它的对称轴是y轴
D.顶点坐标为(0,4)
3.(2024·遵义红花岗区期中)二次函数y=-3x2+5的图象开口方向是 向下 (填“向上”或“向下”).
4.若点A(-2,y1)和B(1,y2)是二次函数y=-x2-k图象上的两点,则y1 < y2(填“<”“=”或“>”).
5.把y=-x2 的图象向上平移2个单位.
(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴;
(2)画出平移后的函数图象;
(3)求平移后的函数的最大值或最小值,并求对应的x的值.
【解析】(1)把y=-x2的图象向上平移2个单位后得到抛物线的解析式为:y=-x2+2,所以它的顶点坐标是(0,2),对称轴是x=0,即y轴;
(2)由y=-x2+2,得
x -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y -16 -6 0 2 0 -6 -16 -30
其函数图象如图所示:
(3)由图可知:当x=0时,y最大值=2.
知识点2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
6.(2024·黔东南州剑河县质检)抛物线y=-2(x-3)2的顶点坐标和对称轴分别为(B)
A.(-3,0),直线x=-3
B.(3,0),直线x=3
C.(0,-3),直线x=-3
D.(0,3),直线x=-3
7.(易错警示题)将抛物线y=3x2平移得到抛物线y=3(x+2)2,则这个平移过程正确的是 (C)
A.向上平移2个单位
B.向下平移2个单位
C.向左平移2个单位
D.向右平移2个单位
8.对于函数y=3(x-2)2,下列说法正确的是 (C)
A.当x>0时,y随x的增大而减小
B.当x<0时,y随x的增大而增大
C.当x>2时,y随x的增大而增大
D.当x>-2时,y随x的增大而减小
9.(2023·铜仁碧江区期中)已知二次函数y=3(x-a)2的图象上,当x>2时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是 a≤2 .
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.一次函数y=x+a与二次函数y=ax2-a在同一坐标系中的大致图象可能是 (C)
11.(2023·南充中考)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是 (D)
A.(m,n+1) B.(m+1,n)
C.(m,n-1) D.(m-1,n)
12.(2024·黔东南州质检)关于二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2,以下说法:
①它们的图象都是开口向上;
②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0);
③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大;
④它们的开口的大小是一样的.
其中正确的说法有 (B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.若函数y=,则当函数值y=12时,自变量x的值是 6或- .
14.若二次函数y=(x+1)2在m≤x≤m+1(m为常数)的范围内有最小值1,则m的值为
0或-3 .
15.(2023·毕节七星关区模拟)已知抛物线y=x2-k的顶点为P,与x轴交于点A,B,且△ABP是以AB为底的等腰直角三角形,则k的值是 1 .
16.(素养提升题)(教材再开发·P35练习变式)已知函数y=x2,y=(x+3)2和y=(x-3)2.
(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象;
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)讨论各个函数的性质.
【解析】(1)三个函数的图象如图所示:
(2)由图象可知函数y=x2开口向上,对称轴为x=0,顶点坐标为(0,0);
函数y=(x+3)2开口向上,对称轴为x=-3,顶点坐标为(-3,0);
函数y=(x-3)2开口向上,对称轴为x=3,顶点坐标为(3,0);
(3)y=x2当x<0时y随着x的增大而减小,当x>0时y随着x的增大而增大;
y=(x+3)2当x<-3时y随着x的增大而减小,当x>-3时y随着x的增大而增大;
y=(x-3)2当x<3时y随着x的增大而减小,当x>3时y随着x的增大而增大.
易错点 忽视抛物线的开口方向和对称轴去判断大小
【典例】设点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)是抛物线y=-x2+b上的三点,则y1、y2、y3从小到大排列为 y3
