24.1.2 垂直于弦的直径
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 垂径定理及其推论
1.(易错警示题)下列说法正确的是 (D)
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的弦平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
2.(定理应用题)如图,已知☉O的直径AB⊥弦CD于点E,下列结论中一定正确的是 (B)
A.AE=OE B.CE=DE
C.OE=CE D.∠AOC=60°
3.(2023·宜昌中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 (B)
A.5 B.4
C.3 D.2
4.如图所示,☉O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6,则直径AB的长是 (D)
A.2 B.3
C.4 D.4
5.已知☉O的半径为13 cm,弦AB的长为10 cm,则圆心O到AB的距离为
12 cm.
6.如图,已知AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的距离是 3 .
知识点2 垂径定理的实际应用
7.(传统数学文化)如图,“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长为 (D)
A.12.5寸 B.13寸
C.25寸 D.26寸
8.为测量一铁球的直径,将该铁球放入工件槽内,测得有关数据如图所示(单位:cm),则该铁球的直径为 10 cm .
9.如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是☉O中弦AB的中点,CD经过圆心O交☉O于点D,并且AB=4 m,CD=6 m,则☉O的半径长为 m.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.如图,☉O的半径等于4,如果∠AOB=90°,那么圆心O到弦AB的距离为 (C)
A. B.2 C.2 D.3
11.(2023·陕西中考)陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.是☉O的一部分,D是的中点,连接OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知AB=24 cm,碗深CD=8 cm,则☉O的半径OA为 (A)
A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm
12. (2024·遵义绥阳县期中)如图,☉O的半径为10,弦AB=16,点M是弦AB上的动点且点M不与点A,B重合,若OM的长为整数,则这样的点M有 (C)
A.4个 B.5个 C.7个 D.9个
13.(教材再开发·P83练习第2题改编)如图,☉O的直径为10,两条弦AB⊥CD,垂足为E,且AB=CD=8,则OE= 3 .
14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是:弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田是由圆弧和其所对的弦围成的(如图中的阴影部分),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB时,OC平分AB)可以求解.现已知弦AB=6米,半径等于5米的弧田,按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米.
15.(素养提升题)如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,且∠QPN= 30°.点A处有一所中学,AP=160 m.假设拖拉机行驶时,周围100 m以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路上沿PN方向行驶时,学校是否受到噪声影响 请说明理由.如果受影响,那么学校受影响的时间为多长 (拖拉机的速度为18 km/h)
【解析】过点A作AB⊥MN于点B(图略).
在Rt△PAB中,∠QPN=30°,PA=160 m.AB=80 m<100 m,∴学校会受到噪声影响.以点A为圆心,以100 m为半径作☉A交MN于C,D两点,由垂径定理和勾股定理求得BC=60 m,故CD=120 m.又因为拖拉机的速度为=5(m/s),
故学校受噪声影响的时间为120÷5 =24(s).
模型 连半径,作垂径,构造直角三角形
如图,常过圆心作弦的垂线段OD,再连接半径OA,构成Rt△AOD,利用勾股定理进行计算.在弦长、弦心距、半径、弓形高四个量中,已知任意两个能求出另外两个.24.1.2 垂直于弦的直径
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 垂径定理及其推论
1.(易错警示题)下列说法正确的是 ( )
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的弦平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
2.(定理应用题)如图,已知☉O的直径AB⊥弦CD于点E,下列结论中一定正确的是 ( )
A.AE=OE B.CE=DE
C.OE=CE D.∠AOC=60°
3.(2023·宜昌中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 ( )
A.5 B.4
C.3 D.2
4.如图所示,☉O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6,则直径AB的长是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.4
5.已知☉O的半径为13 cm,弦AB的长为10 cm,则圆心O到AB的距离为
cm.
6.如图,已知AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的距离是 .
知识点2 垂径定理的实际应用
7.(传统数学文化)如图,“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长为 ( )
A.12.5寸 B.13寸
C.25寸 D.26寸
8.为测量一铁球的直径,将该铁球放入工件槽内,测得有关数据如图所示(单位:cm),则该铁球的直径为 .
9.如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是☉O中弦AB的中点,CD经过圆心O交☉O于点D,并且AB=4 m,CD=6 m,则☉O的半径长为 m.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.如图,☉O的半径等于4,如果∠AOB=90°,那么圆心O到弦AB的距离为 ( )
A. B.2 C.2 D.3
11.(2023·陕西中考)陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.是☉O的一部分,D是的中点,连接OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知AB=24 cm,碗深CD=8 cm,则☉O的半径OA为 ( )
A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm
12. (2024·遵义绥阳县期中)如图,☉O的半径为10,弦AB=16,点M是弦AB上的动点且点M不与点A,B重合,若OM的长为整数,则这样的点M有 ( )
A.4个 B.5个 C.7个 D.9个
13.(教材再开发·P83练习第2题改编)如图,☉O的直径为10,两条弦AB⊥CD,垂足为E,且AB=CD=8,则OE= .
14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是:弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田是由圆弧和其所对的弦围成的(如图中的阴影部分),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB时,OC平分AB)可以求解.现已知弦AB=6米,半径等于5米的弧田,按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米.
15.(素养提升题)如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,且∠QPN= 30°.点A处有一所中学,AP=160 m.假设拖拉机行驶时,周围100 m以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路上沿PN方向行驶时,学校是否受到噪声影响 请说明理由.如果受影响,那么学校受影响的时间为多长 (拖拉机的速度为18 km/h)
模型 连半径,作垂径,构造直角三角形
如图,常过圆心作弦的垂线段OD,再连接半径OA,构成Rt△AOD,利用勾股定理进行计算.在弦长、弦心距、半径、弓形高四个量中,已知任意两个能求出另外两个.
