22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.若二次函数y=x2-mx+6配方后为y=(x-2)2+k,则m,k的值分别为 (D)
A.0,6 B.0,2 C.4,6 D.4,2
2.(2024·黔东南州从江县期中)对于二次函数y=x2-4x-1的图象,下列叙述正确的是 (B)
A.开口向下
B.对称轴为直线x=2
C.顶点坐标为(-2,-5)
D.当x≥2时,y随x增大而减小
3.(2023·大连中考)已知抛物线y=x2-2x-1,则当0≤x≤3时,函数的最大值为 (D)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=2,与x轴的一个交点是(3,0),则a+b+c的值是 (B)
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.(2024·遵义红花岗区质检)若二次函数y=ax2-x+a2-4的图象过原点且开口向下,则a= -2 .
6.二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是 7 .
7.若二次函数y=x2-2x-3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m,则m的值为 4 .
知识点2 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
8. (2024·遵义红花岗区期中)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(ac,b)所在象限是 (B)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.(2023·达州中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称.下列五个结论:
①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;
④am2+bm>a+b;⑤3a+c>0.
其中正确的有 (B)
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
10.在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称,则符合条件的mn= 1 .
11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①2a+b=0;②a+c>b;③抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);④abc>0.其中正确的结论是 ①④ (填写序号).
综合能力练巩固提升 迁移运用
12.(2024·黔东南州从江县期中)已知抛物线y=x2-2x-3经过A(-2,y1),B(-1,y2),C(1,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系是 (A)
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1
13.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 (D)
A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为-3
14.(2023·黔西南州兴义市期中)在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是 (D)
15.(易错警示题)(2023·娄底中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:
①abc<0;②4a-2b+c>0;
③a-b>m(am+b)(m为任意实数);
④若点(-3,y1)和点(3,y2)在该图象上,则y1>y2;
其中正确的结论是 (D)
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
16.(一题多解)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 (1,4) .
17.已知函数y=ax2-(a-1)x-2a+1,当018.(素养提升题)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0).
(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的解析式.
【解析】(1)把B(1,0)代入y=ax2+4x-3,
得0=a+4-3,解得a=-1,
∴y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴A(2,1).
∵对称轴为x=2,B,C关于x=2对称,
∴C(3,0),∴当y>0时,1(2)∵由(1)得D(0,-3),
∴点D平移到点A,抛物线向右平移2个单位,向上平移4个单位,可得抛物线的解析式为y=-(x-4)2+5.
易错点 不能正确进行配方
【典例】用配方法求抛物线y=-2x2-4x+1的顶点坐标.
【解析】y=-2(x2+2x-)=-2(x2+2x+1-1-)=-2,
所以y=-2(x+1)2+3,
所以顶点坐标为(-1,3).22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用“三点式”确定二次函数的解析式
1.(数形结合题)已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为 ( )
A.y=x2-2x+3
B.y=x2-2x-3
C.y=x2+2x-3
D.y=x2+2x+3
2.已知二次函数y=ax2+4x+c,当x等于-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5.则此二次函数的解析式为 ( )
A.y=2x2+4x-1
B.y=x2+4x-2
C.y=-2x2+4x+1
D.y=2x2+4x+1
3.(教材再开发·P40练习T2强化)已知二次函数的图象经过(0,0),(1,2),(-1,-4)三点,那么这个二次函数的解析式是 .
4.(2024·遵义绥阳县期中)二次函数y=ax2+bx+c中的x,y满足如表.
x … -1 0 1 2 …
y … 0 -3 m -3 …
(1)求该抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点坐标为______,当x>1时,y随x的增大而______(填“增大”或“减小”).
知识点2 用“顶点式”确定二次函数的解析式
5.(2024·黔东南州剑河县质检)已知二次函数y=a(x-h)2,当x=2时有最大值,且此函数的图象经过点(1,-3),求此二次函数的关系式,并指出当x为何值时,y随x的增大而增大.
6.(2024·贵阳花溪区期中)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3),
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)写出它的开口方向、对称轴.
知识点3 用“交点式”确定二次函数的解析式
7.二次函数的图象如图所示,
则其解析式是 ( )
A.y=-x2+2x+3
B.y=x2-2x-3
C.y=-x2-2x+3
D.y=-x2-2x-3
8.(教材再开发·P42习题第11题改编)已知抛物线过点(-2,0),(6,0)且过点(0,7),求此抛物线的解析式.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点,并且在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,则所求二次函数的解析式为 ( )
A.y=-x2+2x-5
B.y=ax2-2ax+a-3(a>0)
C.y=-2x2-4x-5
D.y=ax2-2ax+a-3(a<0)
10.若|m+3|+=0,点P(m,n)关于x轴的对称点P'为二次函数图象顶点,则二次函数的解析式可以为 ( )
A.y=(x-3)2+2 B.y=(x+3)2-2
C.y=(x-3)2-2 D.y=(x+3)2+2
11.已知y=ax2+bx+c,则由表格中的信息可得y与x之间的函数关系式是 ( )
x -1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4
C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8
12.(2024·贵阳花溪区期中)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的解析式为 .
13.若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点,最大值为8,且形状与抛物线y=2x2-2x+3相同,则此函数解析式为 .
14.(素养提升题)已知抛物线y=x2+bx+c过A(c,12),B(■,■)两点,且交于y轴的负半轴.请证明抛物线的对称轴是直线x=1(其中点B的坐标被污渍盖住了).
(1)请问能否根据题中信息求抛物线的解析式 若能,请写出解题过程;若不能,请说明理由;
(2)请把原题补充完整,并完成原题证明.
易错点1 用“顶点式”确定二次函数解析式时出现符号错误
【典例1】若二次函数的图象的顶点坐标为(2,-1),且抛物线过(0,3),则二次函数的解析式是 ( )
A.y=-(x-2)2-1 B.y=-(x-2)2-1
C.y=(x-2)2-1 D.y=(x-2)2-1
易错点2 用“交点式”确定二次函数解析式时出现符号错误
【典例2】二次函数图象过A(-1,0),B(2,0),C(0,-2),则此二次函数的解析式是
. 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用“三点式”确定二次函数的解析式
1.(数形结合题)已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为 (B)
A.y=x2-2x+3
B.y=x2-2x-3
C.y=x2+2x-3
D.y=x2+2x+3
2.已知二次函数y=ax2+4x+c,当x等于-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5.则此二次函数的解析式为 (A)
A.y=2x2+4x-1
B.y=x2+4x-2
C.y=-2x2+4x+1
D.y=2x2+4x+1
3.(教材再开发·P40练习T2强化)已知二次函数的图象经过(0,0),(1,2),(-1,-4)三点,那么这个二次函数的解析式是 y=-x2+3x .
4.(2024·遵义绥阳县期中)二次函数y=ax2+bx+c中的x,y满足如表.
x … -1 0 1 2 …
y … 0 -3 m -3 …
(1)求该抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点坐标为______,当x>1时,y随x的增大而______(填“增大”或“减小”).
【解析】(1)把(-1,0),(0,-3),(2,-3)代入二次函数y=ax2+bx+c得:
,解得:,
∴该函数的解析式为y=x2-2x-3;
(2)见全解全析
知识点2 用“顶点式”确定二次函数的解析式
5.(2024·黔东南州剑河县质检)已知二次函数y=a(x-h)2,当x=2时有最大值,且此函数的图象经过点(1,-3),求此二次函数的关系式,并指出当x为何值时,y随x的增大而增大.
【解析】根据题意得y=a(x-2)2,把(1,-3)代入得a=-3,所以二次函数解析式为y=-3(x-2)2,因为抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线开口向下,所以当x<2时,y随x的增大而增大.
6.(2024·贵阳花溪区期中)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3),
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)写出它的开口方向、对称轴.
【解析】(1)设函数解析式为y=a(x-h)2+k,把顶点和点(1,-3)代入解析式,得a=-,所以抛物线的解析式为:y=-(x+1)2+2;
(2)由(1)中的函数解析式可得:抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-1.
知识点3 用“交点式”确定二次函数的解析式
7.二次函数的图象如图所示,
则其解析式是 (A)
A.y=-x2+2x+3
B.y=x2-2x-3
C.y=-x2-2x+3
D.y=-x2-2x-3
8.(教材再开发·P42习题第11题改编)已知抛物线过点(-2,0),(6,0)且过点(0,7),求此抛物线的解析式.
【解析】见全解全析
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点,并且在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,则所求二次函数的解析式为 (D)
A.y=-x2+2x-5
B.y=ax2-2ax+a-3(a>0)
C.y=-2x2-4x-5
D.y=ax2-2ax+a-3(a<0)
10.若|m+3|+=0,点P(m,n)关于x轴的对称点P'为二次函数图象顶点,则二次函数的解析式可以为 (B)
A.y=(x-3)2+2 B.y=(x+3)2-2
C.y=(x-3)2-2 D.y=(x+3)2+2
11.已知y=ax2+bx+c,则由表格中的信息可得y与x之间的函数关系式是 (A)
x -1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4
C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8
12.(2024·贵阳花溪区期中)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的解析式为 y=-x2-4x+5 .
13.若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点,最大值为8,且形状与抛物线y=2x2-2x+3相同,则此函数解析式为 y=-2(x-2)2+8或y=-2(x+2)2+8 .
14.(素养提升题)已知抛物线y=x2+bx+c过A(c,12),B(■,■)两点,且交于y轴的负半轴.请证明抛物线的对称轴是直线x=1(其中点B的坐标被污渍盖住了).
(1)请问能否根据题中信息求抛物线的解析式 若能,请写出解题过程;若不能,请说明理由;
(2)请把原题补充完整,并完成原题证明.
【解析】(1)能,
∵抛物线的对称轴是直线x=1,
∴x=-=1,∴b=-2,
∵抛物线y=x2+bx+c过A(c,12),
∴c2-2c+c=12,∴c2-c-12=0,(c-4)(c+3)=0,c1=4(舍),c2=-3,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
(2)补充:B(0,-3)(答案不唯一);
证明:∵抛物线y=x2+bx+c过A(c,12),
B(0,-3),∴c=-3,∴A(-3,12),
将A(-3,12)代入y=x2+bx-3中得:12=9-3b-3,∴b=-2,∴抛物线的对称轴是直线x=-=-=1.
易错点1 用“顶点式”确定二次函数解析式时出现符号错误
【典例1】若二次函数的图象的顶点坐标为(2,-1),且抛物线过(0,3),则二次函数的解析式是 (C)
A.y=-(x-2)2-1 B.y=-(x-2)2-1
C.y=(x-2)2-1 D.y=(x-2)2-1
易错点2 用“交点式”确定二次函数解析式时出现符号错误
【典例2】二次函数图象过A(-1,0),B(2,0),C(0,-2),则此二次函数的解析式是
y=x2-x-2 . 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.若二次函数y=x2-mx+6配方后为y=(x-2)2+k,则m,k的值分别为 ( )
A.0,6 B.0,2 C.4,6 D.4,2
2.(2024·黔东南州从江县期中)对于二次函数y=x2-4x-1的图象,下列叙述正确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴为直线x=2
C.顶点坐标为(-2,-5)
D.当x≥2时,y随x增大而减小
3.(2023·大连中考)已知抛物线y=x2-2x-1,则当0≤x≤3时,函数的最大值为 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=2,与x轴的一个交点是(3,0),则a+b+c的值是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.(2024·遵义红花岗区质检)若二次函数y=ax2-x+a2-4的图象过原点且开口向下,则a= .
6.二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是 .
7.若二次函数y=x2-2x-3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m,则m的值为 .
知识点2 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
8. (2024·遵义红花岗区期中)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(ac,b)所在象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.(2023·达州中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称.下列五个结论:
①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;
④am2+bm>a+b;⑤3a+c>0.
其中正确的有 ( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
10.在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称,则符合条件的mn= .
11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①2a+b=0;②a+c>b;③抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);④abc>0.其中正确的结论是 (填写序号).
综合能力练巩固提升 迁移运用
12.(2024·黔东南州从江县期中)已知抛物线y=x2-2x-3经过A(-2,y1),B(-1,y2),C(1,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1
13.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 ( )
A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为-3
14.(2023·黔西南州兴义市期中)在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是 ( )
15.(易错警示题)(2023·娄底中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:
①abc<0;②4a-2b+c>0;
③a-b>m(am+b)(m为任意实数);
④若点(-3,y1)和点(3,y2)在该图象上,则y1>y2;
其中正确的结论是 ( )
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
16.(一题多解)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 .
17.已知函数y=ax2-(a-1)x-2a+1,当018.(素养提升题)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0).
(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的解析式.
易错点 不能正确进行配方
【典例】用配方法求抛物线y=-2x2-4x+1的顶点坐标.
